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专题提升四　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题
学习目标　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题。2.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题,知道产生多解的原因。
提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键,通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口,寻找临界点,确定临界状态,根据磁场边界和题设条件画好轨迹,建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时,运动的弧长越长、圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当比荷相同、速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。
例1 (多选)(2025·安徽蚌埠高二月考)如图所示,真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里,MN、PQ的间距为l。α粒子He)和氢核H)先后从A点沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中,都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力,α粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为t1和v1,氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为t2和v2,则(　　)
A.t1∶t2＝1∶2,v1∶v2＝2∶1
B.t1∶t2＝2∶1,v1∶v2＝1∶2
C.粒子在磁场中运动的半径为l
D.粒子在磁场中运动的半径为(4－2)l
答案　BD
解析　根据题意,两粒子都刚好没能从PQ边界射出磁场,可知α粒子和氢核在磁场中的运动轨迹刚好与右边界相切,如图所示,由几何关系可得r＋rcos 30°＝l,解得粒子在磁场中的运动半径为r＝(4－2)l,由几何关系知运动轨迹对应的圆心角为300°,则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝∝,则有t1∶t2＝∶＝2∶1,由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,解得v＝∝,则有v1∶v2＝∶＝1∶2,B、D正确。
例2 如图所示,空间存在方向垂直于纸面的匀强磁场,一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN的上方距离为d处,在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子之间的相互作用和粒子重力,已知粒子做圆周运动的半径大小也为d,则粒子(　　)
A.能打在板上的区域长度为2d
B.能打在板上的点与P点的最远距离为d
C.到达板上的最长时间为
D.到达板上的最短时间为
答案　C
解析　打在板上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示,左端粒子轨迹与平板相切,右边为直径与平板的交点。根据几何关系知,带电粒子能打在板上的区域长度l＝d＋＝(1＋)d,A错误;由图甲可以看出打在板上最远点是B点,由几何关系知,它与P点的距离是2d,B错误;
在磁场中运动时间最长和最短粒子运动轨迹示意图如图乙中的1和2所示,由几何关系知,最长时间t1＝T(弧长最长),最短时间t2＝T(弧长最短)。由于粒子在磁场中运动的周期T＝,由此可得t1＝,t2＝,故C正确,D错误。
“旋转圆法”分析临界问题
(1)适用条件:速度大小相等,方向不同。
(2)特点:轨迹圆圆心共圆,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为r＝,如图所示。
轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R＝的圆上。
(3)界定方法:将半径r＝的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转,从而探索粒子运动的临界条件。
例3 如图所示,宽为d的带状区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为e的电子从A点出发,与边界成60°角进入匀强磁场。
(1)当v＝时,求电子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离,并画出轨迹图;
(2)当v＝时,求电子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离,并画出轨迹图;
(3)当v＝时,求电子的轨迹半径,并画出轨迹图;
(4)若电子从左边界飞出磁场,求电子的速度范围。
答案　见解析
解析　(1)由洛伦兹力提供向心力有evB＝m,可得r＝,将v＝代入可得r1＝d
最远点至MN的距离L1＝r1＋r1cos 60°＝d
轨迹如图中①所示。
(2)由r＝得r2＝d
最远点至MN的距离L2＝r2＋r2cos 60°＝d,此时轨迹与边界PQ相切
轨迹如图中②所示。
(3)由r＝得r3＝d
轨迹如图中③所示。
(4)从画出的轨迹可知,当v＝时,轨迹恰好与右边界PQ相切,所以当0“放缩圆法”分析临界问题
(1)几种常见的“放缩圆法”模型
(2)适用条件:速度方向相同,大小不同。
(3)特点:轨迹圆圆心共线,如图所示,粒子带正电,速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。
(4)界定方法:以入射点P为定点,圆心位于直线PP'上,将半径放缩确定运动轨迹,从而探索出粒子运动的临界条件。
提升2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电,也可能带负电,因带电性质不确定,轨迹不确定,形成多解。
2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面,需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。
3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上,粒子的速度有两种情况:v≤v1或v≥v2。
4.运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动,从而形成多解。
角度1　带电粒子电性或磁场方向不确定形成多解
例4 (多选)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场,则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　由于带电粒子的电性不确定,其轨迹可能是如图所示的两种情况。
由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知,若为正电荷,轨迹对应的圆心角为θ1＝300°,若为负电荷,轨迹对应的圆心角为θ2＝60°,则对应时间分别为t1＝T＝,t2＝T＝。故A、D正确。
拓展　(多选)若在[例4]中,匀强磁场的磁感应强度为B,方向与纸面垂直,带电粒子质量为m,带电荷量为＋q(q>0),其他条件不变,则粒子在磁场中运动时间可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　由于磁场方向可能垂直纸面向里,也可能垂直纸面向外,则其轨迹可能是图中两种情况。
由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知,若磁场方向垂直纸面向里,运动轨迹为1,轨迹对应的圆心角为θ1＝300°,若磁场方向垂直纸面向外,运动轨迹为2,轨迹对应的圆心角为θ2＝60°,则对应时间分别为t1＝T＝,t2＝T＝,选项A、D正确。
角度2　临界状态不唯一形成多解
例5 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为l,板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度 答案　AB
解析　欲使粒子不打在极板上,如图所示,
带正电的粒子从左边射出磁场时,其在磁场中圆周运动的半径r<
粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力,根据qvB＝m
可得粒子做圆周运动的半径r＝
所以粒子从左边射出不打到极板上满足
<,即v<
带正电的粒子从右边射出,如图所示,此时粒子的最小半径为r',由几何关系有r'2＝l2＋
可得粒子做圆周运动的最小半径r'＝
则>
即v>
故欲使粒子不打在极板上,粒子的速度必须满足v<或v>,故A、B正确。
角度3　运动的周期性形成多解
例6 (多选)如图所示,匀强磁场垂直于xOy平面(纸面)向外,磁场的右边界与x轴垂直,交x轴于P(L,0)点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B1,第Ⅳ象限内的磁感应强度为B2,且B2＝2B1(大小均未知)。一质量为m、电荷量为＋q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限内的磁场,方向与x轴成30°角,粒子从P点离开磁场区域,不计粒子重力,则第Ⅰ象限内的磁感应强度B1的大小可能是(　　)
A. B.
C. D.
答案　CD
解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,可得r＝,则粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为r1＝,在第Ⅳ象限内运动的半径为r2＝。设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次,在第Ⅳ象限运动n－1次,如图所示,根据几何关系有2nr1cos 60°－2(n－1)r2cos 60°＝L,解得B1＝(n＝1,2,3,…),当B1＝时,n不为整数,故A错误;当B1＝时,n＝0,不符合取值范围,故B错误;当B1＝时,n＝1,故C正确;当B1＝时,n＝3,故D正确。
解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性,认真分析其物理过程,画出各种可能的运动轨迹,找出隐含的几何关系,综合运用数学、物理知识求解。
随堂对点自测
1.(临界问题)(多选)如图所示,OACD为矩形,OA边长为L,其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场,速度方向与OA的夹角为α＝60°,粒子刚好从A点射出磁场。不计粒子重力,则(　　)
A.粒子带负电
B.匀强磁场的磁感应强度为
C.粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为L
D.为保证粒子能够刚好从A点射出磁场,OD边长至少为L
答案　AD
解析　粒子从A点射出,由左手定则可知,粒子带负电,故A正确;
设粒子做圆周运动的轨迹半径为R,由几何关系可得2Rsin 60°＝L,解得R＝L,由牛顿第二定律得qv0B＝,解得B＝,故B、C错误;为保证粒子能够刚好从A点射出磁场,如图所示,则OD边长至少为R－Rcos 60°＝L,故D正确。
2.(多解问题)(多选)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子,所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab＝L,则粒子的速度可能是(　　)
A. B.
C. D.
答案　AB
解析　由题意可知,粒子可能的运动轨迹如图所示,所有圆弧所对的圆心角均为120°,所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3,…);粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB＝m,则v＝·(n＝1,2,3,…),故A、B正确。
基础对点练
题组一　带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题
1.(2026·安徽合肥高二月考)如图所示,正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中,边长为l,不计粒子的重力,为使粒子从cd边射出磁场区域,粒子的速度可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据洛伦兹力提供向心力,有qvB＝m,可得r＝,可知对于同一粒子或比荷相同的粒子,在同一磁场中做圆周运动的轨迹半径由速度决定,速度越大轨迹半径越大,速度越小则轨迹半径越小。因此,粒子若要从cd边射出磁场区域,则恰好从d点出射时,粒子有最小速度,且此时ad为粒子轨迹的直径,有,解得vmin＝,若粒子恰好从c点射出,粒子有最大速度,根据几何关系可知,此时粒子的轨迹半径为l,则有l＝,解得vmax＝,综上可知,若粒子从cd边射出磁场区域,则粒子速度的取值范围为≤v≤,故C正确。
2.如图所示,在区域MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场,图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点,不计粒子重力。下列说法中正确的是(　　)
A.射入磁场时粒子a的速率最小
B.粒子a带负电,粒子b、c带正电
C.射出磁场时粒子b的动能最小
D.粒子b在磁场中运动的时间最短
答案　D
解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由洛伦兹力提供向心力,即qvB＝m,解得v＝,由题图可知,射入磁场时粒子c的半径最小,则速率最小,A错误;由题图可知,a向左偏,b、c向右偏,根据左手定则知粒子a带正电,粒子b、c带负电,B错误;粒子的动能Ek＝mv2＝,由于q、B、m都相同,因此r越大,粒子动能越大,由题图可知,b的轨迹半径r最大,则粒子b动能最大;c的半径最小,则动能最小,C错误;粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝,粒子在磁场中的运动时间t＝T＝,其中θ为转过的圆心角,由于m、q、B都相同,粒子c转过的圆心角θ最大,则在磁场中c的运动时间最长,粒子b转过的圆心角θ最小,则在磁场中粒子b的运动时间最短,D正确。
3.(2026·陕西渭南高二期中)中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电,该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示,半径为R和R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场,核聚变原料氕核H)和氘核H)均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出,全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　)
A.R B.R
C.R D.(－1)R
答案　A
解析　依题意,氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内,根据qvB＝m,得r＝,由于二者速率相同,根据半径与比荷的关系,可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时,氘核运动轨迹半径最大,由几何知识得＋R2,求得氘核的最大半径为rmax＝R,所以,氕核在磁场中运动的最大半径为rmax'＝rmax＝R,故A正确。
题组二　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题
4.(多选)质量为m、电荷量为q的负电荷,在磁感应强度为B的匀强磁场中,绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的静电力是洛伦兹力的3倍,则负电荷做匀速圆周运动的角速度可能是(　　)
A. B.
C. D.
答案　AC
解析　磁场方向垂直于负电荷的运动平面,其方向存在两种情形。设负电荷做匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r,当运动负电荷受到的静电力和洛伦兹力方向相同时,4qvB＝m,得v＝;根据匀速圆周运动线速度和角速度之间的关系ω＝;当运动负电荷受到的静电力和洛伦兹力方向相反时,同理得ω'＝,故A、C正确。
5.(多选)(2026·湖南长沙高二期中)如图所示,宽度为L的有界匀强磁场,磁感应强度为B,AC和DE是它的两条边界。现有质量为m、电荷量的绝对值为q的带电粒子以θ＝45°方向射入磁场。要使粒子不能从边界DE射出,则粒子入射速度v的最大值可能是(　　)
A. B.
C. D.
答案　BD
解析　题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为q”,未说明是带哪种电荷。如图所示,若q为正电荷,轨迹为如图所示的左方与DE相切的圆弧,轨道半径R1＝,又L＝R1－R1cos 45°,得v1＝,若q为负电荷,轨迹为如图所示的右方与DE相切的圆弧,则有R2＝,L＝R2＋R2cos 45°,得v2＝,则粒子入射速度v的最大值可能是(q为正电荷)或(q为负电荷),故B、D正确。
综合提升练
6.(多选)如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子,重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
A.垂直纸面向里,B>
B.垂直纸面向里,B>
C.垂直纸面向外,B>
D.垂直纸面向外,B>
答案　BC
解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定则可知负离子向右偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(大圆弧),
由几何知识知＝r2＋s,解得r2＝s,所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件,由牛顿第二定律可得qvB＝m,解得B>,故A错误,B正确;当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则可知负离子向左偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几何知识知＋r1＝s,解得r1＝,所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件,由牛顿第二定律得qvB＝m,解得B>,故C正确,D错误。
7.(2026·福建厦门高二期中)如图所示, 在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场,一质量为m＝5.0×10－8 kg、电荷量为 q＝1.0×10－6 C的带电粒子。从静止开始经U0＝2.5 V的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知OP＝16 cm(粒子重力不计,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8),求:
(1)带电粒子到达 P 点时速度v的大小;
(2)若要求粒子不能进入x轴上方,磁感应强度的最小值B是多大(要求画出粒子运动的轨迹)
答案　(1)10 m/s　(2)5 T
解析　(1)对带电粒子的加速过程,由动能定理可得qU0＝mv2
代入数据得v＝10 m/s。
(2)带电粒子恰好不从x轴射出,其轨迹与x轴相切,如图所示,
由几何关系得
OP＝R＋Rcos 53°
其中OP＝16 cm＝0.16 m
根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
联立并代入数据得B＝5 T。
培优加强练
8.如图所示,空间中有一坐标系xOy,其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,直线OP是它们的边界,区域Ⅰ中的磁感应强度为B,方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为2B,方向垂直纸面向里,边界上的P点坐标为(4L,3L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴沿负方向射入区域Ⅰ,经过一段时间后,粒子恰好经过原点O,忽略粒子重力,已知sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8。求:
(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少
(2)粒子的速度大小可能是多少
答案　(1)　(2)(n＝1,2,3,…)
解析　(1)设粒子的入射速度为v,用r1、r2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨迹半径和周期,则有qvB＝m,qv·2B＝m
解得r1＝,r2＝
T1＝,T2＝
粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动,后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动,然后从O点射出,这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短,粒子运动轨迹如图所示。
tan α＝＝0.75,α＋β＝90°
得α＝37°,β＝53°
粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为
t1＝T1,t2＝T2
粒子从P点运动到O点的时间至少为t＝t1＋t2
联立解得t＝。
(2)当粒子的速度大小满足一定条件时,粒子先在磁场Ⅰ区中运动,后在磁场Ⅱ区中运动,然后又重复前面的运动,直到经过原点O。这样粒子经过n个周期性的运动到达O点,每个周期的运动情况相同,由几何关系可知n(2r1cos α＋2r2cos α)＝OP
OP＝＝5L,解得粒子的速度大小可能为v＝(n＝1,2,3,…)。(共53张PPT)
专题提升四　带电粒子在匀强磁场中的临界和多解问题
第一章　安培力与洛伦兹力
1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题。
2.会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题,知道产生多解的原因。
学习目标
目 录
00ONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
提升1　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键,通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口,寻找临界点,确定临界状态,根据磁场边界和题设条件画好轨迹,建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时,运动的弧长越长、圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长。
(3)当比荷相同、速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。
例1 (多选)(2025·安徽蚌埠高二月考)如图所示,真空区域有边界为MN、PQ的匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里,MN、PQ的间距为l。α粒子He)和氢核H)先后从A点沿着与MN夹角θ为30°的方向射入磁场中,都刚好没能从PQ边界射出磁场。不计粒子重力,α粒子在磁场中运动的时间和速度大小分别为t1和v1,氢核在磁场中运动的时间和速度大小分别为t2和v2,则(　　)
A.t1∶t2＝1∶2,v1∶v2＝2∶1 B.t1∶t2＝2∶1,v1∶v2＝1∶2
C.粒子在磁场中运动的半径为l D.粒子在磁场中运动的半径为(4－2)l
BD
解析　根据题意,两粒子都刚好没能从PQ边界射出磁场,可知α粒子和氢核在磁场中的运动轨迹刚好与右边界相切,如图所示,由几何关系可得r＋rcos 30°＝l,解得粒子在磁场中的运动半径为r＝(4－2)l,由几何关系知运动轨迹对应的圆心角为300°,则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝∝,则有t1∶t2＝∶＝2∶1,由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,解得v＝∝,则有v1∶v2＝∶＝1∶2,B、D正确。
例2 如图所示,空间存在方向垂直于纸面的匀强磁场,一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN的上方距离为d处,在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子之间的相互作用和粒子重力,已知粒子做圆周运动的半径大小也为d,则粒子(　　)
C
A.能打在板上的区域长度为2d
B.能打在板上的点与P点的最远距离为d
C.到达板上的最长时间为
D.到达板上的最短时间为
解析　打在板上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示,左端粒子轨迹与平板相切,右边为直径与平板的交点。根据几何关系知,带电粒子能打在板上的区域长度l＝d＋＝(1＋)d,A错误;由图甲可以看出打在板上最远点是B点,由几何关系知,它与P点的距离是2d,B错误;
在磁场中运动时间最长和最短粒子运动轨迹示意图如图乙中的1和2所示,由几何关系知,最长时间t1＝T(弧长最长),最短时间t2＝T(弧长最短)。由于粒子在磁场中运动的周期T＝,由此可得t1＝,t2＝,故C正确,D错误。
“旋转圆法”分析临界问题
(1)适用条件:速度大小相等,方向不同。
(2)特点:轨迹圆圆心共圆,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为r＝,如图所示。
轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R＝的圆上。
(3)界定方法:将半径r＝的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转,从而探索粒子运动的临界条件。
例3 如图所示,宽为d的带状区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为e的电子从A点出发,与边界成60°角进入匀强磁场。
(1)当v＝时,求电子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离,并画出轨迹图;
解析　由洛伦兹力提供向心力有evB＝m,可得r＝,将v＝代入可得r1＝d
最远点至MN的距离L1＝r1＋r1cos 60°＝d
轨迹如图中①所示。
答案　见解析
(2)当v＝时,求电子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离,并画出轨迹图;
解析　由r＝得r2＝d
最远点至MN的距离L2＝r2＋r2cos 60°＝d,此时轨迹与边界PQ相切
轨迹如图中②所示。
答案　见解析
(3)当v＝时,求电子的轨迹半径,并画出轨迹图;
解析　由r＝得r3＝d
轨迹如图中③所示。
答案　见解析
(4)若电子从左边界飞出磁场,求电子的速度范围。
解析　从画出的轨迹可知,当v＝时,轨迹恰好与右边界PQ相切,所以当0答案　见解析
“放缩圆法”分析临界问题
(1)几种常见的“放缩圆法”模型
(2)适用条件:速度方向相同,大小不同。
(3)特点:轨迹圆圆心共线,如图所示,粒子带正电,速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。
(4)界定方法:以入射点P为定点,圆心位于直线PP'上,将半径放缩确定运动轨迹,从而探索出粒子运动的临界条件。
提升2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电,也可能带负电,因带电性质不确定,轨迹不确定,形成多解。
2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面,需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。
3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带电粒子不打在下极板上,粒子的速度有两种情况:v≤v1或v≥v2。
4.运动的周期性带来多解。如带电粒子在如图丙所示电磁组合场中会做周期性运动,从而形成多解。
角度1　带电粒子电性或磁场方向不确定形成多解
例4 (多选)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场,则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　)
A. B.
C. D.
AD
解析　由于带电粒子的电性不确定,其轨迹可能是如图所示的两种情况。
由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知,若为正电荷,轨迹对应的圆心角为θ1＝300°,若为负电荷,轨迹对应的圆心角为θ2＝60°,则对应时间分别为t1＝T＝,t2＝T＝。故A、D正确。
拓展　(多选)若在[例4]中,匀强磁场的磁感应强度为B,方向与纸面垂直,带电粒子质量为m,带电荷量为＋q(q>0),其他条件不变,则粒子在磁场中运动时间可能为(　　)
A. B. C. D.
AD
解析　由于磁场方向可能垂直纸面向里,也可能垂直纸面向外,则其轨迹可能是图中两种情况。
由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知,若磁场方向垂直纸面向里,运动轨迹为1,轨迹对应的圆心角为θ1＝300°,若磁场方向垂直纸面向外,运动轨迹为2,轨迹对应的圆心角为θ2＝60°,则对应时间分别为t1＝T＝,t2＝T＝,选项A、D正确。
角度2　临界状态不唯一形成多解
例5 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为l,板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度 AB
解析　欲使粒子不打在极板上,如图所示,
带正电的粒子从左边射出磁场时,其在磁场中圆周运动的半径r<
粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力,根据qvB＝m
可得粒子做圆周运动的半径r＝
所以粒子从左边射出不打到极板上满足<,即v<
带正电的粒子从右边射出,如图所示,此时粒子的最小半径为r',由几何关系有r'2＝l2＋
可得粒子做圆周运动的最小半径r'＝
则>
即v>
故欲使粒子不打在极板上,粒子的速度必须满足v<或v>,故A、B正确。
角度3　运动的周期性形成多解
例6 (多选)如图所示,匀强磁场垂直于xOy平面(纸面)向外,磁场的右边界与x轴垂直,交x轴于P(L,0)点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B1,第Ⅳ象限内的磁感应强度为B2,且B2＝2B1(大小均未知)。一质量为m、电荷量为＋q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限内的磁场,方向与x轴成30°角,粒子从P点离开磁场区域,不计粒子重力,则第Ⅰ象限内的磁感应强度B1的大小可能是(　　)
A. B. C. D.
CD
解析　根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m,可得r＝,则粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为r1＝,在第Ⅳ象限内运动的半径为r2＝。设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次,在第Ⅳ象限运动n－1次,如图所示,根据几何关系有2nr1cos 60°－2(n－1)r2cos 60°＝L,解得B1＝(n＝1,2,3,…),当B1＝时,n不为整数,故A错误;当B1＝时,n＝0,不符合取值范围,故B错误;当B1＝时,n＝1,故C正确;当B1＝时,n＝3,故D正确。
解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性,认真分析其物理过程,画出各种可能的运动轨迹,找出隐含的几何关系,综合运用数学、物理知识求解。
随堂对点自测
2
AD
1.(临界问题)(多选)如图所示,OACD为矩形,OA边长为L,其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场,速度方向与OA的夹角为α＝60°,粒子刚好从A点射出磁场。不计粒子重力,则(　　)
A.粒子带负电
B.匀强磁场的磁感应强度为
C.粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为L
D.为保证粒子能够刚好从A点射出磁场,OD边长至少为L
解析　粒子从A点射出,由左手定则可知,粒子带负电,故A正确;
设粒子做圆周运动的轨迹半径为R,由几何关系可得2Rsin 60°＝L,解得R＝L,由牛顿第二定律得qv0B＝,解得B＝,故B、C错误;为保证粒子能够刚好从A点射出磁场,如图所示,则OD边长至少为R－Rcos 60°＝L,故D正确。
AB
2.(多解问题)(多选)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子,所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab＝L,则粒子的速度可能是(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意可知,粒子可能的运动轨迹如图所示,所有圆弧所对的圆心角均为120°,所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3,…);粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB＝m,则v＝·(n＝1,2,3,…),故A、B正确。
课后巩固训练
3
C
基础对点练
题组一　带电粒子在有界匀强磁场中的临界问题
1.(2026·安徽合肥高二月考)如图所示,正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中,边长为l,不计粒子的重力,为使粒子从cd边射出磁场区域,粒子的速度可能为(　　)
A. B. C. D.
解析　根据洛伦兹力提供向心力,有qvB＝m,可得r＝,可知对于同一粒子或比荷相同的粒子,在同一磁场中做圆周运动的轨迹半径由速度决定,速度越大轨迹半径越大,速度越小则轨迹半径越小。因此,粒子若要从cd边射出磁场区域,则恰好从d点出射时,粒子有最小速度,且此时ad为粒子轨迹的直径,有,解得vmin＝,若粒子恰好从c点射出,粒子有最大速度,根据几何关系可知,此时粒子的轨迹半径为l,则有l＝,解得vmax＝,综上可知,若粒子从cd边射出磁场区域,则粒子速度的取值范围为≤v≤,故C正确。
D
2.如图所示,在区域MNQP中有一垂直纸面向里的匀强磁场。质量和电荷量都相等的带电粒子a、b、c以不同的速率从O点沿垂直于PQ的方向射入磁场,图中实线是它们的轨迹。已知O是PQ的中点,不计粒子重力。下列说法中正确的是(　　)
A.射入磁场时粒子a的速率最小
B.粒子a带负电,粒子b、c带正电
C.射出磁场时粒子b的动能最小
D.粒子b在磁场中运动的时间最短
解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由洛伦兹力提供向心力,即qvB＝m,解得v＝,由题图可知,射入磁场时粒子c的半径最小,则速率最小,A错误;由题图可知,a向左偏,b、c向右偏,根据左手定则知粒子a带正电,粒子b、c带负电,B错
误;粒子的动能Ek＝mv2＝,由于q、B、m都相同,因此r越大,粒子动能越大,由题图可知,b的轨迹半径r最大,则粒子b动能最大;c的半径最小,则动能最小,C错误;粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝,粒子在磁场中的运动时间t＝T＝,其中θ为转过的圆心角,由于m、q、B都相同,粒子c转过的圆心角θ最大,则在磁场中c的运动时间最长,粒子b转过的圆心角θ最小,则在磁场中粒子b的运动时间最短,D正确。
A
3.(2026·陕西渭南高二期中)中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次放电,该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模型如图所示,半径为R和R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场,核聚变原料氕核H)和氘核H)均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出,全部被约束在大圆形区域内。则氕核在磁场中运动的半径最大为(　　)
A.R B.R C.R D.(－1)R
解析　依题意,氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内,根据qvB＝m,得r＝,由于二者速率相同,根据半径与比荷的关系,可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为1∶2。当氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时,氘核运动轨迹半径最大,由几何知识得＋R2,求得氘核的最大半径为rmax＝R,所以,氕核在磁场中运动的最大半径为rmax'＝rmax＝R,故A正确。
AC
题组二　带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题
4.(多选)质量为m、电荷量为q的负电荷,在磁感应强度为B的匀强磁场中,绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的静电力是洛伦兹力的3倍,则负电荷做匀速圆周运动的角速度可能是(　　)
A. B. C. D.
解析　磁场方向垂直于负电荷的运动平面,其方向存在两种情形。设负电荷做匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r,当运动负电荷受到的静电力和洛伦兹力方向相同时,4qvB＝m,得v＝;根据匀速圆周运动线速度和角速度之间的关系ω＝;当运动负电荷受到的静电力和洛伦兹力方向相反时,同理得ω'＝,故A、C正确。
BD
5.(多选)(2026·湖南长沙高二期中)如图所示,宽度为L的有界匀强磁场,磁感应强度为B,AC和DE是它的两条边界。现有质量为m、电荷量的绝对值为q的带电粒子以θ＝45°方向射入磁场。要使粒子不能从边界DE射出,则粒子入射速度v的最大值可能是(　　)
A. B.
C. D.
解析　题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为q”,未说明是带哪种电荷。如图所示,若q为正电荷,轨迹为如图所示的左方与DE相切的圆弧,轨道半径R1＝,又L＝R1－R1cos 45°,得v1＝,若q为负电荷,轨迹为如图所示的右方与DE相切的圆弧,则有R2＝,L＝R2＋R2cos 45°,得v2＝,则粒子入射速度v的最大值可能是(q为正电荷)或(q为负电荷),故B、D正确。
BC
综合提升练
6.(多选)如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子,重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
A.垂直纸面向里,B>
B.垂直纸面向里,B>
C.垂直纸面向外,B>
D.垂直纸面向外,B>
解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定则可知负离子向右偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(大圆弧),
由几何知识知＝r2＋s,解得r2＝s,所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件,由牛顿第二定律可得qvB＝m,解得B>,故A错误,B正确;当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则可知负离子向左偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几何知识知＋r1＝s,解得r1＝,所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件,由牛顿第二定律得qvB＝m,解得B>,故C正确,D错误。
7.(2026·福建厦门高二期中)如图所示, 在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场,一质量为m＝5.0×10－8 kg、电荷量为 q＝1.0×10－6 C的带电粒子。从静止开始经U0＝2.5 V的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知OP＝16 cm(粒子重力不计,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8),求:
(1)带电粒子到达 P 点时速度v的大小;
(2)若要求粒子不能进入x轴上方,磁感应强度的最小值B是多大(要求画出粒子运动的轨迹)
答案　(1)10 m/s　(2)5 T
解析　(1)对带电粒子的加速过程,由动能定理可得qU0＝mv2
代入数据得v＝10 m/s。
(2)带电粒子恰好不从x轴射出,其轨迹与x轴相切,如图所示,
由几何关系得OP＝R＋Rcos 53°
其中OP＝16 cm＝0.16 m
根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m
联立并代入数据得B＝5 T。
培优加强练
8.如图所示,空间中有一坐标系xOy,其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,直线OP是它们的边界,区域Ⅰ中的磁感应强度为B,方向垂直纸面向外;区域Ⅱ中的磁感应强度为2B,方向垂直纸面向里,边界上的P点坐标为(4L,3L)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴沿负方向射入区域Ⅰ,经过一段时间后,粒子恰好经过原点O,忽略粒子重力,已知sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8。求:
(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少
(2)粒子的速度大小可能是多少
答案　(1)　(2)(n＝1,2,3,…)
解析　(1)设粒子的入射速度为v,用r1、r2、T1、T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨迹半径和周期,则有qvB＝m,qv·2B＝m
解得r1＝,r2＝
T1＝,T2＝
粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动,后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动,然后从O点射出,这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短,粒子运动轨迹如图所示。
tan α＝＝0.75,α＋β＝90°
得α＝37°,β＝53°
粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为
t1＝T1,t2＝T2
粒子从P点运动到O点的时间至少为t＝t1＋t2
联立解得t＝。
(2)当粒子的速度大小满足一定条件时,粒子先在磁场Ⅰ区中运动,后在磁场Ⅱ区中运动,然后又重复前面的运动,直到经过原点O。这样粒子经过n个周期性的运动到达O点,每个周期的运动情况相同,
由几何关系可知n(2r1cos α＋2r2cos α)＝OP
OP＝＝5L,
解得粒子的速度大小可能为v＝(n＝1,2,3,…)。
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