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北京市海淀区清华大学附属中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．8 D．12
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在解关于，的二元一次方程组时，如果①②可直接消去未知数，那么和满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
5．每一个外角都是的正多边形是（　　）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
6．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是　 　．
12．如图，在中，平分，于E．若，，则　 　．
13．若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为　 　．
14．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围是　 　．
15．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是　 　 ．
16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为　 　．
三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题8分，第19、20题每题5分，第21题4分，第22、23题每题6分，第24、25题每题7分）
17．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数．
18．解方程组
（1）；
（2）．
19．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使
（1）请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线；
③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D；
④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接．
（2）在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）．
①，②，③，④．
20．解不等式组：
21．如图，在中，，D，E是上两点，且，过点D作，过E作交于点F．求证：．
22．在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示：
校服熊 校服兔
进价（元/个） 50 52
售价（元/个） 55 59
（1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）．
（2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）．
23．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的．
（1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
①，②，③
（2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围.
24．对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”．
例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”．
（1）对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）；
①，②，③
（2）已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围．
25．如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三条边长为，
三角形的两边长分别为7和4，根据三角形的三边关系可知，
，
，
A、1＜3，故A不符合题意，
B、2＜3，故B不符合题意，
C、3＜8＜11，故C符合题意，
D、12＞11，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式求解即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B. 若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C. 若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意；
D. 若，令，，得，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意；
B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意；
C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意；
D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，
可直接消去未知数，
故，
故选D．
【分析】根据加减消元法化简即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
∴每一个外角都是的正多边形是正五边形，
故选：B．
【分析】根据正多边形外角即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：，
故选：A．
【分析】设买美酒斗，买普通酒斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
7．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据垂线的定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式2（x-1）＞4，得x＞3；
解不等式x-a＞0，得x＞a
∵不等式的解集为x＞3
∴a的取值范围是a≤3
故答案为：D.
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
由得：，
方程组的解满足，
，
解得：，
整数m的最小值为2，
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：，
，
即，
，，
，
，①结论正确；
，
，
，
，
，②结论正确；
如图，过点作，，
，
，
平分，③结论正确；
假设平分，
，
平分，
，
，
即，
又，
，
，
而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误；
综上所述：结论①②③正确，共3个，
故答案为：B．
【分析】根据题意先证明，可判断结论①；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断结论②；过点作，，根据全等三角形的性质和角平分线的判定定理，可判断结论③；假设平分，可证，再求出，可判断结论④．
11．【答案】5
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故答案为：5.
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可.
12．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴，
，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出，再根据三角形面积公式计算求解即可.
13．【答案】-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由方程是关于x，y的二元一次方程，
得|n|＝1且n﹣1≠0；
解得n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】先求出|n|＝1且n﹣1≠0，再求出|n|＝1且n﹣1≠0，最后计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据点A在第四象限求出，再解不等式组求解即可.
15．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵在中，是中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
【分析】根据边之间的关系可得EF，根据三角形中线性质可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】3或8
【知识点】三角形三边关系；分类讨论
【解析】【解答】解：设三角形第三边的长是x，
由三角形三边关系定理得到，
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
∵，
∴三角形第三边的长是3或8．
故答案为：3或8．
【分析】根据倍长三角形定义，结合三角形三边关系即可求出答案.
17．【答案】解：∵是高，
∴.
∵，
∴，，
∴.
∵是的平分线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形的高可得∠ADC，根据三角形内角和定理可得∠ABC，∠DAC，根据角之间的关系可得∠BAD，再根据角平分线定义可得∠ABF，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：，
由②①得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组求解即可.
（1）解：，
由②①得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）②
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（2）解：根据作图可知：，，，
∴，
即判定的依据是，
故答案为：②．
【分析】（1）根据题意作图步骤进行作图即可；
（2）根据作图痕迹，利用即可证明三角形全等.
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：根据作图可知：，，，
∴，
即判定的依据是②，
故答案为：②．
20．【答案】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据题意先求出，再求出，最后求不等式组的解集即可.
21．【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行线的性质求出，再求出，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可.
22．【答案】（1）解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，
根据题意得：，
解得：．
答：“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个.
（2）104；56
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，
则采购“校服兔”个，
由题意得：，
解得：，
∵均为正整数，
，
（个），
∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104 个，“校服兔” 56 个．
故答案为：104，56．
【分析】（1）根据题意找出等量关系式求出，再解方程组求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出m=104，最后求解即可.
（1）解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，
根据题意得：，
解得：．
答：“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个；
（2）解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个，
根据题意得：，
解得：，
又 ∵均为正整数，
，
个，
∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104 个，“校服兔” 56 个．
故答案为： 104，56 ．
23．【答案】（1）③
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴其所有整数解为，
，
解不等式③得：，
解不等式④得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组与是“整数同解”的，
∴不等式组的所有整数解为，
∴，
解得：.
（3）
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：（1），
解得：，
∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，
①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；
②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意；
③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；
故答案为：③.
（3），
解得：，
，
解得：，
∵不等式组与是“整数同解”的，
设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数，
则有，
解得：，
，
，
为非负整数，
．
将代入得：．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，最后作答求解即可；
（2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组求解即可；
（3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组求解即可.
（1）解：，解得：，
∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，
①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；
②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意；
③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；
故答案为：③
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∴其所有整数解为，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组与是“整数同解”的，
∴不等式组的所有整数解为，
∴，
解得：；
（3）解：，解得：，
，解得：，
∵不等式组与是“整数同解”的，
设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数，
则有，
解得：，
，
，
为非负整数，
．
将代入得：
．
24．【答案】（1）①③
（2）；
（3）解：由②知，，
∵，
∴，，
故，，，
∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，
∴，
即，
解得：，
综上所述，t的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，，
①，解不等式得，
∵，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解，
∴为关于的“3阶不等式”，符合题意；
②，解不等式得，
∵，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解，
∴为关于的“4阶不等式”，不符合题意；
③，解不等式组得，
∵，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解，
∴为关于的“3阶不等式”，符合题意；
故答案为：①③；
（2），
得：，
将代入②得：，
故答案为：，．
【分析】（1）根据“3阶不等式（组）”的定义结合题意求解即可；
（2）利用加减消元法解方程求解即可；
（3）根据题意先求出，，再求出，最后求解即可.
（1）解：∵，，
∴，，
①，解不等式得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解，
所以为关于的“3阶不等式”，符合题意；
②，解不等式得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解，
所以为关于的“4阶不等式”，不符合题意；
③，解不等式组得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解，
所以为关于的“3阶不等式”，符合题意；
故答案为：①③；
（2）解：，
得：，
将代入②得：，
故答案为：，．
（3）解：由②知，，
∵，
∴，，
故，，，
∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，
∴，
即，
解得：，
综上，．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC，根据角之间的关系可得∠DCB+∠CBM，根据角平分线定义可得∠PCB+∠PBC，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1北京市海淀区清华大学附属中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三条边长为，
三角形的两边长分别为7和4，根据三角形的三边关系可知，
，
，
A、1＜3，故A不符合题意，
B、2＜3，故B不符合题意，
C、3＜8＜11，故C符合题意，
D、12＞11，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式求解即可得出答案.
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B. 若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C. 若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意；
D. 若，令，，得，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质对每个选项逐一判断求解即可.
3．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意；
B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意；
C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意；
D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
4．在解关于，的二元一次方程组时，如果①②可直接消去未知数，那么和满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，
可直接消去未知数，
故，
故选D．
【分析】根据加减消元法化简即可求出答案.
5．每一个外角都是的正多边形是（　　）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
∴每一个外角都是的正多边形是正五边形，
故选：B．
【分析】根据正多边形外角即可求出答案.
6．《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：，
故选：A．
【分析】设买美酒斗，买普通酒斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
7．如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据垂线的定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算求解即可.
8．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解不等式2（x-1）＞4，得x＞3；
解不等式x-a＞0，得x＞a
∵不等式的解集为x＞3
∴a的取值范围是a≤3
故答案为：D.
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案。
9．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
由得：，
方程组的解满足，
，
解得：，
整数m的最小值为2，
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可.
10．如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：，
，
即，
，，
，
，①结论正确；
，
，
，
，
，②结论正确；
如图，过点作，，
，
，
平分，③结论正确；
假设平分，
，
平分，
，
，
即，
又，
，
，
而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误；
综上所述：结论①②③正确，共3个，
故答案为：B．
【分析】根据题意先证明，可判断结论①；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断结论②；过点作，，根据全等三角形的性质和角平分线的判定定理，可判断结论③；假设平分，可证，再求出，可判断结论④．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是　 　．
【答案】5
【知识点】二元一次方程的解；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故答案为：5.
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可.
12．如图，在中，平分，于E．若，，则　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴，
，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出，再根据三角形面积公式计算求解即可.
13．若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由方程是关于x，y的二元一次方程，
得|n|＝1且n﹣1≠0；
解得n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】先求出|n|＝1且n﹣1≠0，再求出|n|＝1且n﹣1≠0，最后计算求解即可。
14．在平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据点A在第四象限求出，再解不等式组求解即可.
15．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是　 　 ．
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵在中，是中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
【分析】根据边之间的关系可得EF，根据三角形中线性质可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为　 　．
【答案】3或8
【知识点】三角形三边关系；分类讨论
【解析】【解答】解：设三角形第三边的长是x，
由三角形三边关系定理得到，
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
∵，
∴三角形第三边的长是3或8．
故答案为：3或8．
【分析】根据倍长三角形定义，结合三角形三边关系即可求出答案.
三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题8分，第19、20题每题5分，第21题4分，第22、23题每题6分，第24、25题每题7分）
17．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数．
【答案】解：∵是高，
∴.
∵，
∴，，
∴.
∵是的平分线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】根据三角形的高可得∠ADC，根据三角形内角和定理可得∠ABC，∠DAC，根据角之间的关系可得∠BAD，再根据角平分线定义可得∠ABF，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．解方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
由②①得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组求解即可；
（2）利用加减消元法解方程组求解即可.
（1）解：，
由②①得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
19．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使
（1）请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线；
③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D；
④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接．
（2）在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）．
①，②，③，④．
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）②
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（2）解：根据作图可知：，，，
∴，
即判定的依据是，
故答案为：②．
【分析】（1）根据题意作图步骤进行作图即可；
（2）根据作图痕迹，利用即可证明三角形全等.
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：根据作图可知：，，，
∴，
即判定的依据是②，
故答案为：②．
20．解不等式组：
【答案】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据题意先求出，再求出，最后求不等式组的解集即可.
21．如图，在中，，D，E是上两点，且，过点D作，过E作交于点F．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据平行线的性质求出，再求出，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可.
22．在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示：
校服熊 校服兔
进价（元/个） 50 52
售价（元/个） 55 59
（1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）．
（2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）．
【答案】（1）解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，
根据题意得：，
解得：．
答：“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个.
（2）104；56
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（2）解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，
则采购“校服兔”个，
由题意得：，
解得：，
∵均为正整数，
，
（个），
∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104 个，“校服兔” 56 个．
故答案为：104，56．
【分析】（1）根据题意找出等量关系式求出，再解方程组求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出m=104，最后求解即可.
（1）解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，
根据题意得：，
解得：．
答：“校服熊”购进 120 个，“校服兔”购进 80 个；
（2）解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个，
根据题意得：，
解得：，
又 ∵均为正整数，
，
个，
∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104 个，“校服兔” 56 个．
故答案为： 104，56 ．
23．如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的．
（1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
①，②，③
（2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）③
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴其所有整数解为，
，
解不等式③得：，
解不等式④得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组与是“整数同解”的，
∴不等式组的所有整数解为，
∴，
解得：.
（3）
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：（1），
解得：，
∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，
①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；
②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意；
③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；
故答案为：③.
（3），
解得：，
，
解得：，
∵不等式组与是“整数同解”的，
设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数，
则有，
解得：，
，
，
为非负整数，
．
将代入得：．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，最后作答求解即可；
（2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组求解即可；
（3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组求解即可.
（1）解：，解得：，
∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，
①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；
②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意；
③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；
故答案为：③
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∴其所有整数解为，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组与是“整数同解”的，
∴不等式组的所有整数解为，
∴，
解得：；
（3）解：，解得：，
，解得：，
∵不等式组与是“整数同解”的，
设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数，
则有，
解得：，
，
，
为非负整数，
．
将代入得：
．
24．对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”．
例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”．
（1）对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）；
①，②，③
（2）已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）；
（3）解：由②知，，
∵，
∴，，
故，，，
∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，
∴，
即，
解得：，
综上所述，t的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，，
①，解不等式得，
∵，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解，
∴为关于的“3阶不等式”，符合题意；
②，解不等式得，
∵，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解，
∴为关于的“4阶不等式”，不符合题意；
③，解不等式组得，
∵，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解，
∴为关于的“3阶不等式”，符合题意；
故答案为：①③；
（2），
得：，
将代入②得：，
故答案为：，．
【分析】（1）根据“3阶不等式（组）”的定义结合题意求解即可；
（2）利用加减消元法解方程求解即可；
（3）根据题意先求出，，再求出，最后求解即可.
（1）解：∵，，
∴，，
①，解不等式得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有，，0是该不等式的解，
所以为关于的“3阶不等式”，符合题意；
②，解不等式得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有，0，3，是该不等式的解，
所以为关于的“4阶不等式”，不符合题意；
③，解不等式组得，
∵因为，，0，3，，这五个数中有0，3，是该不等式的解，
所以为关于的“3阶不等式”，符合题意；
故答案为：①③；
（2）解：，
得：，
将代入②得：，
故答案为：，．
（3）解：由②知，，
∵，
∴，，
故，，，
∵关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，
∴，
即，
解得：，
综上，．
25．如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC，根据角之间的关系可得∠DCB+∠CBM，根据角平分线定义可得∠PCB+∠PBC，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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