资源简介

广东省梅州市五华县2025-2026学年第二学期七年级数学期中学习能力检测试题
1． 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴. 下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　)
A．一箭双雕 B．刻舟求剑 C．水涨船高 D．竹篮打水
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．一箭双雕是随机事件，因此选项A符合题意；
B．刻舟求剑是不可能事件，因此选项B不符合题意；
C．水涨船高是必然事件，因此选项C不符合题意；
D．竹篮打水是不可能事件，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合成语的意义进行判断即可．
2．2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值小于1时为负整数.
3．如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项，
故答案为：B．
【分析】我们可以结合两个基本几何结论来进行比较：首先根据“两点之间，线段最短”，能够得出B方案的路程长度小于C方案和D方案；再结合“垂线段最短”的性质，可以得到B方案的路程长度也小于A方案，由此即可判断出哪个方案是最短的。
4． 下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法合并同类项以及单项式乘单项式的计算方法逐项分析判断即可.
5．如图，在四边形中，点在边的延长线上，添加下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：、，，不能判断，不符合题意，选项错误；
、，不能判断，不符合题意，选项错误；
、，，符合题意，选项正确；
、，，不能判断，不符合题意，选项错误．
故答案为：．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
6．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
B．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
C．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
D．，两项都互为相反数，没有完全相同的项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算；
故答案为：D
【分析】根据平方差公式结构特点（a+b）(a-b)=a2-b2，符合平方差公式条件的为（-0.5x-y）(0.5x+y)．
7．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C
【分析】 ，由平行线的性质，得，平分 ，得，则．
8．若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为，依题意得
展开左边得
化简得
解得，即
∴这个正方形的边长为．
故答案为：D
【分析】设原正方形的边长为x，根据面积增加则列方程为 ，解得x=10.
9．如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；余角
【解析】【解答】解：根据反射定律知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据反射定律得，由余角的性质得，对顶角的性质得，等角代换得==．
10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①②正确；
题目条件无法证明平分，故④不正确．
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得，，判断③正确， ，， 根据平行线的性质得，等量代换得 则，则，所以 判断①②正确.
11．若，则的补角等于　 　．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；补角
【解析】【解答】解： ，
∴的补角等于
故答案为：
【分析】根据互为补角的两角之和为，，则 .
12． 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共 50个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在 30%，则可估计口袋中白球个数是　 　.
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵红色、黑色、白色的小球共 50个，摸到白色小球的频率稳定在 30%，
∴白球的个数=50×30%=15，
故答案为：15.
【分析】利用“频数=总数×频率”列出算式求解即可.
13．如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆在王老师家的北偏东方向上，学校在图书馆的北偏西方向上．则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】方位角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，
，
．
故答案为：110°
【分析】根据平行线的性质得，再根据平角的定义．
14．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴．
故答案为：75°
【分析】在中，由三角形内角和定理，得，由平行线的性质得，折叠的性质得=75°.
15．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为8时，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
，
∵代数式的值为8，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4
【分析】将式子变形为的形式为（x-2）3，（x-2）3=8，解得=4．
16． 计算：
【答案】解：原式=-1+1-4+8
=4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂化简，再计算即可.
17．如图，直线，相交于点，上有一点（不在直线上）．
（1）过点作直线（点在点左侧），使（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：，
，
．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）作∠MPD=∠MQB，利用同位角相等，两直线平行，则CD∥AB；
（2）利用平行线的性质两直线平行内错角相等得∠CPN=∠AQN=65°，对顶角相等得 =∠CPN=．
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：，
，
．
18．在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去．
（1）求小丽获胜的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？
【答案】（1）；解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、，
小丽获胜的概率是；
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是，
转盘上的奇数有个，即、，
小芳获胜的概率为，
，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，
这个游戏不公平；
修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一），
此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，概率为；
（2）小丽获胜的概率小芳获胜的概率，得游戏不公平；要使游戏公平，转盘上的偶数和奇数的个数相等．
（1）解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、，
小丽获胜的概率是；
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是，
转盘上的奇数有个，即、，
小芳获胜的概率为，
，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，
这个游戏不公平；
修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一），
此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平．
19．化简求值：，其中．
【答案】解：
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴当，时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】平方差公式和完全平方公式进行化简计算结果为，再根据非负数的性质得=1、=-2，代入化简后的式子计算结果为．
20．如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴．
∵，
∴ ．
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）由，得，再根据平行线的性质得，，，则．
（2）由，得．得，，，．
（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴ ．
∵，
∴，
∵，
∴．
21．探究不同情境，回答下面问题：
（1）发现：两个差为8的正整数的积与16的和总是某个正整数的平方．
验证：①一个数为2，另一个数为10，它们的差为8，则的结果是哪个正整数的平方？
②若较小的正整数是，算出这两个正整数的积与16的和，并说明该结果是哪个正整数的平方．
（2）延伸：两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为，求的值．
【答案】（1）解：①，∵，
∴的结果是的平方；
②∵较小的正整数是，两个正整数的差为8，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与16的和为，
∵，
∴该结果是的平方；
（2）解：∵较小的正整数为，两个正整数的差为6，∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与的和为，
∵，且两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，
∴由完全平方公式可得．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）①先计算出式子的值，即可得出结果6；
②由题意得另一个正整数为，表示出这两个正整数的积与16的和为，再结合完全平方公式得为，是的平方；
（2）由题意可得另一个正整数为，表示出这两个正整数的积与的和为，再结合完全平方公式得．．
（1）解：①，
∵，
∴的结果是的平方；
②∵较小的正整数是，两个正整数的差为8，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与16的和为，
∵，
∴该结果是的平方；
（2）解：∵较小的正整数为，两个正整数的差为6，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与的和为，
∵，且两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，
∴由完全平方公式可得．
22．综合与探究
若满足，求的值．
解：设，，则，，．
（1）【类比探究】若满足，求的值；
（2）【联系拓展】若满足，求的值；
（3）【解决问题】如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
；
（3）解：由题意可知：，，，
，，
长方形的面积，
，
，
，
阴影部分的面积和为平方单位．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】（1）先求出和的和，利用完全平方公式100；
（2）先求出和的差，利用完全平方公式46；
（3）先根据题意得=21-x，=17-x，再根据长方形的面积为平方单位，则，=4，根据完全平方公式得=．
（1）解：，，
；
（2）解：，，
；
（3）解：由题意可知：，，，
，，
长方形的面积，
，
，
，
阴影部分的面积和为平方单位．
23．综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即．
【探索发现】
（1）如图1，之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系．
【答案】（1）；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
过点F作，
，
，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过O作，
，
，
∴，，
∴，
即；
【分析】本题考查平行线的性质和判定的综合探究，解题关键是通过作辅助线、设角的度数，结合平行线的性质进行角的等量代换和推导。
(1)过点作，由得，根据“两直线平行，内错角相等”得、，进而推导出角的和的关系；
(2)设，由邻补角得，再由得，结合求出，进而得出角的等量关系；
(3)过点作，由得，设，根据平行线的性质得，结合(2)的结论表示出和，再推导出的表达式，进而得出两者的数量关系。
1 / 1广东省梅州市五华县2025-2026学年第二学期七年级数学期中学习能力检测试题
1． 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴. 下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　)
A．一箭双雕 B．刻舟求剑 C．水涨船高 D．竹篮打水
2．2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（　　）
A． B．
C． D．
4． 下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形中，点在边的延长线上，添加下列条件能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　）
A． B． C． D．
10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　）
A．①②③ B．③④ C．②③ D．①②③④
11．若，则的补角等于　 　．
12． 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共 50个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在 30%，则可估计口袋中白球个数是　 　.
13．如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆在王老师家的北偏东方向上，学校在图书馆的北偏西方向上．则的度数是　 　．
14．如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得到，且满足，则　 　．
15．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为8时，则的值为　 　．
16． 计算：
17．如图，直线，相交于点，上有一点（不在直线上）．
（1）过点作直线（点在点左侧），使（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，若，求的度数．
18．在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去．
（1）求小丽获胜的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？
19．化简求值：，其中．
20．如图，在三角形中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
21．探究不同情境，回答下面问题：
（1）发现：两个差为8的正整数的积与16的和总是某个正整数的平方．
验证：①一个数为2，另一个数为10，它们的差为8，则的结果是哪个正整数的平方？
②若较小的正整数是，算出这两个正整数的积与16的和，并说明该结果是哪个正整数的平方．
（2）延伸：两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为，求的值．
22．综合与探究
若满足，求的值．
解：设，，则，，．
（1）【类比探究】若满足，求的值；
（2）【联系拓展】若满足，求的值；
（3）【解决问题】如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
23．综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即．
【探索发现】
（1）如图1，之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．一箭双雕是随机事件，因此选项A符合题意；
B．刻舟求剑是不可能事件，因此选项B不符合题意；
C．水涨船高是必然事件，因此选项C不符合题意；
D．竹篮打水是不可能事件，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合成语的意义进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值小于1时为负整数.
3．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项，
故答案为：B．
【分析】我们可以结合两个基本几何结论来进行比较：首先根据“两点之间，线段最短”，能够得出B方案的路程长度小于C方案和D方案；再结合“垂线段最短”的性质，可以得到B方案的路程长度也小于A方案，由此即可判断出哪个方案是最短的。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法合并同类项以及单项式乘单项式的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：、，，不能判断，不符合题意，选项错误；
、，不能判断，不符合题意，选项错误；
、，，符合题意，选项正确；
、，，不能判断，不符合题意，选项错误．
故答案为：．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
B．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
C．，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
D．，两项都互为相反数，没有完全相同的项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算；
故答案为：D
【分析】根据平方差公式结构特点（a+b）(a-b)=a2-b2，符合平方差公式条件的为（-0.5x-y）(0.5x+y)．
7．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C
【分析】 ，由平行线的性质，得，平分 ，得，则．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正方形的边长为，依题意得
展开左边得
化简得
解得，即
∴这个正方形的边长为．
故答案为：D
【分析】设原正方形的边长为x，根据面积增加则列方程为 ，解得x=10.
9．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；余角
【解析】【解答】解：根据反射定律知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据反射定律得，由余角的性质得，对顶角的性质得，等角代换得==．
10．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①②正确；
题目条件无法证明平分，故④不正确．
故答案为：A
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得，，判断③正确， ，， 根据平行线的性质得，等量代换得 则，则，所以 判断①②正确.
11．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；补角
【解析】【解答】解： ，
∴的补角等于
故答案为：
【分析】根据互为补角的两角之和为，，则 .
12．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵红色、黑色、白色的小球共 50个，摸到白色小球的频率稳定在 30%，
∴白球的个数=50×30%=15，
故答案为：15.
【分析】利用“频数=总数×频率”列出算式求解即可.
13．【答案】
【知识点】方位角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，
，
．
故答案为：110°
【分析】根据平行线的性质得，再根据平角的定义．
14．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴．
故答案为：75°
【分析】在中，由三角形内角和定理，得，由平行线的性质得，折叠的性质得=75°.
15．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
，
∵代数式的值为8，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4
【分析】将式子变形为的形式为（x-2）3，（x-2）3=8，解得=4．
16．【答案】解：原式=-1+1-4+8
=4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂化简，再计算即可.
17．【答案】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：，
，
．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）作∠MPD=∠MQB，利用同位角相等，两直线平行，则CD∥AB；
（2）利用平行线的性质两直线平行内错角相等得∠CPN=∠AQN=65°，对顶角相等得 =∠CPN=．
（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：，
，
．
18．【答案】（1）；解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、，
小丽获胜的概率是；
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是，
转盘上的奇数有个，即、，
小芳获胜的概率为，
，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，
这个游戏不公平；
修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一），
此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，概率为；
（2）小丽获胜的概率小芳获胜的概率，得游戏不公平；要使游戏公平，转盘上的偶数和奇数的个数相等．
（1）解：小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成份，其中偶数有个，即、、、，
小丽获胜的概率是；
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是，
转盘上的奇数有个，即、，
小芳获胜的概率为，
，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，
这个游戏不公平；
修改方案：将转盘上的数字改为、、、、、（答案不唯一），
此时，小丽获胜的概率，小芳获胜的概率，
小丽获胜的概率小芳获胜的概率，游戏公平．
19．【答案】解：
，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴当，时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】平方差公式和完全平方公式进行化简计算结果为，再根据非负数的性质得=1、=-2，代入化简后的式子计算结果为．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴．
∵，
∴ ．
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】（1）由，得，再根据平行线的性质得，，，则．
（2）由，得．得，，，．
（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴ ．
∵，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】（1）解：①，∵，
∴的结果是的平方；
②∵较小的正整数是，两个正整数的差为8，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与16的和为，
∵，
∴该结果是的平方；
（2）解：∵较小的正整数为，两个正整数的差为6，∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与的和为，
∵，且两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，
∴由完全平方公式可得．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）①先计算出式子的值，即可得出结果6；
②由题意得另一个正整数为，表示出这两个正整数的积与16的和为，再结合完全平方公式得为，是的平方；
（2）由题意可得另一个正整数为，表示出这两个正整数的积与的和为，再结合完全平方公式得．．
（1）解：①，
∵，
∴的结果是的平方；
②∵较小的正整数是，两个正整数的差为8，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与16的和为，
∵，
∴该结果是的平方；
（2）解：∵较小的正整数为，两个正整数的差为6，
∴另一个正整数为，
∴这两个正整数的积为，
∴这两个正整数的积与的和为，
∵，且两个差为6的正整数的积与的和始终为某个数的平方，
∴由完全平方公式可得．
22．【答案】（1）解：，，
；
（2）解：，，
；
（3）解：由题意可知：，，，
，，
长方形的面积，
，
，
，
阴影部分的面积和为平方单位．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】（1）先求出和的和，利用完全平方公式100；
（2）先求出和的差，利用完全平方公式46；
（3）先根据题意得=21-x，=17-x，再根据长方形的面积为平方单位，则，=4，根据完全平方公式得=．
（1）解：，，
；
（2）解：，，
；
（3）解：由题意可知：，，，
，，
长方形的面积，
，
，
，
阴影部分的面积和为平方单位．
23．【答案】（1）；
（2）与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
过点F作，
，
，
∴，，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过O作，
，
，
∴，，
∴，
即；
【分析】本题考查平行线的性质和判定的综合探究，解题关键是通过作辅助线、设角的度数，结合平行线的性质进行角的等量代换和推导。
(1)过点作，由得，根据“两直线平行，内错角相等”得、，进而推导出角的和的关系；
(2)设，由邻补角得，再由得，结合求出，进而得出角的等量关系；
(3)过点作，由得，设，根据平行线的性质得，结合(2)的结论表示出和，再推导出的表达式，进而得出两者的数量关系。
1 / 1

展开更多......

收起↑