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江苏省镇江市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】利用两角差的余弦公式即可求解。
2．若复数，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可得，故复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法化简复数，进而即可求得复数的虚部。
3．已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意作长方体，
A，当直线分别为，平面为平面时，显然，但，故选项A错误；
B，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故选项B错误；
C，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故选项C错误；
D，由线面垂直的性质，故选项D正确.
故选：D.
【分析】根据长方体的几何性质和线面位置关系逐一举反例即可判断选项ABC；利用线面垂直的性质和面面平行的判定定理即可判断选项D.
4．已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设向量，的夹角为，
由题意可知，，
解得，
因为所以.
故选：C.
【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得即可求得向量，的夹角.
5．已知，均为锐角，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，
又因为，，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】首先观察角之间的关系，得，故，按照正弦的两角和公式展开，将需要的，值求出代入即得.
6．已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：如图所示为圆台的轴截面，
、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，，
延长、交于点，则是边长为的等边三角形，
因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点，
故，即圆台的母线长为，
因此，该圆台的表面积为.
故选：D.
【分析】先求出圆台的母线长，再结合圆台的表面积公式即可求得该圆台的表面积.
7．设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：，是平面内的一组基底，
，，，
因为，，，
则与，与，与不共线，
所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC，
注意到
即，所以，又因为有公共点P，所以N，P，Q三点共线，故D符合题意.
故选：D.
【分析】根据共线定理判定即可.
8．已知满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查两角和的正切公式变形应用，关键是先整理式子分离出，再利用结合两角和正切公式化简，求出后结合角度范围确定的值。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（　　）
A． B．
C．的面积为 D．边上的高为
【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A，由余弦定理可得，
故，故选项A正确；
B，由余弦定理可得，
因为，故，故选项B错误；
C，，故选项C正确；
D，设边上的高为，则，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用余弦定理求解即可判定选项A；利用余弦定理变形求解即可判断选项B；利用三角形的面积公式可判断选项CD.
10．已知复数、，则（　　）
A．若，则
B．若为纯虚数，则也为纯虚数
C．若，则是实数
D．若，则
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A，设，则，所以，故A正确；
B，不妨取，，则为纯虚数，但为实数，故B错误；
C，设，若，则，所以为实数，故C正确；
D，不妨取，，则，但且，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：设代数形式，利用共轭复数定义分别计算模长对比；
B：构造一组满足条件的复数，计算乘积举出反例；
C：设代数形式，相加消去虚部，证明和为实数；
D：构造平方和为 0 但两复数均不为 0 的例子，推翻命题。
11．在棱长为1的正方体中，为中点，为棱上一动点，则（　　）
A．异面直线与所成角为
B．三棱锥的体积为定值
C．最小值为
D．过点且平行于平面的平面截正方体得到的截面多边形周长为定值
【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；平面的基本性质及推论；异面直线所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，如图所示，
因为，所以异面直线与所成角为直线与所成的角，
即，故选项A正确；
B，如图所示，由题意，
所以三角形的面积为，
因为，平面，平面，
所以平面，
而，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，面，面，所以，
又，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为，
所以为定值，故选项B正确；
C，如图所示，
注意到平面，平面，
故按如下方式将两平面展开到如图所示的平面图形，
当且仅当点与上图中的与的交点重合时，有最小值，
最小值为，故选项C错误；
D，如图所示，
过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，
过点作交于点S，过点S作交于点，
顺次连接，则六边形即为所求截面，
不妨设，则，
所以，
所以，
所以，
所以过点且平行于平面的平面截正方体得到的截面多边形周长为
为定值，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由异面直线的定义求解即可判断选项A；对于B，利用转换法即可判断选项B；将展开在同一个平面内，当且仅当点与上图中的与的交点重合时，有最小值计算即可判断选项C；过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点S，过点S作交于点，
顺次连接，则六边形即为所求截面，根据截面的有关性质验算即可判断选项D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意，取长方体的体对角线中点为，可作图如下：
易知点到长方体八个顶点的距离相等，即为外接球球心，
则外接球的半径，所以球的体积.
故答案为：.
【分析】点到长方体八个顶点的距离相等，得为外接球球心，易得球直径为长方体体对角线，可得球半径R，代入球的体积公式即可
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理可得，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】由正弦定理求解即可求得b的值.
14．在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则　 　；若，，则的取值范围是　 　.
【答案】；
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：第一空：因为，所以，
又，所以，
所以
；
第二空：因为，所以，
所以，
，
所以
，
又因为，所以..
故答案为：3；[1，3]
【分析】第一空：用作基底表示，，，，进而可得利用数量积的运算律计算即可求得 ；第二空，用作基底表示，，可得，，结合数量积的运算律，以及二次函数的最值的求法可求的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数，，满足，________________.
（1）若为实数，求复数；
（2）若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数.
【答案】（1）解：选择条件①，设，，∴，
又为实数， ，，即，
，解得或，
故或.
选择条件②，，为实数，，
即，∴，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，
故或.
选择条件，为实数，设，
，则，解得或，
故或.
（2）解：选择条件①、，，，
设，则，
又，，即，
又，∴，
解得或，
故或.
选择条件②，，，，
，即，
化简得，又，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故或.
选择条件，，，
设，则，
又，，即，
又，，
解得或，
故或.
【知识点】平面向量的数量积运算；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；辅助角公式；复数运算的几何意义
【解析】【分析】（1）选择①，设，由条件根据共轭复数的概念和复数的乘法运算可得，由条件为实数，结合复数除法运算可得，解方程可求a，b的值，进而即可求得复数 ；
选择②，由为实数，结合复数除法运算可得，根据辅助角公式和三角函数的性质求得x的值，进而即可求得复数 ；
选择③，设，根据复数的模长公式即可求得k的值，进而可求得复数 .
（2）选择①或③，设，由条件可得，由 可得，解方程求可得复数 .
选择②，由条件可得，据辅助角公式和三角函数的性质求得x的值，进而即可求得复数 .
（1）选择条件①，设，，，
又为实数， ，，即，，解得或，
故或.
选择条件②，，为实数，，
即，，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，
故或.
选择条件，为实数，设，
，则，解得或，
故或.
（2）选择条件①、，，，
设，则，
又，，即，
又，，
解得或，
故或.
选择条件②，，，，
，即，
化简得，又，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故或.
16．如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求证：平面平面.
【答案】（1）证明： 在正方体中， ，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
而平面，所以平面，
又平面，所以．
因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
而平面，所以平面，
又平面，所以，
而平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先证得，进而根据线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理得平面，再结合面面垂直判定定理即可证得平面平面．
（1）由正方体的结构特征可知，
，且，所以四边形为平行四边形，
即有，而平面，平面，故平面．
（2）因为平面，平面，所以，
由四边形为正方形可知，，
而平面，所以平面，
又平面∴．
因为平面，平面，所以，
由四边形为正方形可知，，
而平面，所以平面，
又平面∴，
而平面，故平面．
又因为平面，所以平面平面.
17．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量与向量共线且，求的值.
【答案】（1）解：由题意，，
因为，则，
两边平方可得，即，
又因为，所以，即，所以，所以.
所以，.
（2）解：由题意，向量与向量共线，则
因为，且，所以，
则.
由，可得，
又，所以.
故.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式化简得，由利用两角和的正弦公式可得，进而两边平方结合同角三角函数的关系式及二倍角正弦公式求得，由此可得，代入即可求得 ；
（2）利用向量共线的坐标运算可得进而根据同角三角函数的关系式可得，利用二倍角公式计算得，结合求出，再利用两角和正弦公式计算即可求得的值.
（1）由题意，，
因为，则，
两边平方可得，即，
又因为，所以，即，所以，所以.
所以，.
（2）由题意，向量与向量共线，则，
因为，且，所以，
则.
由，可得，
又，所以.
故.
18．镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内．
（1）求铜像连同底座的高度；
（2）若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？
（3）在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？
（参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位）
【答案】（1）解：由题可知，，
设，在中，，所以
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，，
解得，所以铜像连同底座的高度为．
（2）解：设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示，
则，，
在中，，在中，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大．

（3）解：以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示，
则他站位的轨迹为，轨迹长度为．
【知识点】两角和与差的正切公式；扇形的弧长与面积；解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设，由三角函数的定义可得，，在中由余弦定理列出方程求得x的值，即可求得铜像连同底座的高度；
（2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，由三角函数的定义可得，，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解；
（3） 以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹为，进而利用弧长公式即可求解．
（1）由题可知，，
设，在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得，，
解得，所以铜像连同底座的高度为．
（2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示，
则，，
在中，，在中，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大．
（3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示，
则他站位的轨迹为，轨迹长度为．
19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面.
（1）求的值；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值.
【答案】（1）解：如图1，取中点，连接，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则.

（2）解：如图2，连接，因为，，
四边形是菱形，所以为等边三角形，
由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，且，
又，所以是等边三角形，则，
所以，
在中，，，则，
所以，则，
又，设点到平面的距离为，
由，得到，解得.
（3）证明：如图2，过作于，连接，
由（2）知为等边三角形，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，则是二面角的平面角，
则，
又，且，所以四边形是平行四边形，则，且，
又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角，
则，所以，
又，是的中点，所以，又，所以，
又是的中点，则为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面平行的判定定理得平面平面，再由面面平行的性质得，根据菱形的性质即可求得的值 ；
（2）利用面面垂直的性质得平面，分别求出，，再利用等体积法，列式，进而即可求得点到平面的距离d的值；
（3）过作于，连接，证得，，可得是二面角的平面角，根据条件可得，再结合条件，即可证得为定值 .
（1）如图1，取中点，连接，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则.
（2）如图2，连接，因为，，
四边形是菱形，所以为等边三角形，
由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，且，
又，所以是等边三角形，则，
所以，
在中，，，则，
所以，则，
又，设点到平面的距离为，
由，得到，解得.
（3）如图2，过作于，连接，
由（2）知为等边三角形，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，则是二面角二面角的平面角，
则，
又，且，所以四边形是平行四边形，则，且，
又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角，
则，所以，
又，是的中点，所以，又，所以，
又是的中点，则为定值.
1 / 1江苏省镇江市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．的值是（　　）
A． B． C． D．
2．若复数，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
4．已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．已知，均为锐角，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．已知满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（　　）
A． B．
C．的面积为 D．边上的高为
10．已知复数、，则（　　）
A．若，则
B．若为纯虚数，则也为纯虚数
C．若，则是实数
D．若，则
11．在棱长为1的正方体中，为中点，为棱上一动点，则（　　）
A．异面直线与所成角为
B．三棱锥的体积为定值
C．最小值为
D．过点且平行于平面的平面截正方体得到的截面多边形周长为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为　 　.
13．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为　 　.
14．在平行四边形中，，，，分别为边，上的动点.若，，则　 　；若，，则的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数，，满足，________________.
（1）若为实数，求复数；
（2）若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数.
16．如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求证：平面平面.
17．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量与向量共线且，求的值.
18．镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内．
（1）求铜像连同底座的高度；
（2）若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？
（3）在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？
（参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位）
19．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，平面平面.为中点，为线段上一点，满足平面.
（1）求的值；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）记二面角为，直线与平面所成角为，求证：为定值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】利用两角差的余弦公式即可求解。
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意可得，故复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法化简复数，进而即可求得复数的虚部。
3．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由题意作长方体，
A，当直线分别为，平面为平面时，显然，但，故选项A错误；
B，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故选项B错误；
C，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故选项C错误；
D，由线面垂直的性质，故选项D正确.
故选：D.
【分析】根据长方体的几何性质和线面位置关系逐一举反例即可判断选项ABC；利用线面垂直的性质和面面平行的判定定理即可判断选项D.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设向量，的夹角为，
由题意可知，，
解得，
因为所以.
故选：C.
【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得即可求得向量，的夹角.
5．【答案】C
【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，
又因为，，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】首先观察角之间的关系，得，故，按照正弦的两角和公式展开，将需要的，值求出代入即得.
6．【答案】D
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：如图所示为圆台的轴截面，
、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，，
延长、交于点，则是边长为的等边三角形，
因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点，
故，即圆台的母线长为，
因此，该圆台的表面积为.
故选：D.
【分析】先求出圆台的母线长，再结合圆台的表面积公式即可求得该圆台的表面积.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：，是平面内的一组基底，
，，，
因为，，，
则与，与，与不共线，
所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC，
注意到
即，所以，又因为有公共点P，所以N，P，Q三点共线，故D符合题意.
故选：D.
【分析】根据共线定理判定即可.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查两角和的正切公式变形应用，关键是先整理式子分离出，再利用结合两角和正切公式化简，求出后结合角度范围确定的值。
9．【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A，由余弦定理可得，
故，故选项A正确；
B，由余弦定理可得，
因为，故，故选项B错误；
C，，故选项C正确；
D，设边上的高为，则，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用余弦定理求解即可判定选项A；利用余弦定理变形求解即可判断选项B；利用三角形的面积公式可判断选项CD.
10．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A，设，则，所以，故A正确；
B，不妨取，，则为纯虚数，但为实数，故B错误；
C，设，若，则，所以为实数，故C正确；
D，不妨取，，则，但且，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：设代数形式，利用共轭复数定义分别计算模长对比；
B：构造一组满足条件的复数，计算乘积举出反例；
C：设代数形式，相加消去虚部，证明和为实数；
D：构造平方和为 0 但两复数均不为 0 的例子，推翻命题。
11．【答案】A,B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；平面的基本性质及推论；异面直线所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，如图所示，
因为，所以异面直线与所成角为直线与所成的角，
即，故选项A正确；
B，如图所示，由题意，
所以三角形的面积为，
因为，平面，平面，
所以平面，
而，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，面，面，所以，
又，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为，
所以为定值，故选项B正确；
C，如图所示，
注意到平面，平面，
故按如下方式将两平面展开到如图所示的平面图形，
当且仅当点与上图中的与的交点重合时，有最小值，
最小值为，故选项C错误；
D，如图所示，
过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，
过点作交于点S，过点S作交于点，
顺次连接，则六边形即为所求截面，
不妨设，则，
所以，
所以，
所以，
所以过点且平行于平面的平面截正方体得到的截面多边形周长为
为定值，故选项D正确.
故选：ABD.
【分析】由异面直线的定义求解即可判断选项A；对于B，利用转换法即可判断选项B；将展开在同一个平面内，当且仅当点与上图中的与的交点重合时，有最小值计算即可判断选项C；过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点S，过点S作交于点，
顺次连接，则六边形即为所求截面，根据截面的有关性质验算即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意，取长方体的体对角线中点为，可作图如下：
易知点到长方体八个顶点的距离相等，即为外接球球心，
则外接球的半径，所以球的体积.
故答案为：.
【分析】点到长方体八个顶点的距离相等，得为外接球球心，易得球直径为长方体体对角线，可得球半径R，代入球的体积公式即可
13．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理可得，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】由正弦定理求解即可求得b的值.
14．【答案】；
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：第一空：因为，所以，
又，所以，
所以
；
第二空：因为，所以，
所以，
，
所以
，
又因为，所以..
故答案为：3；[1，3]
【分析】第一空：用作基底表示，，，，进而可得利用数量积的运算律计算即可求得 ；第二空，用作基底表示，，可得，，结合数量积的运算律，以及二次函数的最值的求法可求的取值范围.
15．【答案】（1）解：选择条件①，设，，∴，
又为实数， ，，即，
，解得或，
故或.
选择条件②，，为实数，，
即，∴，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，
故或.
选择条件，为实数，设，
，则，解得或，
故或.
（2）解：选择条件①、，，，
设，则，
又，，即，
又，∴，
解得或，
故或.
选择条件②，，，，
，即，
化简得，又，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故或.
选择条件，，，
设，则，
又，，即，
又，，
解得或，
故或.
【知识点】平面向量的数量积运算；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；辅助角公式；复数运算的几何意义
【解析】【分析】（1）选择①，设，由条件根据共轭复数的概念和复数的乘法运算可得，由条件为实数，结合复数除法运算可得，解方程可求a，b的值，进而即可求得复数 ；
选择②，由为实数，结合复数除法运算可得，根据辅助角公式和三角函数的性质求得x的值，进而即可求得复数 ；
选择③，设，根据复数的模长公式即可求得k的值，进而可求得复数 .
（2）选择①或③，设，由条件可得，由 可得，解方程求可得复数 .
选择②，由条件可得，据辅助角公式和三角函数的性质求得x的值，进而即可求得复数 .
（1）选择条件①，设，，，
又为实数， ，，即，，解得或，
故或.
选择条件②，，为实数，，
即，，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，
故或.
选择条件，为实数，设，
，则，解得或，
故或.
（2）选择条件①、，，，
设，则，
又，，即，
又，，
解得或，
故或.
选择条件②，，，，
，即，
化简得，又，
则，解得，
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故或.
16．【答案】（1）证明： 在正方体中， ，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
而平面，所以平面，
又平面，所以．
因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
而平面，所以平面，
又平面，所以，
而平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先证得，进而根据线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理得平面，再结合面面垂直判定定理即可证得平面平面．
（1）由正方体的结构特征可知，
，且，所以四边形为平行四边形，
即有，而平面，平面，故平面．
（2）因为平面，平面，所以，
由四边形为正方形可知，，
而平面，所以平面，
又平面∴．
因为平面，平面，所以，
由四边形为正方形可知，，
而平面，所以平面，
又平面∴，
而平面，故平面．
又因为平面，所以平面平面.
17．【答案】（1）解：由题意，，
因为，则，
两边平方可得，即，
又因为，所以，即，所以，所以.
所以，.
（2）解：由题意，向量与向量共线，则
因为，且，所以，
则.
由，可得，
又，所以.
故.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式化简得，由利用两角和的正弦公式可得，进而两边平方结合同角三角函数的关系式及二倍角正弦公式求得，由此可得，代入即可求得 ；
（2）利用向量共线的坐标运算可得进而根据同角三角函数的关系式可得，利用二倍角公式计算得，结合求出，再利用两角和正弦公式计算即可求得的值.
（1）由题意，，
因为，则，
两边平方可得，即，
又因为，所以，即，所以，所以.
所以，.
（2）由题意，向量与向量共线，则，
因为，且，所以，
则.
由，可得，
又，所以.
故.
18．【答案】（1）解：由题可知，，
设，在中，，所以
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，，
解得，所以铜像连同底座的高度为．
（2）解：设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示，
则，，
在中，，在中，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大．

（3）解：以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示，
则他站位的轨迹为，轨迹长度为．
【知识点】两角和与差的正切公式；扇形的弧长与面积；解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设，由三角函数的定义可得，，在中由余弦定理列出方程求得x的值，即可求得铜像连同底座的高度；
（2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，由三角函数的定义可得，，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解；
（3） 以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹为，进而利用弧长公式即可求解．
（1）由题可知，，
设，在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得，，
解得，所以铜像连同底座的高度为．
（2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示，
则，，
在中，，在中，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大．
（3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示，
则他站位的轨迹为，轨迹长度为．
19．【答案】（1）解：如图1，取中点，连接，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则.

（2）解：如图2，连接，因为，，
四边形是菱形，所以为等边三角形，
由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，且，
又，所以是等边三角形，则，
所以，
在中，，，则，
所以，则，
又，设点到平面的距离为，
由，得到，解得.
（3）证明：如图2，过作于，连接，
由（2）知为等边三角形，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，则是二面角的平面角，
则，
又，且，所以四边形是平行四边形，则，且，
又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角，
则，所以，
又，是的中点，所以，又，所以，
又是的中点，则为定值.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据条件及面面平行的判定定理得平面平面，再由面面平行的性质得，根据菱形的性质即可求得的值 ；
（2）利用面面垂直的性质得平面，分别求出，，再利用等体积法，列式，进而即可求得点到平面的距离d的值；
（3）过作于，连接，证得，，可得是二面角的平面角，根据条件可得，再结合条件，即可证得为定值 .
（1）如图1，取中点，连接，则，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
又四边形是菱形，为的中点，所以为的中点，则.
（2）如图2，连接，因为，，
四边形是菱形，所以为等边三角形，
由（1）知是的中点，所以，又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，且，
又，所以是等边三角形，则，
所以，
在中，，，则，
所以，则，
又，设点到平面的距离为，
由，得到，解得.
（3）如图2，过作于，连接，
由（2）知为等边三角形，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，则是二面角二面角的平面角，
则，
又，且，所以四边形是平行四边形，则，且，
又平面，所以平面，则是直线与平面所成的角，
则，所以，
又，是的中点，所以，又，所以，
又是的中点，则为定值.
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