资源简介

第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
学习目标　1.知道带电粒子的初速度方向和磁场方向垂直时,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。2.会应用动力学方法推导半径公式和周期公式。3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。
知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
如图所示,可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转。
(1)不加磁场时,电子束的运动轨迹如何 加上磁场时,电子束的运动轨迹如何
(2)运动的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由谁提供
(3)如果保持出射电子的速度不变,增大磁感应强度,轨迹圆半径如何变化
(4)如果保持磁感应强度不变,增大出射电子的速度,轨迹圆半径如何变化
提示　(1)一条直线　圆　(2)洛伦兹力　(3)减小　(4)增大
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直,只改变粒子速度的方向,不改变粒子速度的大小。
(2)沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
(1)运动条件:不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。
(2)洛伦兹力作用:提供带电粒子做圆周运动的向心力。
(3)由qvB＝m,可得r＝。
①粒子在同一匀强磁场中,由半径公式r＝知,r与m、q、v有关。
②同一粒子在同一磁场中,由r＝知,r与v成正比。
(4)由r＝和T＝,可得T＝。
当粒子垂直进入同一匀强磁场中,速度越大,半径越大,但周期相同,即周期与运动速度无关,与半径大小无关,而与带电粒子的比荷成反比。
【思考】
1.带电粒子(不计重力)以速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中。
(1)若v∥B,则带电粒子做何运动
(2)若v⊥B,则带电粒子做何运动
(3)若v与B的夹角为θ(0<θ<90°),则带电粒子做何运动
提示　(1)匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动。
(3)旋进运动。当v与B间有夹角时,将速度v分解为v1和v2,则v1＝vsin θ,v2＝vcos θ,带电粒子在垂直磁场方向以分速度v1做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,在平行于磁场方向以分速度v2做匀速直线运动,合运动为螺旋形运动(旋进运动)。
2.带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动,这时公式r＝是否成立
提示　成立。在非匀强磁场中,随着B的变化,粒子轨迹的圆心、半径不断变化,但粒子运动到某位置的半径仍由B、q、v、m决定,仍满足r＝。
例1 (多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍。两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动,与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子(　　)
A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D.做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
答案　AC
解析　电子在两匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,evB＝,可得r＝,即,A正确;由a＝得,,B错误;根据周期公式T＝,C正确;根据角速度与周期成反比,可得,D错误。
训练1 一质子在匀强磁场中运动,不考虑重力作用,下列说法正确的是(　　)
A.可能做匀变速直线运动
B.可能做匀变速曲线运动
C.可能做匀速直线运动
D.只能做匀速圆周运动
答案　C
解析　质子在磁场中若受到洛伦兹力的作用,因洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直,改变速度方向,因而同时也改变洛伦兹力的方向,可知洛伦兹力是变力,质子不可能做匀变速运动,故A、B错误;质子在匀强磁场中运动时所受的洛伦兹力中速度方向与磁场方向的夹角有关,当速度方向与磁场方向平行时,它不受洛伦兹力作用,又不受其他力作用,这时它将做匀速直线运动,故C正确,D错误。
训练2 质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动,已知α粒子质量是质子的4倍,电荷量是质子的2倍。则下列说法正确的是(　　)
A.质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B.质子和α粒子的周期之比为2∶1
C.质子和α粒子的动量之比为1∶2
D.质子和α粒子的动能之比为2∶1
答案　C
解析　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,则速度v＝,由于质子和α粒子做圆周运动的半径相同,即r1＝r2,且α粒子的质量是质子质量的4倍,电荷量是质子的2倍,故两粒子的速度大小之比为,A错误;带电粒子在磁场中运动的周期T＝,两粒子的周期之比,B错误;结合A项分析可知两粒子的动量之比,C正确;结合A项分析可知两粒子的动能之比为＝1,D错误。
知识点二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析
1.圆心的确定方法:两线定一“心”
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆心(如图甲所示,P为入射点,M为出射点)。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
已知入射方向和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点)。
2.半径的确定
方法1:由公式qvB＝m,得半径r＝。
方法2:根据勾股定理求解。如图所示,若已知出射点相对于入射点侧移了x,磁场的宽度为d,则有r2＝d2＋(r－x)2。
方法3:根据三角函数求解。如图所示,若已知出射速度方向与入射速度方向的夹角为θ,磁场的宽度为d,则有r＝。
3.圆心角与偏向角、弦切角的关系
(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角,偏向角等于圆弧对应的圆心角α,即α＝φ,如图所示。
(2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α＝2θ,如图所示。
综上:圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。
4.时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间为t＝T。
(2)利用粒子在磁场中运动的弧长s和速度v求解t＝或t＝T。
例2 如图所示,在第一象限内,有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大),磁感应强度为B,一电子从O点沿纸面以速度v射入磁场中,速度方向与x轴成30°角,已知电子质量为m,电荷量为e。
(1)定性地画出电子在磁场中的轨迹,并求电子的轨迹半径;
(2)求电子离开磁场的出射点到O点的距离;
(3)求电子在磁场中运动的时间。
答案　(1)见解析图　　(2)　(3)
解析　(1)由左手定则可知,电子刚射入时受力方向垂直速度方向向右下方,则可知运动轨迹如图所示。
电子在做圆周运动的过程中,设半径为r,由evB＝m得
r＝。
(2)结合(1)中所画运动轨迹,由几何关系可解得圆心角为60°,由几何关系可知出射点到O点的距离等于电子的轨迹半径,即d＝r＝。
(3)电子在磁场中的运动周期为T＝
电子在磁场中运动的圆心角为60°,则运动的时间为t＝T
联立解得t＝。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
训练3 如图所示,在平面坐标系xOy的第一象限内,存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子,沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0,a)射入磁场,从x轴上的点P2(2a,0)射出磁场,不计粒子受到的重力,则粒子的比荷为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上,如图所示,设轨迹的半径为R,有(R－a)2＋4a2＝R2,解得R＝,由牛顿第二定律可得qv0B＝,解得,故B正确。
训练4 (多选)如图所示,两个速度大小不同的同种带电粒子1、2,沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°,关于它们在磁场中的运动情况,下列结论正确的是(　　)
A.轨迹半径之比为1∶2 　B.速度之比为2∶1
C.时间之比为3∶2 　D.周期之比为2∶1
答案　AC
解析　设粒子的入射点到磁场下边界的距离为d,粒子的运动轨迹如图所示。粒子1、2的轨迹圆心分别为O1、O2。由几何关系可知,粒子1轨迹半径r1＝d,粒子2轨迹半径r2满足r2sin 30°＋d＝r2,解得r2＝2d,所以两粒子在磁场中运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝1∶2,故A正确;由r＝可知v与r成正比,所以速度之比也为1∶2,故B错误;
粒子在磁场中运动的周期为T＝,与粒子的速度大小无关,所以粒子周期之比为1∶1,故D错误;由于粒子1、2的偏转角分别为90°、60°,所以粒子1运动的时间为,粒子2运动的时间为,所以时间之比t1∶t2＝3∶2,故C正确。
随堂对点自测
1.(带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题)关于带电粒子在匀强磁场中的运动,下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子飞入匀强磁场后,一定做匀速圆周运动
B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时,带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
答案　C
解析　若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向),此时洛伦兹力为零,带电粒子做匀速直线运动,A错误;静止的带电粒子不受洛伦兹力,仍将静止,B错误;带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,洛伦兹力总是跟速度方向垂直,即和运动方向垂直,C正确;如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场,洛伦兹力与运动方向垂直,带电粒子不是做匀速圆周运动,D错误。
2.(带电粒子在匀强磁场中的运动)(2026·江苏盐城高二月考)在同一匀强磁场中,两带电荷量相等的粒子,仅受磁场力作用,做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.若速率相等,则半径必相等
B.若速率相等,则周期必相等
C.若动量大小相等,则半径必相等
D.若动能相等,则周期必相等
答案　C
解析　根据qvB＝m,解得r＝,电荷量相等,速率相等,但是质量不一定相等,半径不一定相等,故A错误;根据T＝,电荷量相等,动能相等,质量不一定相等,周期不一定相等,故B、D错误;根据qvB＝m,解得r＝,电荷量相等,mv大小相等,则半径必相等,C正确。
3.(带电粒子在匀强磁场中运动)(2025·北京房山期末)如图所示,某带电粒子(重力不计)由M点以垂直于磁场以及磁场边界的速度v射入宽度为d,磁感应强度大小为B的匀强磁场中,穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°。由此推断该带电粒子(　　)
A.带负电且动能增大
B.粒子的运动半径为
C.电荷量与质量的比值为
D.穿越磁场的时间为
答案　C
解析　由左手定则可知,粒子带负电,因洛伦兹力不做功,则粒子的动能不变,故A错误;粒子的运动半径为r＝＝2d,故B错误;根据qvB＝m,可得电荷量与质量的比值为,故C正确;穿越磁场的时间为t＝,故D错误。
基础对点练
题组一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
1.(多选)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又顺利垂直地进入另一磁感应强度是原来2倍的匀强磁场,则(　　)
A.粒子的速率加倍,周期减半
B.粒子的速率不变,轨道半径减半
C.粒子的速率减半,轨道半径变为原来的
D.粒子的速率不变,周期减半
答案　BD
解析　由qvB＝m知r＝,由于洛伦兹力不做功,故速率不变,而B变为原来的2倍,故r变为原来的,B正确,C错误;由T＝知,B变为原来的2倍,周期则变为原来的,A错误,D正确。
2.一带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场,经过轨迹如图所示,轨迹上每一小段都可以近似看成圆弧,其能量逐渐减小(质量、电荷量不变),从图中可以确定运动方向和电性的是(　　)
A.粒子从b到a,带负电
B.粒子从a到b,带负电
C.粒子从a到b,带正电
D.粒子从b到a,带正电
答案　A
解析　由于带电粒子的能量逐渐减小,故其速度减小,由在磁场中的洛伦兹力有提供向心力,有qvB＝m,解得其半径为r＝,随着速度的减小其半径逐渐减小,可知粒子的运动方向从b到a;由其偏转方向及左手定则可知粒子带负电,故A正确。
3.质子pH)和α粒子He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径分别为Rp和Rα,周期分别为Tp和Tα,则下列选项中正确的是(　　)
A.Rp∶Rα＝1∶2,Tp∶Tα＝1∶2
B.Rp∶Rα＝1∶1,Tp∶Tα＝1∶1
C.Rp∶Rα＝1∶1,Tp∶Tα＝1∶2
D.Rp∶Rα＝1∶2,Tp∶Tα＝1∶1
答案　A
解析　质子pH)和α粒子He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2,质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知,轨道半径R＝,周期T＝,因为两粒子速率相同,代入q、m,可得Rp∶Rα＝1∶2,Tp∶Tα＝1∶2,故选项A正确,B、C、D错误。
4.(2026·河北衡水高二期中)如图所示,在垂直纸面向里的匀强磁场中,有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动,a的初速度为v,b的初速度为2v,则(　　)
A.a做圆周运动的轨道半径大
B.b做圆周运动的周期大
C.a、b同时回到出发点
D.a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动
答案　C
解析　根据evB＝m,得r＝,a的初速度为v,b的初速度为2v,则a做圆周运动的轨道半径小,A错误;根据T＝,两个电子运动周期相同,同时回到出发点,B错误,C正确;根据左手定则,a、b在纸面内做顺时针方向的圆周运动,D错误。
题组二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析
5.如图所示,竖直平面 LL'右侧存在着足够大的匀强磁场,a、b两带电粒子从边界上的S点垂直于磁场方向射入磁场,经过磁场偏转后分别打在LL'边界上的M、N两点。已知粒子a、b在磁场中运动的速度之比为2∶1,S点到M、N两点的距离之比为1∶2。不计粒子重力及粒子间相互作用,设粒子a、b的比荷分别为、,则两者比荷之比∶为(　　)
A.1∶1 B.1∶4
C.1∶2 D.4∶1
答案　D
解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,可得,由题意知S点到M、N两点的距离之比为1∶2,则有,又,所以∶＝4∶1,故D正确,A、B、C错误。
6.(多选)如图所示,截面为正方形的容器处在匀强磁场中,一束电子从孔A垂直磁场射入容器中,其中一部分从C孔射出,一部分从D孔射出,则下列叙述正确的是(　　)
A.从两孔射出的电子速率之比vC∶vD＝2∶1
B.从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比tC∶tD＝1∶2
C.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比aC∶aD＝∶1
D.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比aC∶aD＝2∶1
答案　ABD
解析　RC＝,RD＝,因为RC＝2RD,所以vC∶vD＝2∶1,故A正确;tC＝,tD＝,所以tC∶tD＝1∶2,故B正确;加速度a＝∝v,所以加速度之比aC∶aD＝vC∶vD＝2∶1,故C错误,D正确。
7.(2026·辽宁大连高二期中)如图所示,在xOy坐标系的第Ⅰ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°角的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q,OP＝a,不计带电粒子重力。根据上述信息可以得出(　　)
A.带电粒子带负电
B.带电粒子在磁场中运动的半径为a
C.带电粒子在磁场中运动的速率为
D.带电粒子在磁场中运动的时间为
答案　D
解析　依题意,可画出粒子在磁场中运动轨迹以及圆心的所在位置如图所示,
由左手定则判断知该粒子带正电,故A错误;根据几何关系,可得带电粒子在磁场中运动的半径为r＝a,故B错误;由洛伦兹力提供向心力,有qvB＝m,可得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝,故C错误;根据几何关系,可得粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为θ＝180°－60°＝120°,粒子在磁场中运动的周期T＝,可得带电粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝,故D正确。
综合提升练
8.如图所示,一束离子以相同的速度垂直射入匀强磁场后分为a、b两束,下列说法正确的是(　　)
A.a束离子和b束离子都带负电
B.a束离子和b束离子质量一定不同
C.a束离子的比荷大于b束离子的比荷
D.a束离子的周期大于b束离子的周期
答案　C
解析　根据左手定则知,a束离子和b束离子都带正电,选项A错误;根据牛顿第二定律得qv0B＝m,解得r＝,a束离子的轨迹半径小于b束离子,所以<,a束离子的比荷大于b束离子的比荷,但是不能确定a束和b束的离子质量的大小关系,选项B错误,C正确;根据T＝,<可知, a束离子的周期小于b束离子的周期,D错误。
9.平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场,速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,并从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　粒子运动的轨迹如图所示。
运动半径为R＝。由运动的对称性知,出射速度的方向与OM间的夹角为30°,由图中几何关系知lBC＝2R,则出射点到O点的距离为lBO＝,故选项D正确。
10.如图所示,一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子,从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点,求:
(1)粒子做圆周运动的周期;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)若O、P之间的距离为0.1 m,则粒子的运动速度的大小。
答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T
(3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的运动轨迹,如图所示,由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°,
则
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
(2)由qvB＝m,T＝,得T＝
则B＝ T＝0.314 T。
(3)由几何知识知,半径r＝＝0.1 m
由qvB＝m得,粒子的运动速度大小为
v＝ m/s
≈3.49×105 m/s。
培优加强练
11.(2026·湖北武汉高二期末)如图所示,平面直角坐标系的第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),一带正电的粒子,电荷量为q,质量为m,从y轴上的点A(0,L)沿某方向射入磁场,若干时间后到达第四象限的点B,粒子在点B的速度大小为v,方向与y轴平行,不计重力,求:
(1)匀强磁场B的大小;
(2)粒子从点A到点B的时间t。
答案　(1)　(2)
解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,
由牛顿第二定律qvB＝m
由几何关系
r2＝
解得r＝L
B＝。
(2)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心角为θ,则sin(π－θ)＝
得θ＝
则粒子从点A到点B的时间t＝
得t＝。(共56张PPT)
第3节　带电粒子在匀强磁场中的运动
第一章　安培力与洛伦兹力
1.知道带电粒子的初速度方向和磁场方向垂直时,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.会应用动力学方法推导半径公式和周期公式。
3.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。
学习目标
目 录
00ONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析
知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
如图所示,可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转。
(1)不加磁场时,电子束的运动轨迹如何 加上磁场时,电子束的运动轨迹如何
(2)运动的带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由谁提供
(3)如果保持出射电子的速度不变,增大磁感应强度,轨迹圆半径如何变化
(4)如果保持磁感应强度不变,增大出射电子的速度,轨迹圆半径如何变化
提示　(1)一条直线　圆　(2)洛伦兹力　(3)减小　(4)增大
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直,只改变粒子速度的______,不改变粒子速度的______。
(2)沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在匀强磁场中做____________运动。
方向
大小
匀速圆周
2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
(1)运动条件:不计重力的带电粒子沿着与磁场______的方向进入匀强磁场。
(2)洛伦兹力作用:提供带电粒子做圆周运动的_________。
(3)由qvB＝m,可得r＝_____。
①粒子在同一匀强磁场中,由半径公式r＝知,r与m、q、v有关。
②同一粒子在同一磁场中,由r＝知,r与v成正比。
(4)由r＝和T＝,可得T＝。
当粒子垂直进入同一匀强磁场中,速度越大,半径越大,但周期相同,即周期与运动速度无关,与半径大小无关,而与带电粒子的比荷成反比。
垂直
向心力
【思考】
1.带电粒子(不计重力)以速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中。
(1)若v∥B,则带电粒子做何运动
(2)若v⊥B,则带电粒子做何运动
(3)若v与B的夹角为θ(0<θ<90°),则带电粒子做何运动
提示　(1)匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动。
(3)旋进运动。当v与B间有夹角时,将速度v分解为v1和v2,则v1＝vsin θ,v2＝vcos θ,带电粒子在垂直磁场方向以分速度v1做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,在平行于磁场方向以分速度v2做匀速直线运动,合运动为螺旋形运动(旋进运动)。
2.带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动,这时公式r＝是否成立
提示　成立。在非匀强磁场中,随着B的变化,粒子轨迹的圆心、半径不断变化,但粒子运动到某位置的半径仍由B、q、v、m决定,仍满足r＝。
例1 (多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍。两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动,与Ⅰ中运动的电子相比,Ⅱ中的电子(　　)
A.运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B.加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C.做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D.做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
AC
解析　电子在两匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,evB＝,可得r＝,即,A正确;由a＝得,,B错误;根据周期公式T＝,C正确;根据角速度与周期成反比,可得,D错误。
训练1 一质子在匀强磁场中运动,不考虑重力作用,下列说法正确的是(　　)
A.可能做匀变速直线运动 B.可能做匀变速曲线运动
C.可能做匀速直线运动 D.只能做匀速圆周运动
解析　质子在磁场中若受到洛伦兹力的作用,因洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直,改变速度方向,因而同时也改变洛伦兹力的方向,可知洛伦兹力是变力,质子不可能做匀变速运动,故A、B错误;质子在匀强磁场中运动时所受的洛伦兹力中速度方向与磁场方向的夹角有关,当速度方向与磁场方向平行时,它不受洛伦兹力作用,又不受其他力作用,这时它将做匀速直线运动,故C正确,D错误。
C
训练2 质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动,已知α粒子质量是质子的4倍,电荷量是质子的2倍。则下列说法正确的是(　　)
A.质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B.质子和α粒子的周期之比为2∶1
C.质子和α粒子的动量之比为1∶2
D.质子和α粒子的动能之比为2∶1
C
解析　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,则速度v＝,由于质子和α粒子做圆周运动的半径相同,即r1＝r2,且α粒子的质量是质子质量的4倍,电荷量是质子的2倍,故两粒子的速度大小之比为,A错误;带电粒子在磁场中运动的周期T＝,两粒子的周期之比,B错误;结合A项分析可知两粒子的动量之比,C正确;结合A项分析可知两粒子的动能之比为＝1,D错误。
知识点二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析
1.圆心的确定方法:两线定一“心”
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆心(如图甲所示,P为入射点,M为出射点)。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
已知入射方向和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点)。
2.半径的确定
方法1:由公式qvB＝m,得半径r＝。
方法2:根据勾股定理求解。如图所示,若已知出射点相对于入射点侧移了x,磁场的宽度为d,则有r2＝d2＋(r－x)2。
方法3:根据三角函数求解。如图所示,若已知出射速度方向与入射速度方向的夹角为θ,磁场的宽度为d,则有r＝。
3.圆心角与偏向角、弦切角的关系
(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角,偏向角等于圆弧对应的圆心角α,即α＝φ,如图所示。
(2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α＝2θ,如图所示。
综上:圆心角＝偏向角＝2倍弦切角。
4.时间的确定
(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间为t＝T。
(2)利用粒子在磁场中运动的弧长s和速度v求解t＝或t＝T。
例2 如图所示,在第一象限内,有垂直纸面向里的匀强磁场(磁场足够大),磁感应强度为B,一电子从O点沿纸面以速度v射入磁场中,速度方向与x轴成30°角,已知电子质量为m,电荷量为e。
(1)定性地画出电子在磁场中的轨迹,并求电子的轨迹半径;
解析　由左手定则可知,电子刚射入时受力方向垂直速度方向向右下方,则可知运动轨迹如图所示。
电子在做圆周运动的过程中,设半径为r,由evB＝m得r＝。
答案　见解析图　　
(2)求电子离开磁场的出射点到O点的距离;
解析　结合(1)中所画运动轨迹,由几何关系可解得圆心角为60°,由几何关系可知出射点到O点的距离等于电子的轨迹半径,即d＝r＝。
答案　　
(3)求电子在磁场中运动的时间。
解析　电子在磁场中的运动周期为T＝
电子在磁场中运动的圆心角为60°,
则运动的时间为t＝T
联立解得t＝。
答案　
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法
训练3 如图所示,在平面坐标系xOy的第一象限内,存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子,沿x轴正方向以速度v0从y轴上的点P1(0,a)射入磁场,从x轴上的点P2(2a,0)射出磁场,不计粒子受到的重力,则粒子的比荷为(　　)
B
A. B.
C. D.
解析　粒子运动轨迹对应的圆心在y轴上,如图所示,设轨迹的半径为R,有(R－a)2＋4a2＝R2,解得R＝,由牛顿第二定律可得qv0B＝,解得,故B正确。
训练4 (多选)如图所示,两个速度大小不同的同种带电粒子1、2,沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°,关于它们在磁场中的运动情况,下列结论正确的是(　　)
AC
A.轨迹半径之比为1∶2
B.速度之比为2∶1
C.时间之比为3∶2
D.周期之比为2∶1
解析　设粒子的入射点到磁场下边界的距离为d,粒子的运动轨迹如图所示。粒子1、2的轨迹圆心分别为O1、O2。由几何关系可知,粒子1轨迹半径r1＝d,粒子2轨迹半径r2满足r2sin 30°＋d＝r2,解得r2＝2d,所以两粒子在磁场中运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝1∶2,故A正确;由r＝可知v与r成正比,所以速度之比也为1∶2,故B错误;
粒子在磁场中运动的周期为T＝,与粒子的速度大小无关,所以粒子周期之比为1∶1,故D错误;由于粒子1、2的偏转角分别为90°、60°,所以粒子1运动的时间为,粒子2运动的时间为,所以时间之比t1∶t2＝3∶2,故C正确。
随堂对点自测
2
C
1.(带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题)关于带电粒子在匀强磁场中的运动,下列说法正确的是(　　)
A.带电粒子飞入匀强磁场后,一定做匀速圆周运动
B.静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动
C.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直
D.当洛伦兹力方向和运动方向垂直时,带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动
解析　若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向),此时洛伦兹力为零,带电粒子做匀速直线运动,A错误;静止的带电粒子不受洛伦兹力,仍将静止,B错误;带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,洛伦兹力总是跟速度方向垂直,即和运动方向垂直,C正确;如果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场,洛伦兹力与运动方向垂直,带电粒子不是做匀速圆周运动,D错误。
C
2.(带电粒子在匀强磁场中的运动)(2026·江苏盐城高二月考)在同一匀强磁场中,两带电荷量相等的粒子,仅受磁场力作用,做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.若速率相等,则半径必相等 B.若速率相等,则周期必相等
C.若动量大小相等,则半径必相等 D.若动能相等,则周期必相等
解析　根据qvB＝m,解得r＝,电荷量相等,速率相等,但是质量不一定相等,半径不一定相等,故A错误;根据T＝,电荷量相等,动能相等,质量不一定相等,周期不一定相等,故B、D错误;根据qvB＝m,解得r＝,电荷量相等,mv大小相等,则半径必相等,C正确。
C
3.(带电粒子在匀强磁场中运动)(2025·北京房山期末)如图所示,某带电粒子(重力不计)由M点以垂直于磁场以及磁场边界的速度v射入宽度为d,磁感应强度大小为B的匀强磁场中,穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°。由此推断该带电粒子(　　)
A.带负电且动能增大
B.粒子的运动半径为
C.电荷量与质量的比值为
D.穿越磁场的时间为
解析　由左手定则可知,粒子带负电,因洛伦兹力不做功,则粒子的动能不变,故A错误;粒子的运动半径为r＝＝2d,故B错误;根据qvB＝m,可得电荷量与质量的比值为,故C正确;穿越磁场的时间为t＝,故D错误。
课后巩固训练
3
BD
基础对点练
题组一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题
1.(多选)在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又顺利垂直地进入另一磁感应强度是原来2倍的匀强磁场,则(　　)
A.粒子的速率加倍,周期减半
B.粒子的速率不变,轨道半径减半
C.粒子的速率减半,轨道半径变为原来的
D.粒子的速率不变,周期减半
解析　由qvB＝m知r＝,由于洛伦兹力不做功,故速率不变,而B变为原来的2倍,故r变为原来的,B正确,C错误;由T＝知,B变为原来的2倍,周期则变为原来的,A错误,D正确。
A
2.一带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场,经过轨迹如图所示,轨迹上每一小段都可以近似看成圆弧,其能量逐渐减小(质量、电荷量不变),从图中可以确定运动方向和电性的是(　　)
A.粒子从b到a,带负电 B.粒子从a到b,带负电
C.粒子从a到b,带正电 D.粒子从b到a,带正电
解析　由于带电粒子的能量逐渐减小,故其速度减小,由在磁场中的洛伦兹力有提供向心力,有qvB＝m,解得其半径为r＝,随着速度的减小其半径逐渐减小,可知粒子的运动方向从b到a;由其偏转方向及左手定则可知粒子带负电,故A正确。
A
3.质子pH)和α粒子He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径分别为Rp和Rα,周期分别为Tp和Tα,则下列选项中正确的是(　　)
A.Rp∶Rα＝1∶2,Tp∶Tα＝1∶2 B.Rp∶Rα＝1∶1,Tp∶Tα＝1∶1
C.Rp∶Rα＝1∶1,Tp∶Tα＝1∶2 D.Rp∶Rα＝1∶2,Tp∶Tα＝1∶1
解析　质子pH)和α粒子He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2,质量之比mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知,轨道半径R＝,周期T＝,因为两粒子速率相同,代入q、m,可得Rp∶Rα＝1∶2,Tp∶Tα＝1∶2,故选项A正确,B、C、D错误。
C
4.(2026·河北衡水高二期中)如图所示,在垂直纸面向里的匀强磁场中,有a、b两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动,a的初速度为v,b的初速度为2v,则(　　)
A.a做圆周运动的轨道半径大 B.b做圆周运动的周期大
C.a、b同时回到出发点 D.a、b在纸面内做逆时针方向的圆周运动
解析　根据evB＝m,得r＝,a的初速度为v,b的初速度为2v,则a做圆周运动的轨道半径小,A错误;根据T＝,两个电子运动周期相同,同时回到出发点,B错误,C正确;根据左手定则,a、b在纸面内做顺时针方向的圆周运动,D错误。
D
题组二　带电粒子在匀强磁场中运动的分析
5.如图所示,竖直平面 LL'右侧存在着足够大的匀强磁场,a、b两带电粒子从边界上的S点垂直于磁场方向射入磁场,经过磁场偏转后分别打在LL'边界上的M、N两点。已知粒子a、b在磁场中运动的速度之比为2∶1,S点到M、N两点的距离之比为1∶2。不计粒子重力及粒子间相互作用,设粒子a、b的比荷分别为、,则两者比荷之比∶为(　　)
A.1∶1 B.1∶4 C.1∶2 D.4∶1
解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,可得,由题意知S点到M、N两点的距离之比为1∶2,则有,又,所以∶＝4∶1,故D正确,A、B、C错误。
ABD
6.(多选)如图所示,截面为正方形的容器处在匀强磁场中,一束电子从孔A垂直磁场射入容器中,其中一部分从C孔射出,一部分从D孔射出,则下列叙述正确的是(　 　)
A.从两孔射出的电子速率之比vC∶vD＝2∶1
B.从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比tC∶tD＝1∶2
C.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比aC∶aD＝∶1
D.从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比aC∶aD＝2∶1
解析　RC＝,RD＝,因为RC＝2RD,所以vC∶vD＝2∶1,故A正确;tC＝,tD＝,所以tC∶tD＝1∶2,故B正确;加速度a＝∝v,所以加速度之比aC∶aD＝vC∶vD＝2∶1,故C错误,D正确。
D
7.(2026·辽宁大连高二期中)如图所示,在xOy坐标系的第Ⅰ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°角的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q,OP＝a,不计带电粒子重力。根据上述信息可以得出(　　)
A.带电粒子带负电
B.带电粒子在磁场中运动的半径为a
C.带电粒子在磁场中运动的速率为
D.带电粒子在磁场中运动的时间为
解析　依题意,可画出粒子在磁场中运动轨迹以及圆心的所在位置如图所示,
由左手定则判断知该粒子带正电,故A错误;根据几何关系,可得带电粒子在磁场中运动的半径为r＝a,故B错误;由洛伦兹力提供向心力,有qvB＝m,可得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝,故C错误;根据几何关系,可得粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为θ＝180°－60°＝120°,粒子在磁场中运动的周期T＝,可得带电粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝,故D正确。
C
综合提升练
8.如图所示,一束离子以相同的速度垂直射入匀强磁场后分为a、b两束,下列说法正确的是(　　)
A.a束离子和b束离子都带负电
B.a束离子和b束离子质量一定不同
C.a束离子的比荷大于b束离子的比荷
D.a束离子的周期大于b束离子的周期
解析　根据左手定则知,a束离子和b束离子都带正电,选项A错误;根据牛顿第二定律得qv0B＝m,解得r＝,a束离子的轨迹半径小于b束离子,所以<,a束离子的比荷大于b束离子的比荷,但是不能确定a束和b束的离子质量的大小关系,选项B错误,C正确;根据T＝,<可知, a束离子的周期小于b束离子的周期,D错误。
D
9.平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m,电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场,速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,并从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析　粒子运动的轨迹如图所示。
运动半径为R＝。由运动的对称性知,出射速度的方向与OM间的夹角为30°,由图中几何关系知lBC＝2R,则出射点到O点的距离为lBO＝,故选项D正确。
10.如图所示,一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子,从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中,经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点,求:
(1)粒子做圆周运动的周期;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)若O、P之间的距离为0.1 m,则粒子的运动速度的大小。
答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的运动轨迹,如图所示,由图可知粒子由O到P的大圆弧所对的圆心角为300°,
则
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
(2)由qvB＝m,T＝,得T＝
则B＝ T＝0.314 T。
(3)由几何知识知,半径r＝＝0.1 m
由qvB＝m得,粒子的运动速度大小为
v＝ m/s
≈3.49×105 m/s。
培优加强练
11.(2026·湖北武汉高二期末)如图所示,平面直角坐标系的第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),一带正电的粒子,电荷量为q,质量为m,从y轴上的点A(0,L)沿某方向射入磁场,若干时间后到达第四象限的点B,粒子在点B的速度大小为v,方向与y轴平行,不计重力,求:
(1)匀强磁场B的大小;
(2)粒子从点A到点B的时间t。
答案　(1)　(2)
解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,
由牛顿第二定律qvB＝m
由几何关系r2＝
解得r＝L
B＝。
(2)设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆心角为θ,
则sin(π－θ)＝
得θ＝
则粒子从点A到点B的时间t＝
得t＝。
本节内容结束
THANKS

展开更多......

收起↑