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广东江门市蓬江区2025-2026学年第二学期阶段性自查 八年级数学
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母（或分母中不含根号）.
对于A选项，
∵的被开方数满足上述两个条件，
∴是最简二次根式.
对于B选项，
∵，
∴不是最简二次根式.
对于C选项，
∵，
∴不是最简二次根式.
对于D选项，
∵，被开方数含分母，
∴不是最简二次根式.
综上，故答案选：A.
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．下列四个命题中，假命题是（　　）
A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意；
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C.
【分析】解题思路：由特殊四边形的判定定理出发，逐个对照四个命题的条件与结论；先拆分每个命题的已知条件，再结合平行四边形、菱形、矩形判定规则，由条件推导对应图形，对比题干结论，判断命题真假，最终筛选假命题.
3．由线段组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C．，， D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
B、 ∵，，，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
C、∵，，，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
D、∵，设，，，
∴，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意，
故选：D．
【分析】由勾股定理逆定理判定直角三角形的规则出发，先确定每组线段里的最长边，分别计算短边平方之和与最长边平方，对比两个式子是否相等，相等即为直角三角形，不等则不是，最终锁定答案。
4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　）
A． B． C． D．12s
【答案】A
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】将h=60代入公式，结合二次根式性质即可求出答案.
5．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由作图方法得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
故选：A.
【分析】由平面直角坐标系内x轴上两点坐标来计算两点间距，得到半径AC，由圆的半径定义（同圆心圆弧半径相等）推导出AB=AC，锁定斜边AB的数值；由坐标轴互相垂直判定△AOB为直角三角形，确定一条直角边OA的长度；由勾股定理列式计算另一条直角边OB；由y轴上点的坐标规律 + 正半轴位置写出B点坐标.
6．镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵六边形为正六边形，
∴，，
∴．
故
【分析】
根据多边形内角和公式（n-2）180°求出六边形的内角和，再根据它是正六边形可求每个内角的度数得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可．
7．已知，，则a与b的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，即．
故选：A．
【分析】对a进行分母有理数，结合二次根式性质化简，即可求出答案.
8．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是16和41，则字母P所代表的正方形的边长为（　　）
A．5 B．6 C．25 D．57
【答案】A
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，，
∵
∴
∴字母P所代表的正方形的边长为5．
故答案为：A
【分析】根据正方形面积可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
9．如图，在中，已知，，点D，E分别为的中点，平分交于点F，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．1.8
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点，分别为，的中点，
∴是的中位线，，
，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：1.
【分析】由中点条件锁定DE为三角形中位线，利用中位线性质，同时算出DE长度与BD长度，得到DE∥AB的平行关系；依托平行线内错角相等，得到∠ABF=∠DFB；结合角平分线定义∠ABF=∠DBF，等量代换推出∠DBF=∠DFB；根据 “等角对等边” 判定△DBF为等腰三角形，DF=BD=3；观察线段位置：DE=DF+EF，变形EF=DE DF，代入数值计算最终结果.
10．如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，
，故②正确；
③由②知：，
，故③正确；
④由②知：是的中位线，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【分析】根据角平分线定义可得，根据平行四边形性质可得，，则，再根据等角对等边可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据边之间的关系可得，再根据等角对等边可得，再根据三角形外角性质可得∠ACE，再根据直线平行性质可判断①；根据三角形中位线定理可得，，根据勾股定理可得OC，再根据平行四边形性质可得，则，再根据勾股定理可判断②；根据平行四边形面积可判断③；根据三角形中位线定理及边之间的关系可判断④.
11．若在实数范围内有意义，那么x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得，
移项得，
两边同时除以（不等号方向改变），得，
故答案为：.
【分析】由二次根式有意义的限制条件，被开方数必须是非负数，据此列出一元一次不等式；再通过移项、系数化为 1 求解不等式，注意系数为负数时不等号方向改变，最终得到x的取值范围.
12．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，
∵，
∴，
∴最短边为，
∴最短边的一半为，
故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为，
故答案为：．
【分析】对三边分别平方，借助勾股逆定理验证三角形为直角三角形，明确斜边与两条直角边；统一根式形式（3=、=），被开方数越小根式越小，判定是最短边；由中线定义，最短边上中点把边均分，算出该边一半长度；原直角三角形一条直角边3、最短边一半与所求中线构成直角三角形，再用勾股定理算出中线.
13．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是　 　．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵木条，的中点O重叠，
∴，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【分析】从题干操作条件切入，两根木条中点重合，对角线被交点平分，得到OA=OC、OB=OD；再匹配平行四边形判定定理，对应 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”，得到判定依据.
14．如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：∵6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，
∴这个几何体的长是，宽是，高是，
①经过前面和右边
②经过上面和右边
③经过前面和下边
∵
故答案为：.
【分析】明确蚂蚁在几何体表面爬行不能穿内部，必须把相邻两个面铺平在同一平面，依据 “两点之间线段最短”，AB连线为该展开方式下最短路径；结合几何体长宽高，梳理A、B所在面能拼接的三类展开组合，分别算出每种展开后直角三角形的两条直角边长；逐个利用勾股定理算出每种方案的线段长度；根式大小对比，筛选出数值最小的即为全题最短距离.
15．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示：
依题意得：，
四边形是平行四边形，
蓝丝带宽为，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
，
平行四边形是菱形，
重叠部分图形的面积是：，
故答案为：．
【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得：，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得和都是等腰直角三角形，则，，根据勾股定理可得AB，AD，再根据菱形判定定理及面积即可求出答案.
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用根式乘除法则÷=、 =，分别计算除法项÷与乘法项×；把化简为最简二次根式；合并同类二次根式（+），最后合并有理数，得到最终化简结果。
17．如图是的方格，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请在方格中作一个格点正方形（顶点在格点上），使得正方形的面积为8个平方单位；
（2）请在图上建立合适的平面直角坐标系，并写出点F的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：建立如下平面直角坐标系，则即为所求．
【知识点】点的坐标；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据面积公式S=a2，算出目标正方形边长；结合网格（单位长 1），利用勾股确定：直角边为2、2的直角三角形斜边==，刚好匹配边长；在网格中选取 4 个格点，使相邻两点间距都是，依次连线得到所求格点正方形.
（2）选择正方形对角线交点作为原点，简化坐标计算；水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立坐标系；看点F在x=0、y=2位置，写出坐标(0，2).
（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：建立如下平面直角坐标系，则即为所求．
18．如图，这是某推车的简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），按照设计要求需满足，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】解：∵，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴该推车符合设计要求．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得，即可求出答案.
19．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为．
（1）求的值；
（2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？
【答案】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，，∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，总周长为，
∵，，，
∴
∴不能围成这两个正方形．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正方形面积公式，用边长平方表示S1、S2；利用完全平方和、完全平方差公式(a±b)2=a2±2ab+b2分别展开两个平方式；与互为相反数抵消，剩余有理数相加，算出面积和.（2）依据正方形周长公式，分别列式表示两个正方形周长，再相加化简总周长；化简时与 抵消，得到总周长；两个正数比较，分别平方后比大小，判定>16；总需要铁丝长度＞现有铁丝长度，故不能围成.
（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，，
∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，
总周长为，
∵，，，
∴
∴不能围成这两个正方形．
20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）借助平行四边形对边平行且相等，结合BE=DF作差，推导出AF平行且等于EC，依据一组对边平行且相等判定AECF是平行四边形；由AC⊥AB得到Rt△ABC，E是BC中点，利用 “直角三角形斜边中线等于斜边一半” 得到AE=EC；根据菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形为菱形，完成证明.
（2）平行四边形对角相等得∠B=60 ，结合DF=BE=EC=2算出BC总长；Rt△ABC中30 对直角边AB=BC，勾股算出AC，求△ABC面积；E为BC中点，S△AEC=S△ABC；菱形沿对角线AC平分，面积等于2S△AEC，等量代换得到菱形面积.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．已知，求的值．小华是这样分析与解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，∴
．
（2）解：原式
．
（3）解：，
理由：，
，
，
，
．
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）对m分母有理化，利用平方差公式去掉分母根式，化简m= 2；变形得m+2=，两边平方展开，整理出m2+4m=1，所求代数式提取系数2，变形为含m2+4m的形式，整体代入1算出结果.
（2）每一项都用平方差分母有理化：；展开后相邻正负根式抵消，只剩首项 1、末项；化简得到答案.
（3）两个式子均为正数，采用倒数法，分别分母有理化得到两个无理和；直接比较两个有理化后的式子，+更大；正数范围内，倒数越大，原数越小，推出原式大小关系.
（1）解：∵，
∴
．
（2）解：原式
．
（3）解：，
理由：，
，
，
，
．
22．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．
（1）如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ；
（2）如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长；
（3）如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点．
【答案】（1）
（2）解：当最长时，，设，则，
∴，
解得：，
即；
当最长时，，
设，则，
，
解得：，
即；
综上所述，线段的长为或.
（3）证明：如图，过点A作，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）已知BN最长，判定BN是直角三角形斜边，AM、MN为两条直角边；代入勾股公式BN=，代入数值开方得到结果.
（2）由AM=4固定，MN、BN在总长8的线段上，斜边分两种情况：BN最长或MN最长；分别设BN为未知数，用总长表示MN，依据勾股分割点的勾股关系列一元一次方程；分别求解方程，得到两种符合题意的BN长度.
（3）构造垂线 + 作等线段AD=BN，构造△ADC △BNC，实现BN转移为AD、CN转移为CD；利用∠MCN=45 推导∠DCM=45 ，再证△DCM △NCM，把MN转化成DM；在直角△DAM中用勾股定理得到AD2+AM2=DM2，等量代换AD=BN、DM=MN，得到AM2+BN2=MN2，满足勾股分割点定义.
（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，
∴，
故答案为：；
（2）解：当最长时，，
设，则，
∴，
解得：，
即；
当最长时，，
设，则，
，
解得：，
即；
综上所述，线段的长为或；
（3）证明：如图，过点A作，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
23．如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且．
（1）若，求的长；
（2）如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，连接，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形的边长为，，
，
，
，
.
（2）证明：，，
，
，
∵O是的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
.
（3）解：连接，如下图，
在中，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
由（2）得，，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由正方形边长得到BC，结合BE⊥EC，在Rt△BEC中利用勾股定理算出直角边CE；根据EC=CF、EC\perp CF判定△ECF是等腰直角三角形，再次用勾股定理计算斜边EF.（2）由BE、CF同垂直于CE，证BE∥CF，得到内错角相等；结合OE=OC，用AAS证明△OBE △OFC，得到BE=CF；一组对边平行且相等判定BCFE为平行四边形，利用平行四边形对边相等得到结论.
（3）利用平行四边形对角、同位角相等，结合等腰Rt△内角45 ，算出∠CBE=45 ，结合等腰Rt△BEC边长关系求出BE；正方形对角线用勾股算出BD=8；∠CBD=45 ，∠CBE=45 ，得∠DBE=90 ；在Rt△DBE中再次勾股算出DE.
（1）解：∵正方形的边长为，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
∵O是的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
；
（3）解：连接，如下图，
在中，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
由（2）得，，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵
∴．
1 / 1广东江门市蓬江区2025-2026学年第二学期阶段性自查 八年级数学
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个命题中，假命题是（　　）
A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
3．由线段组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C．，， D．
4．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　）
A． B． C． D．12s
5．如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，则a与b的关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是16和41，则字母P所代表的正方形的边长为（　　）
A．5 B．6 C．25 D．57
9．如图，在中，已知，，点D，E分别为的中点，平分交于点F，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．1.8
10．如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
11．若在实数范围内有意义，那么x的取值范围是　 　．
12．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为　 　．
13．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是　 　．
14．如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为　 　．
15．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是　 　．
16．计算：．
17．如图是的方格，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）请在方格中作一个格点正方形（顶点在格点上），使得正方形的面积为8个平方单位；
（2）请在图上建立合适的平面直角坐标系，并写出点F的坐标．
18．如图，这是某推车的简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），按照设计要求需满足，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由．
19．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为．
（1）求的值；
（2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？
20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
21．已知，求的值．小华是这样分析与解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）比较与的大小，并说明理由．
22．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．
（1）如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ；
（2）如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长；
（3）如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点．
23．如图1，正方形的边长为，在中，，连接，且．
（1）若，求的长；
（2）如图2，连接交于点O，若O是的中点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，连接，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母（或分母中不含根号）.
对于A选项，
∵的被开方数满足上述两个条件，
∴是最简二次根式.
对于B选项，
∵，
∴不是最简二次根式.
对于C选项，
∵，
∴不是最简二次根式.
对于D选项，
∵，被开方数含分母，
∴不是最简二次根式.
综上，故答案选：A.
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意；
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C.
【分析】解题思路：由特殊四边形的判定定理出发，逐个对照四个命题的条件与结论；先拆分每个命题的已知条件，再结合平行四边形、菱形、矩形判定规则，由条件推导对应图形，对比题干结论，判断命题真假，最终筛选假命题.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
B、 ∵，，，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
C、∵，，，
∴，
∴能够成直角三角形，故本选项错误；
D、∵，设，，，
∴，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意，
故选：D．
【分析】由勾股定理逆定理判定直角三角形的规则出发，先确定每组线段里的最长边，分别计算短边平方之和与最长边平方，对比两个式子是否相等，相等即为直角三角形，不等则不是，最终锁定答案。
4．【答案】A
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】将h=60代入公式，结合二次根式性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由作图方法得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
故选：A.
【分析】由平面直角坐标系内x轴上两点坐标来计算两点间距，得到半径AC，由圆的半径定义（同圆心圆弧半径相等）推导出AB=AC，锁定斜边AB的数值；由坐标轴互相垂直判定△AOB为直角三角形，确定一条直角边OA的长度；由勾股定理列式计算另一条直角边OB；由y轴上点的坐标规律 + 正半轴位置写出B点坐标.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵六边形为正六边形，
∴，，
∴．
故
【分析】
根据多边形内角和公式（n-2）180°求出六边形的内角和，再根据它是正六边形可求每个内角的度数得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可．
7．【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，即．
故选：A．
【分析】对a进行分母有理数，结合二次根式性质化简，即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得，，，
∵
∴
∴字母P所代表的正方形的边长为5．
故答案为：A
【分析】根据正方形面积可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点，分别为，的中点，
∴是的中位线，，
，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：1.
【分析】由中点条件锁定DE为三角形中位线，利用中位线性质，同时算出DE长度与BD长度，得到DE∥AB的平行关系；依托平行线内错角相等，得到∠ABF=∠DFB；结合角平分线定义∠ABF=∠DBF，等量代换推出∠DBF=∠DFB；根据 “等角对等边” 判定△DBF为等腰三角形，DF=BD=3；观察线段位置：DE=DF+EF，变形EF=DE DF，代入数值计算最终结果.
10．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，
，故②正确；
③由②知：，
，故③正确；
④由②知：是的中位线，
，
，
，
故④正确；
故选：D．
【分析】根据角平分线定义可得，根据平行四边形性质可得，，则，再根据等角对等边可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据边之间的关系可得，再根据等角对等边可得，再根据三角形外角性质可得∠ACE，再根据直线平行性质可判断①；根据三角形中位线定理可得，，根据勾股定理可得OC，再根据平行四边形性质可得，则，再根据勾股定理可判断②；根据平行四边形面积可判断③；根据三角形中位线定理及边之间的关系可判断④.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得，
移项得，
两边同时除以（不等号方向改变），得，
故答案为：.
【分析】由二次根式有意义的限制条件，被开方数必须是非负数，据此列出一元一次不等式；再通过移项、系数化为 1 求解不等式，注意系数为负数时不等号方向改变，最终得到x的取值范围.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，
∵，
∴，
∴最短边为，
∴最短边的一半为，
故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为，
故答案为：．
【分析】对三边分别平方，借助勾股逆定理验证三角形为直角三角形，明确斜边与两条直角边；统一根式形式（3=、=），被开方数越小根式越小，判定是最短边；由中线定义，最短边上中点把边均分，算出该边一半长度；原直角三角形一条直角边3、最短边一半与所求中线构成直角三角形，再用勾股定理算出中线.
13．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵木条，的中点O重叠，
∴，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【分析】从题干操作条件切入，两根木条中点重合，对角线被交点平分，得到OA=OC、OB=OD；再匹配平行四边形判定定理，对应 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”，得到判定依据.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：∵6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，
∴这个几何体的长是，宽是，高是，
①经过前面和右边
②经过上面和右边
③经过前面和下边
∵
故答案为：.
【分析】明确蚂蚁在几何体表面爬行不能穿内部，必须把相邻两个面铺平在同一平面，依据 “两点之间线段最短”，AB连线为该展开方式下最短路径；结合几何体长宽高，梳理A、B所在面能拼接的三类展开组合，分别算出每种展开后直角三角形的两条直角边长；逐个利用勾股定理算出每种方案的线段长度；根式大小对比，筛选出数值最小的即为全题最短距离.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示：
依题意得：，
四边形是平行四边形，
蓝丝带宽为，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
同理：，
，
平行四边形是菱形，
重叠部分图形的面积是：，
故答案为：．
【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得：，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据等腰直角三角形判定定理可得和都是等腰直角三角形，则，，根据勾股定理可得AB，AD，再根据菱形判定定理及面积即可求出答案.
16．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用根式乘除法则÷=、 =，分别计算除法项÷与乘法项×；把化简为最简二次根式；合并同类二次根式（+），最后合并有理数，得到最终化简结果。
17．【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：建立如下平面直角坐标系，则即为所求．
【知识点】点的坐标；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据面积公式S=a2，算出目标正方形边长；结合网格（单位长 1），利用勾股确定：直角边为2、2的直角三角形斜边==，刚好匹配边长；在网格中选取 4 个格点，使相邻两点间距都是，依次连线得到所求格点正方形.
（2）选择正方形对角线交点作为原点，简化坐标计算；水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立坐标系；看点F在x=0、y=2位置，写出坐标(0，2).
（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：建立如下平面直角坐标系，则即为所求．
18．【答案】解：∵，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴该推车符合设计要求．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，，∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，总周长为，
∵，，，
∴
∴不能围成这两个正方形．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据正方形面积公式，用边长平方表示S1、S2；利用完全平方和、完全平方差公式(a±b)2=a2±2ab+b2分别展开两个平方式；与互为相反数抵消，剩余有理数相加，算出面积和.（2）依据正方形周长公式，分别列式表示两个正方形周长，再相加化简总周长；化简时与 抵消，得到总周长；两个正数比较，分别平方后比大小，判定>16；总需要铁丝长度＞现有铁丝长度，故不能围成.
（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，，
∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，
总周长为，
∵，，，
∴
∴不能围成这两个正方形．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）借助平行四边形对边平行且相等，结合BE=DF作差，推导出AF平行且等于EC，依据一组对边平行且相等判定AECF是平行四边形；由AC⊥AB得到Rt△ABC，E是BC中点，利用 “直角三角形斜边中线等于斜边一半” 得到AE=EC；根据菱形判定定理：一组邻边相等的平行四边形为菱形，完成证明.
（2）平行四边形对角相等得∠B=60 ，结合DF=BE=EC=2算出BC总长；Rt△ABC中30 对直角边AB=BC，勾股算出AC，求△ABC面积；E为BC中点，S△AEC=S△ABC；菱形沿对角线AC平分，面积等于2S△AEC，等量代换得到菱形面积.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：∵，∴
．
（2）解：原式
．
（3）解：，
理由：，
，
，
，
．
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）对m分母有理化，利用平方差公式去掉分母根式，化简m= 2；变形得m+2=，两边平方展开，整理出m2+4m=1，所求代数式提取系数2，变形为含m2+4m的形式，整体代入1算出结果.
（2）每一项都用平方差分母有理化：；展开后相邻正负根式抵消，只剩首项 1、末项；化简得到答案.
（3）两个式子均为正数，采用倒数法，分别分母有理化得到两个无理和；直接比较两个有理化后的式子，+更大；正数范围内，倒数越大，原数越小，推出原式大小关系.
（1）解：∵，
∴
．
（2）解：原式
．
（3）解：，
理由：，
，
，
，
．
22．【答案】（1）
（2）解：当最长时，，设，则，
∴，
解得：，
即；
当最长时，，
设，则，
，
解得：，
即；
综上所述，线段的长为或.
（3）证明：如图，过点A作，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）已知BN最长，判定BN是直角三角形斜边，AM、MN为两条直角边；代入勾股公式BN=，代入数值开方得到结果.
（2）由AM=4固定，MN、BN在总长8的线段上，斜边分两种情况：BN最长或MN最长；分别设BN为未知数，用总长表示MN，依据勾股分割点的勾股关系列一元一次方程；分别求解方程，得到两种符合题意的BN长度.
（3）构造垂线 + 作等线段AD=BN，构造△ADC △BNC，实现BN转移为AD、CN转移为CD；利用∠MCN=45 推导∠DCM=45 ，再证△DCM △NCM，把MN转化成DM；在直角△DAM中用勾股定理得到AD2+AM2=DM2，等量代换AD=BN、DM=MN，得到AM2+BN2=MN2，满足勾股分割点定义.
（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，
∴，
故答案为：；
（2）解：当最长时，，
设，则，
∴，
解得：，
即；
当最长时，，
设，则，
，
解得：，
即；
综上所述，线段的长为或；
（3）证明：如图，过点A作，且，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点．
23．【答案】（1）解：∵正方形的边长为，，
，
，
，
.
（2）证明：，，
，
，
∵O是的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
.
（3）解：连接，如下图，
在中，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
由（2）得，，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由正方形边长得到BC，结合BE⊥EC，在Rt△BEC中利用勾股定理算出直角边CE；根据EC=CF、EC\perp CF判定△ECF是等腰直角三角形，再次用勾股定理计算斜边EF.（2）由BE、CF同垂直于CE，证BE∥CF，得到内错角相等；结合OE=OC，用AAS证明△OBE △OFC，得到BE=CF；一组对边平行且相等判定BCFE为平行四边形，利用平行四边形对边相等得到结论.
（3）利用平行四边形对角、同位角相等，结合等腰Rt△内角45 ，算出∠CBE=45 ，结合等腰Rt△BEC边长关系求出BE；正方形对角线用勾股算出BD=8；∠CBD=45 ，∠CBE=45 ，得∠DBE=90 ；在Rt△DBE中再次勾股算出DE.
（1）解：∵正方形的边长为，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
∵O是的中点，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
；
（3）解：连接，如下图，
在中，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
由（2）得，，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵
∴．
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