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专题提升五　带电粒子在复合场中的运动
学习目标　1.知道复合场的概念。2.能够分析带电粒子在组合场中的运动问题。3.能分析带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况,能够正确选择物理规律解答问题。
提升1　带电粒子在组合场中的运动
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2.带电粒子在组合场中运动问题的分析
(1)基本思路:明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律,然后找出两种场分界线上两种运动的联系(一般是粒子经过分界线时速度不变),利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理。
(2)关键点:画出轨迹示意图。
(3)具体解决方案
3.“电偏转”与“磁偏转”的比较
项目 电偏转 磁偏转
偏转 条件 垂直电场线进入匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力 情况 静电力F＝qE 大小、方向不变 洛伦兹力F＝qvB 大小不变,方向时刻与v垂直
运动 类型 类平抛运动 匀速圆周运动
运动 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分
求解 方法 x＝v0t,a＝,偏移距离y＝at2,偏转角tan φ＝ 偏移距离y和偏转角θ要结合圆的几何关系通过圆周运动的规律求解,r＝,T＝,t＝T
动能 变大 不变
角度1　从电场进入磁场
电场中:加速直线运动 磁场中:匀速圆周运动
电场中:类平抛运动 磁场中:匀速圆周运动
例1 (2026·广西钦州高二期中)如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限内有沿y轴正方向的匀强电场,在第四象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从原点O以大小为v0的速度沿x轴正方向射入,通过磁场后到达y轴上的P点,不计粒子所受的重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B;
(2)将该粒子改在y轴上的Q(0,L)点同样以速度v0平行于x轴正方向射入电场中,从x＝L处的M点(图中未画出)进入磁场,求电场强度E的大小;
(3)在第(2)问情景下,粒子最后从y轴上N点(图中未画出)离开磁场,求粒子在磁场中运动的时间。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)粒子从O点进入磁场运动到P点,洛伦兹力提供向心力,则有qv0B＝m
由几何知识可得2r＝L
解得磁感应强度大小B＝。
(2)粒子在电场中做类平抛运动,沿x轴方向做匀速直线运动,有x＝v0t1,解得t1＝
沿y轴方向做匀加速直线运动,有y＝a
解得a＝
根据牛顿第二定律有qE＝ma,解得E＝
(3)粒子离开电场时的速度大小v＝＝2v0,速度方向与x轴正方向的夹角θ满足cos θ＝,则θ＝60°
粒子进入磁场运动,洛伦兹力提供向心力,则有
qvB＝m
解得半径R＝L,因为Rsin θ＝L＝x
所以圆周轨道的圆心A在y轴上,如图所示
则粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为α＝180°－θ＝120°
粒子在磁场中运动的周期为T＝
运动时间为t2＝T＝。
“五步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
角度2　从磁场进入电场
磁场中:匀速圆周运动 电场中:匀变速直线运 动(v0与E同向或反向)
磁场中:匀速圆周运动 电场中:类平抛运动 (v0与E垂直)
例2 (2025·江苏苏州高二期末)如图所示,直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子,在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场,从y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场,并经过x轴上x＝2L处的c点。不计粒子重力。求:
(1)磁感应强度B的大小;
(2)电场强度E的大小;
(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知r＋rcos 60°＝L
解得r＝L
又因为qv0B＝m
解得B＝。
(2)带电粒子在电场中运动时,沿x轴有2L＝v0t2
沿y轴有L＝a
又因为qE＝ma
联立解得t2＝,E＝。
(3)带电粒子在磁场中的运动时间为
t1＝T＝·
所以带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比为。
角度3　带电粒子在立体空间中的运动
例3 (2025·广东佛山高二月考)如图,在空间直角坐标系O－xyz中,界面Ⅰ与Oyz平面重叠,界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行,且相邻界面的间距均为L,与x轴的交点分别为O、O1、O2;在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场,在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子,从y轴上距O点处的P点,以速度v0沿x轴正方向射入电场区域,该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求:
(1)匀强电场的电场强度的大小E;
(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出,匀强磁场的磁感应强度B应多大
答案　(1)　(2)
解析　(1)粒子在电场区域内做类平抛运动,设电场中粒子加速度大小为a,沿z轴正方向看,如图乙所示
粒子从O1点进入磁场区域,则L＝v0t
at2,qE＝ma
联立解得E＝。
(2)设粒子到O1点时的速度大小为v,与x轴正方向夹角为θ,有
vy＝at,v＝,tan θ＝
解得θ＝45°,v＝v0
在磁场区域,粒子做匀速圆周运动,有qvB＝m,粒子刚好不从界面Ⅲ飞出,根据几何关系有
R＋Rsin 45°＝L
解得B＝。
此题看题图是立体空间,但是带电粒子在电场中的偏转和在磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的,即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图,然后画出带电粒子的运动轨迹,再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。
提升2　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加,或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
角度1　带电粒子在叠加场中的直线运动
例4 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区,该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下,恰好沿直线运动到A点,下列说法中正确的是(　　)
A.该微粒可能带正电荷
B.微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的电场强度为
答案　C
解析　微粒沿OA做直线运动,则垂直OA方向上合力一定为零,由于洛伦兹力F＝qvB与OA垂直,故微粒做匀速直线运动,B错误;
由平衡条件知,微粒受的洛伦兹力垂直OA斜向左上方,由左手定则可知,微粒带负电,A错误;微粒受力分析如图所示,根据平衡条件得qE＝mgtan θ,mg＝qvBcos θ,由以上两式解得磁场的磁感应强度大小B＝,电场的电场强度E＝,C正确,D错误。
角度2　带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动
例5 (多选)空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、电荷量为q的带电小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,最高点为a,最低点为b,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.小球带正电,且电场强度E＝
B.磁场方向垂直纸面向外
C.小球在从a点运动到b点的过程中,电势能增加
D.运动过程突然将磁场反向,小球仍能做匀速圆周运动
答案　ACD
解析　小球在竖直平面内做匀速圆周运动,受到重力、静电力和洛伦兹力作用,静电力与重力平衡,则知小球带正电,且qE＝mg,则E＝,故A正确;小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由左手定则可知,磁场方向垂直纸面向里,故B错误;小球在从a点运动到b点的过程中,静电力做负功,小球的电势能增大,故C正确;运动过程突然将磁场反向,重力与静电力仍平衡,洛伦兹力反向,小球仍做匀速圆周运动,故D正确。
　　　　　　　　　　 　　　　
角度3　带电粒子在叠加场中的较复杂的曲线运动
例6 (多选)如图所示,两平行极板水平放置,两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场,磁场的磁感应强度大小B。一束质量均为m、电荷量均为＋q(q>0)的粒子,以不同速度沿着两板中轴线PQ方向进入板间后,速度为v的甲粒子恰好做匀速直线运动;速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示,A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置,乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时,可将曲线分割成许多很短的小段,这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分,采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子之间的相互作用,下列说法正确的是(　　)
A.两板间电场强度的大小为vB
B.乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中,在水平方向上做加速运动
C.乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D.乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为
答案　ABD
解析　速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动,有qvB＝qE,可得两板间电场强度的大小为E＝vB,故A正确;速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如题图中曲线所示,根据左手定则知,粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心,可知乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中,在水平方向上的合力一直水平向右,在水平方向上做加速运动,故B正确;由于洛伦兹力一直不做功,乙粒子所受静电力方向一直竖直向下,当粒子速度最大时,静电力做的功最多,偏离中轴线的距离最远,根据动能定理有qEymax＝mm,得ymax＝,故C错误;由题意,可知乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远,粒子速度vA＝v,根据牛顿第二定律有qvAB－qE＝m,联立解得对应圆周的半径为rA＝,故D正确。
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
随堂对点自测
1.(组合场)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称,CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图,其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场,虚线框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进,打到靶上,产生X射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　)
A.M处的电势高于N处的电势
B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
答案　D
解析　电子带负电,故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速,故选项A错误;由左手定则可判定偏转磁场的方向垂直纸面向里,故选项C错误;对加速过程应用动能定理有eU＝mv2,设电子在磁场中运动半径为r,由洛伦兹力提供向心力,有evB＝m,则r＝,电子运动轨迹如图所示,由几何关系可知,电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝(其中d为磁场宽度),联立可得sin θ＝dB,可见增大U会使θ减小,电子在靶上的落点P右移,增大B可使θ增大,电子在靶上的落点P左移,故选项B错误,D正确。
2.(叠加场)(2026·福建泉州高二月考)如图所示,空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m的带电小球以初速度v0沿与电场方向成45°角射入场区,能沿直线运动。小球运动到某一位置时,电场方向突然变为竖直向上。已知带电小球的比荷为k,重力加速度为g,则(　　)
A.小球可能带负电
B.电场方向改变后小球做匀速圆周运动
C.电场强度大小为gk
D.电场强度与磁感应强度之比为v0∶1
答案　B
解析　小球沿初速度方向做直线运动时,受力分析如图所示,
由静电力的方向与电场线的方向一致可知小球带正电,故A错误;由几何关系可得qE＝mg＝qv0B,当电场方向改变后,重力与静电力平衡,小球受到的合力为洛伦兹力,做匀速圆周运动,故B正确;由qE＝mg,可得E＝,故C错误;由qE＝qv0B,可得v0,故D错误。
基础对点练
题组一　带电粒子在组合场中的运动
1.(多选)一个带电粒子(不计重力)以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域,穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线,且分界线与电场强度方向平行,如图中的虚线所示。在下图所示的几种情况中,可能出现的是(　　)
答案　AD
解析　根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、C、D中粒子带正电,选项B中粒子带负电,再根据左手定则判断粒子在磁场中的偏转方向,可知A、D正确,B、C错误。
2.(多选)(2025·广东广州高二检测)如图所示,两个匀强磁场的方向相同,磁感应强度分别为B1、B2,虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中,其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线,以下说法正确的是(　　)
A.电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B.电子运动一周回到P点所用的时间T＝
C.B1＝4B2
D.B1＝2B2
答案　AD
解析　由左手定则可知,电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上,轨迹为P→D→M→C→N→E→P,故A正确;由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2,由半径r＝＝2,故C错误,D正确;电子运动一周回到P点的时间t＝T1＋,故B错误。
3.如图所示,虚线MN、PQ之间为匀强电场,MN的上方和PQ的下方分别有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度分别为B1和B2,且B2＝B1,一不计重力的带电粒子从MN上的a点垂直于MN向上射出,经过磁场偏转后垂直于MN方向从b点进入电场,穿越电场后,从c点再次进入磁场,经过磁场偏转后以垂直于PQ的速度打到d点,若ab＝2cd,则粒子从b到c克服静电力做的功W与其从a点出发时的初动能Ek1之比为(　　)
A.W∶Ek1＝1∶2
B.W∶Ek1＝1∶2
C.W∶Ek1＝2∶3
D.W∶Ek1＝4∶5
答案　A
解析　设粒子在电场上方和下方的速率分别为v1、v2,在上方和下方磁场中轨道半径分别为r1、r2,则r1＝,r2＝,根据题意B2＝B1,r1＝2r2,解得v1＝v2,在电场中,根据动能定理可得W＝mmmEk1,故A正确,B、C、D错误。
题组二　带电粒子在叠加场中的运动
4.(多选)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和匀强磁场,已知磁场方向垂直纸面向里,一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动,如图所示,由此可以判断(　　)
A.油滴一定做匀速运动
B.油滴可以做变速运动
C.如果油滴带正电,它是从N点运动到M点　
D.如果油滴带正电,它是从M点运动到N点　
答案　AD
解析　油滴做直线运动,受重力、静电力和洛伦兹力作用,因为重力和静电力均为恒力,根据油滴做直线运动条件可知,油滴所受洛伦兹力亦为恒力。根据F＝qvB可知,油滴必定做匀速直线运动,A正确,B错误;根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如图所示,如果油滴带正电,由左手定则可知,油滴从M点运动到N点,C错误,D正确。
5.(2026·四川绵阳高二期中)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc,已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是(　　)
A.mb>ma>mc B.mb>mc>ma
C.ma>mb>mc D.mc>mb>ma
答案　A
解析　带正电微粒a在纸面内做匀速圆周运动,静电力等于重力,洛伦兹力提供做圆周运动的向心力,则有mag＝qE,带正电微粒b在纸面内向右做匀速直线运动,受到竖直向下的重力、竖直向上的静电力和洛伦兹力,有mbg＝qE＋qvbB,带正电微粒c在纸面内向左做匀速直线运动,受到竖直向下的重力和洛伦兹力、竖直向上的静电力,有mcg＝qE－qvcB,则质量关系为mb>ma>mc,故A正确。
6. (2025·陕西宝鸡高二期末)如图所示,一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动,其轨道半径为R,已知电场的电场强度为E,方向竖直向下;磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,不计空气阻力,设重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.液滴带正电
B.液滴受到重力、静电力、洛伦兹力、向心力作用
C.液滴所受合外力为零
D.液滴比荷
答案　D
解析　液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动,液滴受到的重力和静电力是一对平衡力,故液滴受到的静电力方向竖直向上,与电场方向相反,可知液滴带负电,故A错误;液滴受到重力、静电力、洛伦兹力作用,洛伦兹力提供向心力,液滴所受合外力不为零,故B、C错误;液滴做匀速圆周运动,即mg＝qE,解得液滴比荷,故D正确。
7. (多选)如图所示,空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场,一带电液滴从静止开始自A沿曲线ACB运动,到达B点时,速度为零,C点是运动轨迹最低点,则下列说法中正确的是(　　)
A.液滴带正电
B.液滴在C点时速度最大
C.液滴之后会经C点返回A点
D.B点和A点一定等高
答案　BD
解析　带电液滴由静止开始向下运动,说明重力和静电力的合力向下,洛伦兹力指向轨迹内侧,根据左手定则知,液滴带负电,A错误;从A到C的过程中,重力做正功,而静电力做负功,洛伦兹力不做功,但合力仍做正功,动能增大,从C到B的过程中,重力做负功,静电力做正功,洛伦兹力不做功,但合力做负功,动能减小,所以液滴在C点的动能最大,速度最大,B正确;液滴到达B处后,不能再由B点返回A点,C错误;液滴从A点到达B点,动能变化量为零,则重力做功与静电力做功之和为零,重力方向和电场方向的位移始终相同,故B点和A点一定等高,D正确。
综合提升练
8.(多选)(2026·河北沧州期中)如图所示,真空内存在水平向右的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,下列说法正确的是(　　)
A.静电力的瞬时功率为qEv2
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qBv2
C.v1与v2的比值保持不变
D.该离子的加速度大小保持不变
答案　BD
解析　静电力的瞬时功率为P＝qEv1,故A错误;由于v1与磁场B平行,则该离子受到的洛伦兹力大小为F洛＝qv2B,故B正确;根据运动的叠加原理可知,离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动,在磁场方向做匀加速直线运动,则v1增大,v2不变,的比值不断增大,故C错误;离子受到的静电力不变,洛伦兹力大小不变,方向总是与静电力方向垂直,则该离子受到的合力大小不变,该离子的加速度大小保持不变,故D正确。
9.如图所示,在平面直角坐标系xOy内,第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场,第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场,磁场圆心在M(L,0)点,磁场方向垂直于坐标平面向外。一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L,－L)点以速度v0沿x轴正方向射入电场,恰好从坐标原点O进入磁场,从P(2L,0)点射出磁场,不计粒子重力,求:
(1)电场强度与磁感应强度大小的比值;
(2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值。
答案　(1)　(2)
解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示,设粒子的质量和所带电荷量分别为m和q,粒子在匀强电场中运动,由类平抛运动规律及牛顿运动定律得2L＝v0t1,L＝a,qE＝ma,联立解得E＝
粒子到达O点时沿＋y方向的分速度为
vy＝at1＝v0
粒子到达O点时的速度与x轴夹角的正切值为tan α＝＝1,故α＝45°
粒子在磁场中的速度为v＝v0
由几何关系得r＝L,又qvB＝m
联立解得B＝,则。
(2)粒子在磁场中运动的周期为T＝
粒子在磁场中运动的时间为t2＝T＝
粒子在电场中运动的时间为t1＝
解得。
培优加强练
10.(2024·贵州卷,14)如图,边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场,ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域,切点为ef的中点,该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动,经cd边的中点进入cdef区域,并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内,粒子始终在该纸面内运动,不计粒子重力。求:
(1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小;
(2)粒子的电荷量与质量之比;
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
答案　(1)　(2)　(3)60°
解析　(1)粒子在cdef区域做匀速直线运动,由平衡条件有qv0B＝qE
解得粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小
v0＝。
(2)由粒子的运动轨迹知,粒子带正电,粒子在cdef区域做匀速直线运动,粒子受力平衡,静电力方向竖直向下,洛伦兹力方向竖直向上,粒子速度方向水平向右,在abcd区域的逆运动为类平抛运动,则
水平方向有L＝v0t
竖直方向有·t2
结合(1)问联立解得粒子的电荷量与质量之比
。
(3)粒子在圆形区域中,由洛伦兹力提供向心力有
qv0B＝m
解得粒子在圆形区域中做圆周运动的轨迹半径r＝L
设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为θ,作出粒子在圆形区域的运动轨迹如图所示
由几何关系有tan
解得θ＝60°。(共62张PPT)
专题提升五　带电粒子在复合场中的运动
第一章　安培力与洛伦兹力
1.知道复合场的概念。
2.能够分析带电粒子在组合场中的运动问题。
3.能分析带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况,能够正确选择物理规律解答问题。
学习目标
目 录
00ONTENTS
提升
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
提升
1
提升2　带电粒子在叠加场中的运动
提升1　带电粒子在组合场中的运动
提升1　带电粒子在组合场中的运动
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2.带电粒子在组合场中运动问题的分析
(1)基本思路:明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律,然后找出两种场分界线上两种运动的联系(一般是粒子经过分界线时速度不变),利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理。
(2)关键点:画出轨迹示意图。
(3)具体解决方案
3.“电偏转”与“磁偏转”的比较
项目 电偏转 磁偏转
偏转条件 垂直电场线进入匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 静电力F＝qE 大小、方向不变 洛伦兹力F＝qvB
大小不变,方向时刻与v垂直
运动类型 类平抛运动 匀速圆周运动
项目 电偏转 磁偏转
运动轨迹 抛物线 圆或圆的一部分
求解 方法 x＝v0t,a＝,偏移距离y＝at2,偏转角tan φ＝ 偏移距离y和偏转角θ要结合圆的几何关系通过圆周运动的规律求解,r＝,T＝,t＝T
动能 变大 不变
角度1　从电场进入磁场
电场中:加速直线运动 磁场中:匀速圆周运动
电场中:类平抛运动 磁场中:匀速圆周运动
例1 (2026·广西钦州高二期中)如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限内有沿y轴正方向的匀强电场,在第四象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从原点O以大小为v0的速度沿x轴正方向射入,通过磁场后到达y轴上的P点,不计粒子所受的重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B;
解析　粒子从O点进入磁场运动到P点,洛伦兹力提供向心力,则有qv0B＝m
由几何知识可得2r＝L,解得磁感应强度大小B＝。
答案　
(2)将该粒子改在y轴上的Q(0,L)点同样以速度v0平行于x轴正方向射入电场中,从x＝L处的M点(图中未画出)进入磁场,求电场强度E的大小;
解析　粒子在电场中做类平抛运动,沿x轴方向做匀速直线运动,有x＝v0t1,解得t1＝
沿y轴方向做匀加速直线运动,有y＝a
解得a＝
根据牛顿第二定律有qE＝ma,解得E＝
答案　
(3)在第(2)问情景下,粒子最后从y轴上N点(图中未画出)离开磁场,求粒子在磁场中运动的时间。
解析　粒子离开电场时的速度大小v＝＝2v0,速度方向与x轴正方向的夹角θ满足cos θ＝,则θ＝60°
粒子进入磁场运动,洛伦兹力提供向心力,
则有qvB＝m
解得半径R＝L,因为Rsin θ＝L＝x
所以圆周轨道的圆心A在y轴上,如图所示
则粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为
α＝180°－θ＝120°
粒子在磁场中运动的周期为T＝
运动时间为t2＝T＝。
答案　
“五步”突破带电粒子在组合场中的运动问题
角度2　从磁场进入电场
磁场中:匀速圆周运动 电场中:匀变速直线运动 (v0与E同向或反向)
磁场中:匀速圆周运动 电场中:类平抛运动 (v0与E垂直)
例2 (2025·江苏苏州高二期末)如图所示,直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子,在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场,从y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场,并经过x轴上x＝2L处的c点。不计粒子重力。求:
(1)磁感应强度B的大小;
解析　带电粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知r＋rcos 60°＝L
解得r＝L
又因为qv0B＝m
解得B＝。
答案　
(2)电场强度E的大小;
解析　带电粒子在电场中运动时,沿x轴有2L＝v0t2
沿y轴有L＝a
又因为qE＝ma
联立解得t2＝,E＝。
答案　
(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
解析　带电粒子在磁场中的运动时间为
t1＝T＝·
所以带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比为。
答案　
角度3　带电粒子在立体空间中的运动
例3 (2025·广东佛山高二月考)如图,在空间直角坐标系O－xyz中,界面Ⅰ与Oyz平面重叠,界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行,且相邻界面的间距均为L,与x轴的交点分别为O、O1、O2;在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场,在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子,从y轴上距O点处的P点,以速度v0沿x轴正方向射入电场区域,该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求:
(1)匀强电场的电场强度的大小E;
解析　粒子在电场区域内做类平抛运动,设电场中粒子加速度大小为a,沿z轴正方向看,如图乙所示
粒子从O1点进入磁场区域,则L＝v0t
at2,qE＝ma
联立解得E＝。
答案　
(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出,匀强磁场的磁感应强度B应多大
解析　设粒子到O1点时的速度大小为v,与x轴正方向夹角为θ,有vy＝at,v＝,tan θ＝
解得θ＝45°,v＝v0
在磁场区域,粒子做匀速圆周运动,有qvB＝m,粒子刚好不从界面Ⅲ飞出,根据几何关系有R＋Rsin 45°＝L
解得B＝。
答案　
此题看题图是立体空间,但是带电粒子在电场中的偏转和在磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的,即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图,然后画出带电粒子的运动轨迹,再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。
提升2　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加,或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆 周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
角度1　带电粒子在叠加场中的直线运动
例4 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区,该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下,恰好沿直线运动到A点,下列说法中正确的是(　　)
A.该微粒可能带正电荷
B.微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的电场强度为
C
解析　微粒沿OA做直线运动,则垂直OA方向上合力一定为零,由于洛伦兹力F＝qvB与OA垂直,故微粒做匀速直线运动,B错误;
由平衡条件知,微粒受的洛伦兹力垂直OA斜向左上方,由左手定则可知,微粒带负电,A错误;微粒受力分析如图所示,根据平衡条件得qE＝mgtan θ,mg＝qvBcos θ,由以上两式解得磁场的磁感应强度大小B＝,电场的电场强度E＝,C正确,D错误。
角度2　带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动
例5 (多选)空间中存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、电荷量为q的带电小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,最高点为a,最低点为b,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　 )
A.小球带正电,且电场强度E＝
B.磁场方向垂直纸面向外
C.小球在从a点运动到b点的过程中,电势能增加
D.运动过程突然将磁场反向,小球仍能做匀速圆周运动
ACD
解析　小球在竖直平面内做匀速圆周运动,受到重力、静电力和洛伦兹力作用,静电力与重力平衡,则知小球带正电,且qE＝mg,则E＝,故A正确;小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由左手定则可知,磁场方向垂直纸面向里,故B错误;小球在从a点运动到b点的过程中,静电力做负功,小球的电势能增大,故C正确;运动过程突然将磁场反向,重力与静电力仍平衡,洛伦兹力反向,小球仍做匀速圆周运动,故D正确。
角度3　带电粒子在叠加场中的较复杂的曲线运动
例6 (多选)如图所示,两平行极板水平放置,两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场,磁场的磁感应强度大小B。一束质量均为m、电荷量均为＋q(q>0)的粒子,以不同速度沿着两板中轴线PQ方向进入板间后,速度为v的甲粒子恰好做匀速直线运动;速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示,A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置,乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时,可将曲线分割成许多很短的小段,这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分,采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子之间的相互作用,下列说法正确的是(　　 )
ABD
A.两板间电场强度的大小为vB
B.乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中,在水平方向上做加速运动
C.乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D.乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为
解析　速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动,有qvB＝qE,可得两板间电场强度的大小为E＝vB,故A正确;速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如题图中曲线所示,根据左手定则知,粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心,可知乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中,在水平方向上的合力一直水平向右,在水平方向上做加速运动,故B正确;由于洛伦兹力一直不做功,乙粒子所受静电力方向一直竖直向下,当粒子速度最大时,静电力做的功最多,偏离中轴线的距离最远,根据动能定理有qEymax＝mm,得ymax＝,故C错误;由题意,可知乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远,粒子速度vA＝v,根据牛顿第二定律有qvAB－qE＝m,联立解得对应圆周的半径为rA＝,故D正确。
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
随堂对点自测
2
D
1.(组合场)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称,CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图,其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场,虚线框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进,打到靶上,产生X射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　)
A.M处的电势高于N处的电势
B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
解析　电子带负电,故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速,故选项A错误;由左手定则可判定偏转磁场的方向垂直纸面向里,故选项C错误;对加速过程应用动能定理有eU＝mv2,设电子在磁场中运动半径为r,由洛伦兹力提供向心力,有evB＝m,则r＝,电子运动轨迹如图所示,由几何关系可知,电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝(其中d为磁场宽度),联立可得sin θ＝dB,可见增大U会使θ减小,电子在靶上的落点P右移,增大B可使θ增大,电子在靶上的落点P左移,故选项B错误,D正确。
B
2.(叠加场)(2026·福建泉州高二月考)如图所示,空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m的带电小球以初速度v0沿与电场方向成45°角射入场区,能沿直线运动。小球运动到某一位置时,电场方向突然变为竖直向上。已知带电小球的比荷为k,重力加速度为g,则(　　)
A.小球可能带负电
B.电场方向改变后小球做匀速圆周运动
C.电场强度大小为gk
D.电场强度与磁感应强度之比为v0∶1
解析　小球沿初速度方向做直线运动时,受力分析如图所示,
由静电力的方向与电场线的方向一致可知小球带正电,故A错误;由几何关系可得qE＝mg＝qv0B,当电场方向改变后,重力与静电力平衡,小球受到的合力为洛伦兹力,做匀速圆周运动,故B正确;由qE＝mg,可得E＝,故C错误;由qE＝qv0B,可得v0,故D错误。
课后巩固训练
3
AD
基础对点练
题组一　带电粒子在组合场中的运动
1.(多选)一个带电粒子(不计重力)以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域,穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线,且分界线与电场强度方向平行,如图中的虚线所示。在下图所示的几种情况中,可能出现的是(　　)
解析　根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、C、D中粒子带正电,选项B中粒子带负电,再根据左手定则判断粒子在磁场中的偏转方向,可知A、D正确,B、C错误。
AD
2.(多选)(2025·广东广州高二检测)如图所示,两个匀强磁场的方向相同,磁感应强度分别为B1、B2,虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中,其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线,以下说法正确的是(　　)
A.电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P
B.电子运动一周回到P点所用的时间T＝
C.B1＝4B2
D.B1＝2B2
解析　由左手定则可知,电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上,轨迹为P→D→M→C→N→E→P,故A正确;由题图得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2,由半径r＝＝2,故C错误,D正确;电子运动一周回到P点的时间t＝T1＋,故B错误。
A
3.如图所示,虚线MN、PQ之间为匀强电场,MN的上方和PQ的下方分别有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度分别为B1和B2,且B2＝B1,一不计重力的带电粒子从MN上的a点垂直于MN向上射出,经过磁场偏转后垂直于MN方向从b点进入电场,穿越电场后,从c点再次进入磁场,经过磁场偏转后以垂直于PQ的速度打到d点,若ab＝2cd,则粒子从b到c克服静电力做的功W与其从a点出发时的初动能Ek1之比为(　　)
A.W∶Ek1＝1∶2 B.W∶Ek1＝1∶2
C.W∶Ek1＝2∶3 D.W∶Ek1＝4∶5
解析　设粒子在电场上方和下方的速率分别为v1、v2,在上方和下方磁场中轨道半径分别为r1、r2,则r1＝,r2＝,根据题意B2＝B1,r1＝2r2,解得v1＝v2,在电场中,根据动能定理可得W＝mmmEk1,故A正确,B、C、D错误。
AD
题组二　带电粒子在叠加场中的运动
4.(多选)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和匀强磁场,已知磁场方向垂直纸面向里,一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线MN运动,如图所示,由此可以判断(　　)
A.油滴一定做匀速运动
B.油滴可以做变速运动
C.如果油滴带正电,它是从N点运动到M点　
D.如果油滴带正电,它是从M点运动到N点　
解析　油滴做直线运动,受重力、静电力和洛伦兹力作用,因为重力和静电力均为恒力,根据油滴做直线运动条件可知,油滴所受洛伦兹力亦为恒力。根据F＝qvB可知,油滴必定做匀速直线运动,A正确,B错误;根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如图所示,如果油滴带正电,由左手定则可知,油滴从M点运动到N点,C错误,D正确。
A
5.(2026·四川绵阳高二期中)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等,质量分别为ma、mb、mc,已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是(　　)
A.mb>ma>mc B.mb>mc>ma
C.ma>mb>mc D.mc>mb>ma
解析　带正电微粒a在纸面内做匀速圆周运动,静电力等于重力,洛伦兹力提供做圆周运动的向心力,则有mag＝qE,带正电微粒b在纸面内向右做匀速直线运动,受到竖直向下的重力、竖直向上的静电力和洛伦兹力,有mbg＝qE＋qvbB,带正电微粒c在纸面内向左做匀速直线运动,受到竖直向下的重力和洛伦兹力、竖直向上的静电力,有mcg＝qE－qvcB,则质量关系为mb>ma>mc,故A正确。
D
6. (2025·陕西宝鸡高二期末)如图所示,一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动,其轨道半径为R,已知电场的电场强度为E,方向竖直向下;磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,不计空气阻力,设重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.液滴带正电
B.液滴受到重力、静电力、洛伦兹力、向心力作用
C.液滴所受合外力为零
D.液滴比荷
解析　液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动,液滴受到的重力和静电力是一对平衡力,故液滴受到的静电力方向竖直向上,与电场方向相反,可知液滴带负电,故A错误;液滴受到重力、静电力、洛伦兹力作用,洛伦兹力提供向心力,液滴所受合外力不为零,故B、C错误;液滴做匀速圆周运动,即mg＝qE,解得液滴比荷,故D正确。
BD
7. (多选)如图所示,空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场,一带电液滴从静止开始自A沿曲线ACB运动,到达B点时,速度为零,C点是运动轨迹最低点,则下列说法中正确的是(　　)
A.液滴带正电 B.液滴在C点时速度最大
C.液滴之后会经C点返回A点 D.B点和A点一定等高
解析　带电液滴由静止开始向下运动,说明重力和静电力的合力向下,洛伦兹力指向轨迹内侧,根据左手定则知,液滴带负电,A错误;从A到C的过程中,重力做正功,而静电力做负功,洛伦兹力不做功,但合力仍做正功,动能增大,从C到B的过程中,重力做负功,静电力做正功,洛伦兹力不做功,但合力做负功,动能减小,所以液滴在C点的动能最大,速度最大,B正确;液滴到达B处后,不能再由B点返回A点,C错误;液滴从A点到达B点,动能变化量为零,则重力做功与静电力做功之和为零,重力方向和电场方向的位移始终相同,故B点和A点一定等高,D正确。
BD
综合提升练
8.(多选)(2026·河北沧州期中)如图所示,真空内存在水平向右的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,下列说法正确的是(　　)
A.静电力的瞬时功率为qEv2
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qBv2
C.v1与v2的比值保持不变
D.该离子的加速度大小保持不变
解析　静电力的瞬时功率为P＝qEv1,故A错误;由于v1与磁场B平行,则该离子受到的洛伦兹力大小为F洛＝qv2B,故B正确;根据运动的叠加原理可知,离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动,在磁场方向做匀加速直线运动,则v1增大,v2不变,的比值不断增大,故C错误;离子受到的静电力不变,洛伦兹力大小不变,方向总是与静电力方向垂直,则该离子受到的合力大小不变,该离子的加速度大小保持不变,故D正确。
9.如图所示,在平面直角坐标系xOy内,第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场,第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场,磁场圆心在M(L,0)点,磁场方向垂直于坐标平面向外。一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L,－L)点以速度v0沿x轴正方向射入电场,恰好从坐标原点O进入磁场,从P(2L,0)点射出磁场,不计粒子重力,求:
(1)电场强度与磁感应强度大小的比值;
(2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值。
答案　(1)　(2)
解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示,设粒子的质量和所带电荷量分别为m和q,粒子在匀强电场中运动,由类平抛运动规律及牛顿运动定律得2L＝v0t1,L＝a,qE＝ma,联立解得E＝
粒子到达O点时沿＋y方向的分速度为vy＝at1＝v0
粒子到达O点时的速度与x轴夹角的正切值为tan α＝＝1,故α＝45°
粒子在磁场中的速度为v＝v0
由几何关系得r＝L,又qvB＝m,联立解得B＝,则。
(2)粒子在磁场中运动的周期为T＝
粒子在磁场中运动的时间为t2＝T＝
粒子在电场中运动的时间为t1＝
解得。
培优加强练
10.(2024·贵州卷,14)如图,边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场,ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域,切点为ef的中点,该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动,经cd边的中点进入cdef区域,并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内,粒子始终在该纸面内运动,不计粒子重力。求:
(1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小;
(2)粒子的电荷量与质量之比;
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
答案　(1)　(2)　(3)60°
解析　(1)粒子在cdef区域做匀速直线运动,由平衡条件有qv0B＝qE
解得粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小v0＝。
(2)由粒子的运动轨迹知,粒子带正电,粒子在cdef区域做匀速直线运动,粒子受力平衡,静电力方向竖直向下,洛伦兹力方向竖直向上,粒子速度方向水平向右,在abcd区域的逆运动为类平抛运动,则水平方向有L＝v0t
竖直方向有·t2
结合(1)问联立解得粒子的电荷量与质量之比。
(3)粒子在圆形区域中,由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m
解得粒子在圆形区域中做圆周运动的轨迹半径r＝L
设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为θ,作出粒子在圆形区域的运动轨迹如图所示
由几何关系有tan
解得θ＝60°。
本节内容结束
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