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浙江嘉兴市桐乡市2026届高三下学期教学测试数学试题
1．已知复数在复平面内对应的点为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得，，，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面内的表示求得复数，再根据共轭复数的概念以及复数模长公式分别求和，即可求得的值.
2．已知平面向量满足，与的夹角为，则（　　）．
A．7 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据向量运算律将展开，根据数量积公式可解.
3．数列满足，则（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，
可得，，.
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推公式计算即可.
4．某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（　　）
（）
A．115% B．15% C．30% D．60%
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设2025～2030年的年平均增长率为，
由题意可得，化简得，方程两边取对数得，
因为，所以，所以，解得，
则2025～2030年的年平均增长率大约为.
故答案为：B.
【分析】设2025～2030年的年平均增长率为，由题意列方程，根据指数、对数互化，结合对数的运算计算即可.
5．若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
由得，是函数图象的一条对称轴，
则，，解得，；
当时，，
由函数在有唯一零点，得，解得，
所以当时，取得最大值．
故答案为：A.
【分析】先利用辅助角公式化简函数，由求得函数的对称轴，再利用指定区间上有唯一零点，结合函数的周期列式求解即可.
6．已知正实数a，b满足，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，求导得，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增，
函数的最小值为，则，
设，求导得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
的最大值为，则，
又，因此仅当时等式成立，即 ，，
则.
故答案为：C.
【分析】构造函数，，分别求导，利用导数判断函数的单调性，分求出这两个函数值域，根据，求出的值，再求和即可.
7．在三棱锥中，，二面角的大小为，若，则点到平面的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与圆的位置关系；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：在平面上，以中点为原点，以为轴，以垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，
因为，所以，
整理得，即点的轨迹为在平面上，以为圆心，为半径的圆，
点到直线的最大距离，
又因为二面角的大小为，所以点到平面的距离的最大值为.
故答案为：B.
【分析】以中点为原点，建立平面直角坐标系，设，根据，利用两点间距离公式列式求出在平面上点的轨迹方程，求得点到直线的距离的最大值，再根据二面角的大小为， 求点到平面的距离的最大值即可.
8．已知互不相等的实数，满足，记，则等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：令，
因为，所以，
这说明的三个根恰好是，
因此，①
令，则，
因为，
在①中，令得到，
即，
整理得到，
即，
因此，
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
故答案为：D.
【分析】令，由，求得，即的三个根恰好是，再令，则，令，化简整理得到，利用赋值法求的值即可.
9．下列命题中，正确的是（　　）
A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
B．若回归方程为，则变量y与x成负相关
C．若随机变量X服从正态分布，则
D．样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系
【答案】A,B,D
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将已知数据排序得12，14，15，17，19，23，27，30，
由，第六个数为23，即第70百分位数是23，故A正确；
由于，所以变量y与x成负相关，故B正确；
因为，所以，故C错误；
当越小时，相关性越弱，所以当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分数的定义求解即可判断A；根据回归方程判断变量的关系，即可判断B；根据正态分布曲线的特点求解即可判断C；根据相关系数的定义即可判断D.
10．双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
A、由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；
B、在中，利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
C、因为，故，
由B可知，
故，
即，离心率，故C正确；
D、当时，由C可知，，
则，四边形为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，根据双曲线的对称性以及平行四边形的性质求解即可判断A；在中，利用余弦定理求得，为直角三角形，由A选项结论求得即可判断B；利用中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C；结合BC的的结论，求四边形的面积即可判断D.
11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（　　）
A．点到平面的距离为定值
B．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
C．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
D．若与平面所成的角为，则
【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；用空间向量研究直线与平面所成的角；正弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A、连接，如图所示：
因为，由平面，平面，所以平面，
又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为，
则.
又，所以，解得，故A正确；
B、连接，取的中点为，连接，如图所示：
设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，设外接球半径为，过作，交于，则，
在中，设其外接圆半径为，
由正弦定理知，所以，即，
依题易得≌，故，
弦所对的圆周角相等，故四点共圆，则，
则在中，，即①，
在中，，即②，
联立①②，解得，故外接球的表面积为，故B正确；
C、如图，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，
因为平面平面，且平面平面，
且平面平面，根据面面平行的性质定理知，
又因为为中点，所以为四等分点，则四边形的周长为：
，故C错误；
D、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
则，
设平面的法向量，则，
令，则，故，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，又，
综上可知，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】连接，根据线面平行的判定定理证明平面，由点是棱上的动点（含端点），可得点到平面的距离为定值，设为，利用等体积法求解即可判断A；连接，取的中点为，连接，作出图形，设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，设外接球半径为，过作，交于，则，在中，设其外接圆半径为，利用正弦定理，结合三角形全等、球的表面积公式求解即可判断B；根据题意画出截面图，计算即可判断C；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可判断D.
12．的展开式中的系数为　 　.
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，得，则，即的展开式中的系数为.
故答案为：24.
【分析】先写出展开式的通项，令求解即可.
13．若函数是奇函数，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，
因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，
则方程根互为相反数，即，解得，
函数的定义域为，，
因为，
所以，即，解得.
此时，定义域为，且满足，则.
故答案为：.
【分析】根据对数函数有意义，可得，结合函数为奇函数，定义域关于原点对称，方程根互为相反数，求得a的值，再根据奇函数的定义求解b的值即可.
14．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为，若等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点，在抛物线C上，则　 　.（用含n的式子表示）
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；抛物线的简单性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，根据抛物线的定义可得，则，在抛物线C上，
等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，
设，则时，故，所以，
当时，，则，
若是的前n项和，则，故，显然时满足，
当，，整理得，
又，则，故是首项、公差都为2的等差数列，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据抛物线的定义求得，确定抛物线，在抛物线C上，设，当时，易得，进而有，是的前n项和，再由代入抛物线得，最后利用关系求通项公式即可.
15．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）解：，由余弦定理可得，
因为，所以，
由，得，根据正弦定理，可得；
（2）解：由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，结合正弦定理求解即可；
（2）由（1）知，利用基本不等式求解即可.
（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
16．已知函数.
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）解：若，则，
所以，所以，
又，所以函数的图象在点处的切线方程为；
（2）解：函数，，
若存在极值，则有变号零点，即有解，
因为，所以，所以，
因此有解，且，
当时，在上恒成立，所以函数是增函数，无极值；
当时，在上有解，记为，
令，则，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，即函数有极值，
故a的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的导函数，问题转化为有变号零点，即有解，分离参数，即有解，分和讨论，根据余弦函数给定区间上的值域可求得a的取值范围.
（1）若，则.
所以，所以.
又，所以函数的图象在点处的切线方程为.
（2）因为函数，
所以.
若存在极值，则有变号零点，即有解.
因为，所以，所以.
因此有解，且.
当时，在上恒成立，
所以函数是增函数，无极值；
当时，在上有解，记为.
令，则，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，即函数有极值.
故a的取值范围是.
17．如图，在四面体ABCD中，，点E，F分别是CD，AB的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求直线EF与平面BCD所成角的大小.
【答案】（1）证明：过作，，，
，四边形为平行四边形，连接、，
四边形为平行四边形，点E 是的中点，
，，为的中点，
，即，
又，，
，平面，
平面，又平面，，
又是的中点，为的中点，为的中位线，，；
（2）解：由(1)可知，，又因为平面平面，
所以为二面角的平面角，即，
在平面内过点作，从而、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
由，得，
所以点的横坐标为，点的纵坐标为，
即，从而，，，，
设平面的法向量为，则，取，
则，
又因为，所以直线与平面所成角的正弦值，，
即直线与平面所成角为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）过作，，，连接、，利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据平面，可得，最后根据中位线可得，证明即可；
（2）由(1)可知，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：如图过作，，.
，四边形为平行四边形，连接、，
四边形为平行四边形，点E 是的中点，
，，为的中点，
，即，
又，，
，平面，
平面，又平面，
，
又是的中点，为的中点，
为的中位线，
，，
（2）由(1)可知，，又平面平面，
为二面角的平面角，即，
如图，在平面内过点作，从而、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，
由，得，
所以点的横坐标为，点的纵坐标为，
即，从而，，，
设平面的法向量为，则
，取。
则，又，
所以直线与平面所成角的正弦值，，
即直线与平面所成角为.
18．已知斜率为的直线交椭圆（且）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点.
（1）若，求的取值范围；
（2）求的值；
（3）证明：无论怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.
【答案】（1）解：设，当时，线段的中点，
此时应满足在椭圆内，即，解得，
所以当时，的取值范围为；
（2）解：由为椭圆上两点，从而有，
两式作差得，
即，
由线段中点，得到，斜率，
所以，得到；
（3）解：由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，
则以直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，
设，则，，
从而的中点为，，
直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，，
由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有，
即，
化简得，
当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则，
此时圆的圆心坐标为为或.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，当时，线段的中点，由点在椭圆内，求得的范围；（2）由为椭圆上两点，利用作差法求解即可；
（3）由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，求得直线的方程，联立直线与 椭圆 方程，利用韦达定理，结合中点坐标公式和弦长公式求得点的坐标和，再联立直线和椭圆方程，求得，当，，，四点共圆时，有，转化成坐标求解即可.
（1）设，当时，线段的中点，
此时应满足在椭圆内，即，解得，
所以当时，的取值范围为.
（2）由为椭圆上两点，从而有，
两式作差得，
即，
由线段中点，得到，斜率，
所以，得到.
（3）由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，
设，则，，
从而的中点为，，
直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，，
由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有
即，
化简得，
当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则，
此时圆的圆心坐标为为或.
19．某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．
（1）当时，求的值；
（2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；
（3）证明：．
【答案】（1）解：由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）证明：记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
【知识点】概率分布列；数学归纳法的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用全概率公式，拆分1号店选派店长/普通员工两种互斥情况，分别计算条件概率，求和得到；
(2) 先确定随机变量的所有可能取值，结合轮岗传递规则、条件概率公式，计算每个取值对应的概率，列出分布列；
(3) 先推导的递推关系式，再用数学归纳法分别证明不等式左右两边。
（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
1 / 1浙江嘉兴市桐乡市2026届高三下学期教学测试数学试题
1．已知复数在复平面内对应的点为，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知平面向量满足，与的夹角为，则（　　）．
A．7 B．1 C． D．
3．数列满足，则（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
4．某款新能源汽车2025年的产量为5000辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到10000辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（　　）
（）
A．115% B．15% C．30% D．60%
5．若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（　　）
A． B．3 C．2 D．
6．已知正实数a，b满足，则为（　　）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，，二面角的大小为，若，则点到平面的距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知互不相等的实数，满足，记，则等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
9．下列命题中，正确的是（　　）
A．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
B．若回归方程为，则变量y与x成负相关
C．若随机变量X服从正态分布，则
D．样本相关系数，有时也称样本线性相关系数，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系
10．双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形的面积为
11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（　　）
A．点到平面的距离为定值
B．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
C．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
D．若与平面所成的角为，则
12．的展开式中的系数为　 　.
13．若函数是奇函数，则　 　.
14．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为，若等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点，在抛物线C上，则　 　.（用含n的式子表示）
15．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的最大值.
16．已知函数.
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若存在极值，求a的取值范围.
17．如图，在四面体ABCD中，，点E，F分别是CD，AB的中点.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求直线EF与平面BCD所成角的大小.
18．已知斜率为的直线交椭圆（且）于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于C，D两点，点是线段AB的中点.
（1）若，求的取值范围；
（2）求的值；
（3）证明：无论怎么变化，都存在A，B，C，D四点共圆，并求圆心的坐标.
19．某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．
（1）当时，求的值；
（2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得，，，则.
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面内的表示求得复数，再根据共轭复数的概念以及复数模长公式分别求和，即可求得的值.
2．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据向量运算律将展开，根据数量积公式可解.
3．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，
可得，，.
故答案为：B.
【分析】根据数列的递推公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设2025～2030年的年平均增长率为，
由题意可得，化简得，方程两边取对数得，
因为，所以，所以，解得，
则2025～2030年的年平均增长率大约为.
故答案为：B.
【分析】设2025～2030年的年平均增长率为，由题意列方程，根据指数、对数互化，结合对数的运算计算即可.
5．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
由得，是函数图象的一条对称轴，
则，，解得，；
当时，，
由函数在有唯一零点，得，解得，
所以当时，取得最大值．
故答案为：A.
【分析】先利用辅助角公式化简函数，由求得函数的对称轴，再利用指定区间上有唯一零点，结合函数的周期列式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，求导得，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增，
函数的最小值为，则，
设，求导得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
的最大值为，则，
又，因此仅当时等式成立，即 ，，
则.
故答案为：C.
【分析】构造函数，，分别求导，利用导数判断函数的单调性，分求出这两个函数值域，根据，求出的值，再求和即可.
7．【答案】B
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与圆的位置关系；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：在平面上，以中点为原点，以为轴，以垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，
因为，所以，
整理得，即点的轨迹为在平面上，以为圆心，为半径的圆，
点到直线的最大距离，
又因为二面角的大小为，所以点到平面的距离的最大值为.
故答案为：B.
【分析】以中点为原点，建立平面直角坐标系，设，根据，利用两点间距离公式列式求出在平面上点的轨迹方程，求得点到直线的距离的最大值，再根据二面角的大小为， 求点到平面的距离的最大值即可.
8．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：令，
因为，所以，
这说明的三个根恰好是，
因此，①
令，则，
因为，
在①中，令得到，
即，
整理得到，
即，
因此，
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
故答案为：D.
【分析】令，由，求得，即的三个根恰好是，再令，则，令，化简整理得到，利用赋值法求的值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将已知数据排序得12，14，15，17，19，23，27，30，
由，第六个数为23，即第70百分位数是23，故A正确；
由于，所以变量y与x成负相关，故B正确；
因为，所以，故C错误；
当越小时，相关性越弱，所以当时，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分数的定义求解即可判断A；根据回归方程判断变量的关系，即可判断B；根据正态分布曲线的特点求解即可判断C；根据相关系数的定义即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
A、由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；
B、在中，利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
C、因为，故，
由B可知，
故，
即，离心率，故C正确；
D、当时，由C可知，，
则，四边形为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，根据双曲线的对称性以及平行四边形的性质求解即可判断A；在中，利用余弦定理求得，为直角三角形，由A选项结论求得即可判断B；利用中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C；结合BC的的结论，求四边形的面积即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球内接多面体；用空间向量研究直线与平面所成的角；正弦定理；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】A、连接，如图所示：
因为，由平面，平面，所以平面，
又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为，
则.
又，所以，解得，故A正确；
B、连接，取的中点为，连接，如图所示：
设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，设外接球半径为，过作，交于，则，
在中，设其外接圆半径为，
由正弦定理知，所以，即，
依题易得≌，故，
弦所对的圆周角相等，故四点共圆，则，
则在中，，即①，
在中，，即②，
联立①②，解得，故外接球的表面积为，故B正确；
C、如图，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，
因为平面平面，且平面平面，
且平面平面，根据面面平行的性质定理知，
又因为为中点，所以为四等分点，则四边形的周长为：
，故C错误；
D、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
则，
设平面的法向量，则，
令，则，故，
则，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，又，
综上可知，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】连接，根据线面平行的判定定理证明平面，由点是棱上的动点（含端点），可得点到平面的距离为定值，设为，利用等体积法求解即可判断A；连接，取的中点为，连接，作出图形，设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，设外接球半径为，过作，交于，则，在中，设其外接圆半径为，利用正弦定理，结合三角形全等、球的表面积公式求解即可判断B；根据题意画出截面图，计算即可判断C；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，得，则，即的展开式中的系数为.
故答案为：24.
【分析】先写出展开式的通项，令求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，
因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，
则方程根互为相反数，即，解得，
函数的定义域为，，
因为，
所以，即，解得.
此时，定义域为，且满足，则.
故答案为：.
【分析】根据对数函数有意义，可得，结合函数为奇函数，定义域关于原点对称，方程根互为相反数，求得a的值，再根据奇函数的定义求解b的值即可.
14．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；抛物线的简单性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，根据抛物线的定义可得，则，在抛物线C上，
等边三角形的边在x轴的非负半轴上，与原点O重合，
设，则时，故，所以，
当时，，则，
若是的前n项和，则，故，显然时满足，
当，，整理得，
又，则，故是首项、公差都为2的等差数列，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据抛物线的定义求得，确定抛物线，在抛物线C上，设，当时，易得，进而有，是的前n项和，再由代入抛物线得，最后利用关系求通项公式即可.
15．【答案】（1）解：，由余弦定理可得，
因为，所以，
由，得，根据正弦定理，可得；
（2）解：由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，结合正弦定理求解即可；
（2）由（1）知，利用基本不等式求解即可.
（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
16．【答案】（1）解：若，则，
所以，所以，
又，所以函数的图象在点处的切线方程为；
（2）解：函数，，
若存在极值，则有变号零点，即有解，
因为，所以，所以，
因此有解，且，
当时，在上恒成立，所以函数是增函数，无极值；
当时，在上有解，记为，
令，则，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，即函数有极值，
故a的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的导函数，问题转化为有变号零点，即有解，分离参数，即有解，分和讨论，根据余弦函数给定区间上的值域可求得a的取值范围.
（1）若，则.
所以，所以.
又，所以函数的图象在点处的切线方程为.
（2）因为函数，
所以.
若存在极值，则有变号零点，即有解.
因为，所以，所以.
因此有解，且.
当时，在上恒成立，
所以函数是增函数，无极值；
当时，在上有解，记为.
令，则，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，即函数有极值.
故a的取值范围是.
17．【答案】（1）证明：过作，，，
，四边形为平行四边形，连接、，
四边形为平行四边形，点E 是的中点，
，，为的中点，
，即，
又，，
，平面，
平面，又平面，，
又是的中点，为的中点，为的中位线，，；
（2）解：由(1)可知，，又因为平面平面，
所以为二面角的平面角，即，
在平面内过点作，从而、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
由，得，
所以点的横坐标为，点的纵坐标为，
即，从而，，，，
设平面的法向量为，则，取，
则，
又因为，所以直线与平面所成角的正弦值，，
即直线与平面所成角为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）过作，，，连接、，利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据平面，可得，最后根据中位线可得，证明即可；
（2）由(1)可知，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：如图过作，，.
，四边形为平行四边形，连接、，
四边形为平行四边形，点E 是的中点，
，，为的中点，
，即，
又，，
，平面，
平面，又平面，
，
又是的中点，为的中点，
为的中位线，
，，
（2）由(1)可知，，又平面平面，
为二面角的平面角，即，
如图，在平面内过点作，从而、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，
由，得，
所以点的横坐标为，点的纵坐标为，
即，从而，，，
设平面的法向量为，则
，取。
则，又，
所以直线与平面所成角的正弦值，，
即直线与平面所成角为.
18．【答案】（1）解：设，当时，线段的中点，
此时应满足在椭圆内，即，解得，
所以当时，的取值范围为；
（2）解：由为椭圆上两点，从而有，
两式作差得，
即，
由线段中点，得到，斜率，
所以，得到；
（3）解：由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，
则以直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，
设，则，，
从而的中点为，，
直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，，
由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有，
即，
化简得，
当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则，
此时圆的圆心坐标为为或.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，当时，线段的中点，由点在椭圆内，求得的范围；（2）由为椭圆上两点，利用作差法求解即可；
（3）由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，求得直线的方程，联立直线与 椭圆 方程，利用韦达定理，结合中点坐标公式和弦长公式求得点的坐标和，再联立直线和椭圆方程，求得，当，，，四点共圆时，有，转化成坐标求解即可.
（1）设，当时，线段的中点，
此时应满足在椭圆内，即，解得，
所以当时，的取值范围为.
（2）由为椭圆上两点，从而有，
两式作差得，
即，
由线段中点，得到，斜率，
所以，得到.
（3）由(2)可知，，得到的垂直平分线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，
设，则，，
从而的中点为，，
直线的方程为，即，
联立，化简整理得，
，，
由垂直平分，所以当，，，四点共圆时，有
即，
化简得，
当，，，四点共圆与的值无关，则，解得，则，
此时圆的圆心坐标为为或.
19．【答案】（1）解：由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）证明：记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
【知识点】概率分布列；数学归纳法的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用全概率公式，拆分1号店选派店长/普通员工两种互斥情况，分别计算条件概率，求和得到；
(2) 先确定随机变量的所有可能取值，结合轮岗传递规则、条件概率公式，计算每个取值对应的概率，列出分布列；
(3) 先推导的递推关系式，再用数学归纳法分别证明不等式左右两边。
（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
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