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广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期中段学情反馈卷 八年级数学试卷
1．下列式子中是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，是一元一次不等式，故A正确.
B、 ，未知数次数为2，不是一元一次不等式，故B错误.
C 、 ，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故C错误.
D 、 ，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故D错误.
故答案为：A．
【分析】根据一元一次不等式的定义判断是一元一次不等式，、、不是一元一次不等式即可得答案.
2．数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（　　）
A．国旗上升的过程
B．输送带运输的行李箱
C．轮船航行时的螺旋桨的转动
D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象；生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A、国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，故A错误.
B、输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，故B错误.
C、轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，属于旋转，故正确.
D、扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据平移、旋转的第一分别对ABCD各选项矩形判断即可得答案.
3．下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误.
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误.
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误.
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义 分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
4．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解： A、属于整式乘法变形，不属于因式分解，故A错误.
B、，左边是多项式，右边是整式乘积的形式，且展开后左右两边相等，是因式分解，故B正确.
C、的结果是和，不是乘积，不是因式分解，故C错误.
D、的右边为，和左边不相等，不是因式分解，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解定义逐一判断不属于因式分解，是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，即可得答案.
5．如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】如图，
把可移项变形为，
∵直线与直线交于点，
∴当 时，两直线函数值相等 观察图象可知，当时，直线的图象在直线 的图象上方或重合 ，
∴ 不等式的解集是．
故答案为：B.
【分析】将原不等式变形为 ，根据不等式与一次函数的关系得的解集是直线 在直线 上方（包括交点）时 的取值范围，观察图象与交点坐标即可得答案.
6．如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：选项A中，
∵，
∴
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
选项B中，由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴中线平分的面积．
选项C中，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
选项D中，由题意可知，是的角平分线，不能平分的面积．
故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】三角形的一条中线会将三角形分成两个面积相等的部分，只需要依据这个性质逐一分析选项，就能得到最终的结论。
7．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得，
解不等式得，即，
∴不等式组的解集为．
把解在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】解题目不等式组的式得，得，即可得题目不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可得答案.
8．如图，在等边中，．为上一点，且，的平分线交于点，是上的动点，连结、．则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，
连接，作，
在等边中，，的平分线交于点，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的最小值是的长，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：D.
【分析】连接，作，根据在等边中，，的平分线交于点，有等于3，垂直平分，即可得相等，即可得等于进而得到的最小值是的长，根据含30度角的直角三角形的性质得等于1，等于，再根据勾股定理得，即可得答案.
9．一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定；等积变换
【解析】【解答】解：，
∴，
∴该三角形是直角三角形，
根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，结合已知条件得三角形是直角三角形，再根据等面积法可得三角形最长边上的高线为.
10．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
故答案为：2．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，利用角的运算求出，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得.
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则　 　．
【答案】0
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，解得：，
∴．
故答案为：0.
【分析】根据关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，即可列方程，解出即可得的值，再代入的值.
12．已知关于的不等式的解集为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；解含分数系数的一元一次方程；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解得：，
∵，
∴，解得：．
故答案为：.
【分析】先解不等式得出，结合即可列方程，解出即可得的值.
13．关于的不等式组有且仅有3个整数解．则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组有且仅有3个整数解，
不等式组的解集为，且整数解为0，1，2，
m的取值范围为，
故答案为：．
【分析】解题目不等式组，求出其解集，再根据不等式组仅有3个整数解，即可得，且整数解为0，1，2，进一步可得m的取值范围．
14．解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）把移项，合并，系数化1，即可得不等式的解集.
（2）把去括号，移项，合并，系数化1，即可得不等式的解集.
（3）把去分母，去括号，移项，合并，系数化1得，然后在数轴上表示出解集即可．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
解得：，
解集在数轴上表示如下：
15．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且．
（1）求证：，
（2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______．
【答案】（1）证明：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得等于60度，相等，再根据相等，根据SAS可证明全等，根据全等三角形的性质得出．
（2）根据全等三角形的性质，结合全等可得相等，再根据三角形内角和定理得等于减去的和，再根据的和为60度，计算即可得等于120度．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并直接写出点的坐标；
（2）若和关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点的坐标；
（3）若绕着坐标原点O按逆时针方向旋转得到，画出，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，为所作，点的坐标为；
（2）解：如图，为所作，点的坐标为；
（3）解：如图，为所作，点的坐标为
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，画出图形即可得出答案；
（2）由中心对称的性质即可得出答案；
（3）画出旋转后的图形，结合图形即可得出答案．
（1）如图，为所作，点的坐标为；
（2）如图，为所作，点的坐标为；
（3）如图，为所作，点的坐标为
17．尺规作图及计算
尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：中，．两直角边分别为、斜边，按要求完成以下问题，
（1）求作斜边的垂直平分线，交边于一点，连接．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若的周长为8，求出的面积．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：如图，
∵为斜边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为8，
∴ ，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作线段垂直平分线的作法画图即可得答案.
（2）根据线段垂直平分线的性质得出相等，再根据的周长为8，得和为8，进一步得 ，即可得，可得，根据完全平方公式即可得，再根据三角形面积公式求解即可得答案.
（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：∵为斜边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∴
又∵中，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元．
（1）每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？
（2）已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元，根据题意可得：解得：
∴每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元.
（2）解：设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个，∴降价后A款纪念品的售价为（元），
每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元），
∴总利润；
根据题意列不等式组得解得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
∴购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元，根据根据题目情境列出二元一次方程组，求解即可得每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元.
（）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个，即可得降价后A款纪念品的售价为108元，每个A款的利润为28元，每个B款的利润为30元，根据题目情境可得总利润为，根据题目情境还可以列不等式组，解出得，再根据一次函数增减性即可得当时，取得最大值17600元，即可得答案.
（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元，
根据题意可得解得
答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元；
（2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个，
∴降价后A款纪念品的售价为（元），
每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元）
∴总利润；
根据题意列不等式组得解得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
19．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”．
（1）方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由．
（2）若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围．
（3）若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围．
【答案】（1）解：方程是不等式组的“约定方程”，理由如下：
解方程得，
解不等式组的解集为，
，
方程是不等式组的“约定方程”.
（2）解：解方程得，
解不等式组的解集为，
关于的方程是不等式组的“约定方程”，
，解得：.
∴的取值范围为．
（3）解：解得，解得，
解不等式①得，解不等式②得，
当时，不等式组的解集为，
方程的解和均不满足，不符合题意.
当时，不等式组的解集为，
上述两方程都是不等式组的约定方程，
解得，
的取值范围为．
【知识点】解一元一次不等式组；解含括号的一元一次方程；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和一元一次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再解题目不等式组，即可验证方程的解是否在不等式组的解集内，再根据“约定方程” 的定义即可得答案.
（2）先解题目不等式组得到解集，再求出题目方程的解，根据 “约定方程” 的定义 列不等式，解出即可得a的取值范围.
（3）先解题目所给的两个方程，再解题目中含参数的不等式组得，当时，不等式组的解集为，当时，不等式组的解集为，再分别根据“约定方程” 的定义 列不等式，解出即可得的取值范围．
（1）解：解方程得，
不等式组的解集为
，
方程是不等式组的“约定方程”；
（2）解方程得，
不等式组的解集为，
关于的方程是不等式组的“约定方程”，
；
解得；
（3）解方程得，
解方程得，
解不等式①得，
解不等式②得，
当时，不等式组的解集为，
方程的解和均不满足，不符合题意；
当时，不等式组的解集为，
上述两方程都是不等式组的约定方程，
解得，
的取值范围为．
20．已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接．
（1）如图1，当时，求的长度．（结果保留根号）
（2）如图，为等腰三角形时，求的值．
（3）如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，．
【答案】（1）解：根据题意得：，
在中，根据勾股定理，得：
．
∴当时，求的长度为.
（2）解：在中，，
根据勾股定理得：，
若，则，解得，
若，则，解得.
若，则，解得．
∴当为等腰三角形时，t的值为，，．
（3）或.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示：
则，
∴，，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，解得：.
②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示：
同①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，解得：.
综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使．
【分析】（1）根据题目情境得，在中，根据勾股定理得当时，求的长度为.
（2）在中，根据勾股定理得，若，则，解得，若，根据勾股定理得，即可得，若，，即可得当为等腰三角形时，t的值为，，．
（3）点Q在线段上时，过点D作于E，连接，即可得等于90度，即可得等于90度，相等，根据平分，得相等，再根据相等可证明全等，根据全等性质得等于6，等于，即可得，根据勾股定理得，，根据勾股定理列方程的，同理得点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，，综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使．
（1）解：根据题意，得，
在中，根据勾股定理，得．
（2）解：在中，，
根据勾股定理，得，
若，则，解得；
若，则，
解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为，，．
（3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示：
则，
∴，，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示：
同①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使．
1 / 1广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期中段学情反馈卷 八年级数学试卷
1．下列式子中是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
2．数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（　　）
A．国旗上升的过程
B．输送带运输的行李箱
C．轮船航行时的螺旋桨的转动
D．商场的扶手电梯载着顾客上下楼
3．下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，．下列尺规作图痕迹中，不能将的面积平分的是（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在等边中，．为上一点，且，的平分线交于点，是上的动点，连结、．则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为　 　．
10．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为　 　．
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则　 　．
12．已知关于的不等式的解集为，则的值为　 　．
13．关于的不等式组有且仅有3个整数解．则的取值范围是　 　．
14．解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
15．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，连接，交于点，且．
（1）求证：，
（2）若点，点分别在边，上改变位置时，保持不变，发现为定值，直接写出______．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并直接写出点的坐标；
（2）若和关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点的坐标；
（3）若绕着坐标原点O按逆时针方向旋转得到，画出，并直接写出点的坐标．
17．尺规作图及计算
尺规作图是一种使用没有刻度的直尺和圆规的方法，我们初中阶段学习的基本作图包括五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线、过一点作已知直线的垂线，亲爱的同学们，你们准备好了吧，如图：中，．两直角边分别为、斜边，按要求完成以下问题，
（1）求作斜边的垂直平分线，交边于一点，连接．（采用尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若的周长为8，求出的面积．
18．2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元．
（1）每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？
（2）已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？
19．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”．
（1）方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由．
（2）若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围．
（3）若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围．
20．已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线以每秒2个单位的速度运动，设点的运动时间为秒，连接．
（1）如图1，当时，求的长度．（结果保留根号）
（2）如图，为等腰三角形时，求的值．
（3）如图3，过点作于点，在点运动过程中，当______时，．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，是一元一次不等式，故A正确.
B、 ，未知数次数为2，不是一元一次不等式，故B错误.
C 、 ，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故C错误.
D 、 ，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故D错误.
故答案为：A．
【分析】根据一元一次不等式的定义判断是一元一次不等式，、、不是一元一次不等式即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象；生活中的旋转现象
【解析】【解答】解：A、国旗上升是沿竖直方向直线运动，属于平移，故A错误.
B、输送带运输的行李箱沿直线运动，属于平移，故B错误.
C、轮船航行时螺旋桨绕中心定点转动，属于旋转，故正确.
D、扶手电梯载顾客上下楼沿直线运动，属于平移，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据平移、旋转的第一分别对ABCD各选项矩形判断即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误.
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误.
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误.
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义 分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解： A、属于整式乘法变形，不属于因式分解，故A错误.
B、，左边是多项式，右边是整式乘积的形式，且展开后左右两边相等，是因式分解，故B正确.
C、的结果是和，不是乘积，不是因式分解，故C错误.
D、的右边为，和左边不相等，不是因式分解，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解定义逐一判断不属于因式分解，是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，即可得答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】如图，
把可移项变形为，
∵直线与直线交于点，
∴当 时，两直线函数值相等 观察图象可知，当时，直线的图象在直线 的图象上方或重合 ，
∴ 不等式的解集是．
故答案为：B.
【分析】将原不等式变形为 ，根据不等式与一次函数的关系得的解集是直线 在直线 上方（包括交点）时 的取值范围，观察图象与交点坐标即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：选项A中，
∵，
∴
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
选项B中，由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴中线平分的面积．
选项C中，
由作图可知，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴直线平分的面积．
选项D中，由题意可知，是的角平分线，不能平分的面积．
故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】三角形的一条中线会将三角形分成两个面积相等的部分，只需要依据这个性质逐一分析选项，就能得到最终的结论。
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得，
解不等式得，即，
∴不等式组的解集为．
把解在数轴上表示为：
故答案为：A.
【分析】解题目不等式组的式得，得，即可得题目不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，
连接，作，
在等边中，，的平分线交于点，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的最小值是的长，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：D.
【分析】连接，作，根据在等边中，，的平分线交于点，有等于3，垂直平分，即可得相等，即可得等于进而得到的最小值是的长，根据含30度角的直角三角形的性质得等于1，等于，再根据勾股定理得，即可得答案.
9．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定；等积变换
【解析】【解答】解：，
∴，
∴该三角形是直角三角形，
根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，结合已知条件得三角形是直角三角形，再根据等面积法可得三角形最长边上的高线为.
10．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
故答案为：2．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，利用角的运算求出，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得.
11．【答案】0
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，解得：，
∴．
故答案为：0.
【分析】根据关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，即可列方程，解出即可得的值，再代入的值.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；解含分数系数的一元一次方程；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解得：，
∵，
∴，解得：．
故答案为：.
【分析】先解不等式得出，结合即可列方程，解出即可得的值.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组有且仅有3个整数解，
不等式组的解集为，且整数解为0，1，2，
m的取值范围为，
故答案为：．
【分析】解题目不等式组，求出其解集，再根据不等式组仅有3个整数解，即可得，且整数解为0，1，2，进一步可得m的取值范围．
14．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）把移项，合并，系数化1，即可得不等式的解集.
（2）把去括号，移项，合并，系数化1，即可得不等式的解集.
（3）把去分母，去括号，移项，合并，系数化1得，然后在数轴上表示出解集即可．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
解得：，
解集在数轴上表示如下：
15．【答案】（1）证明：如图，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得等于60度，相等，再根据相等，根据SAS可证明全等，根据全等三角形的性质得出．
（2）根据全等三角形的性质，结合全等可得相等，再根据三角形内角和定理得等于减去的和，再根据的和为60度，计算即可得等于120度．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
16．【答案】（1）解：如图，为所作，点的坐标为；
（2）解：如图，为所作，点的坐标为；
（3）解：如图，为所作，点的坐标为
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，画出图形即可得出答案；
（2）由中心对称的性质即可得出答案；
（3）画出旋转后的图形，结合图形即可得出答案．
（1）如图，为所作，点的坐标为；
（2）如图，为所作，点的坐标为；
（3）如图，为所作，点的坐标为
17．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：如图，
∵为斜边的垂直平分线，
∴，
∵的周长为8，
∴ ，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作线段垂直平分线的作法画图即可得答案.
（2）根据线段垂直平分线的性质得出相等，再根据的周长为8，得和为8，进一步得 ，即可得，可得，根据完全平方公式即可得，再根据三角形面积公式求解即可得答案.
（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：∵为斜边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∴
又∵中，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元，根据题意可得：解得：
∴每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元.
（2）解：设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个，∴降价后A款纪念品的售价为（元），
每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元），
∴总利润；
根据题意列不等式组得解得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
∴购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元，根据根据题目情境列出二元一次方程组，求解即可得每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元.
（）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个，即可得降价后A款纪念品的售价为108元，每个A款的利润为28元，每个B款的利润为30元，根据题目情境可得总利润为，根据题目情境还可以列不等式组，解出得，再根据一次函数增减性即可得当时，取得最大值17600元，即可得答案.
（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元，
根据题意可得解得
答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元；
（2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个，
∴降价后A款纪念品的售价为（元），
每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元）
∴总利润；
根据题意列不等式组得解得，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值为（元），
答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元．
19．【答案】（1）解：方程是不等式组的“约定方程”，理由如下：
解方程得，
解不等式组的解集为，
，
方程是不等式组的“约定方程”.
（2）解：解方程得，
解不等式组的解集为，
关于的方程是不等式组的“约定方程”，
，解得：.
∴的取值范围为．
（3）解：解得，解得，
解不等式①得，解不等式②得，
当时，不等式组的解集为，
方程的解和均不满足，不符合题意.
当时，不等式组的解集为，
上述两方程都是不等式组的约定方程，
解得，
的取值范围为．
【知识点】解一元一次不等式组；解含括号的一元一次方程；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和一元一次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再解题目不等式组，即可验证方程的解是否在不等式组的解集内，再根据“约定方程” 的定义即可得答案.
（2）先解题目不等式组得到解集，再求出题目方程的解，根据 “约定方程” 的定义 列不等式，解出即可得a的取值范围.
（3）先解题目所给的两个方程，再解题目中含参数的不等式组得，当时，不等式组的解集为，当时，不等式组的解集为，再分别根据“约定方程” 的定义 列不等式，解出即可得的取值范围．
（1）解：解方程得，
不等式组的解集为
，
方程是不等式组的“约定方程”；
（2）解方程得，
不等式组的解集为，
关于的方程是不等式组的“约定方程”，
；
解得；
（3）解方程得，
解方程得，
解不等式①得，
解不等式②得，
当时，不等式组的解集为，
方程的解和均不满足，不符合题意；
当时，不等式组的解集为，
上述两方程都是不等式组的约定方程，
解得，
的取值范围为．
20．【答案】（1）解：根据题意得：，
在中，根据勾股定理，得：
．
∴当时，求的长度为.
（2）解：在中，，
根据勾股定理得：，
若，则，解得，
若，则，解得.
若，则，解得．
∴当为等腰三角形时，t的值为，，．
（3）或.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示：
则，
∴，，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，解得：.
②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示：
同①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，解得：.
综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使．
【分析】（1）根据题目情境得，在中，根据勾股定理得当时，求的长度为.
（2）在中，根据勾股定理得，若，则，解得，若，根据勾股定理得，即可得，若，，即可得当为等腰三角形时，t的值为，，．
（3）点Q在线段上时，过点D作于E，连接，即可得等于90度，即可得等于90度，相等，根据平分，得相等，再根据相等可证明全等，根据全等性质得等于6，等于，即可得，根据勾股定理得，，根据勾股定理列方程的，同理得点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，，综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使．
（1）解：根据题意，得，
在中，根据勾股定理，得．
（2）解：在中，，
根据勾股定理，得，
若，则，解得；
若，则，
解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为，，．
（3）解：①点Q在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示：
则，
∴，，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点Q在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示：
同①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点Q的运动过程中，当t的值为或时，能使．
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