资源简介

广东深圳市菁华中英文实验中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知单位向量满足，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（　　）．
A．24 B．36 C．60 D．120
6．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
8．设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（　　）．
A．数据，，…，的平均数是7
B．数据，，…，的方差是16
C．数据，，…，，，，…，的平均数为3
D．数据，，…，，，，…，的方差为4
10．在数列中，，，则（　　）
A． B．
C． D．
11．在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（　　）
A．曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线夹在直线和直线之间
C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍
D．曲线上任意两点距离都不超过
12．在的展开式中，最大的二项式系数为　 　.（用数字作答）
13．已知，则　 　．
14．已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是　 　．
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求B；
（2）求周长的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，分别是棱的中点．
（1）证明：面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
18．已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l的方程为，求 ；
（3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．
19．消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4
2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．
（1）从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
（2）从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望；
（3）2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念。先通过分母实数化化简求出复数，再根据共轭复数实部相等、虚部互为相反数的性质求出。
2．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
由，得，解得，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据对数函数的单调性得出集合，再利用已知条件和交集的运算法则、并集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，即，故，
所以，故向量与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】本题考查向量模长与夹角的关系，解题核心是利用模长平方展开式求出向量点积，再通过夹角公式计算夹角。
4．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，所以，
所以渐近线方程为，
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线的离心率与渐近线方程的关系，解题核心是利用离心率公式求出的值，进而得到渐近线方程。
5．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为组成的四位数大于7000，所以千位上的数字只能是7或8．
因为组成的四位数是奇数，所以个位上的数字只能是1，5或7．
若千位上的数字是7，则个位上的数字只能是1或5，
故符合题意的四位数有；
若千位数字是8，则个位上的数字是1，5成7，故符合题意的四位数有（个）．
综上，符合题意的四位数共有（个）．
故答案为：C．
【分析】本题是带限制条件的排列组合问题，解题核心是先按千位数字分类讨论，再分步安排个位、千位、中间两位数字。
6．【答案】C
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为球的半径，其内接圆锥的高为，
所以圆锥的底面圆半径为，
母线长为，
所以，该圆锥的侧面积为．
故答案为：C．
【分析】先利用已知条件和勾股定理，从而求出圆锥的底面半径长和母线长，再由圆锥的侧面积公式计算可得该圆锥的侧面积.
7．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：由辅助角公式，将其向右平移个单位长度，
得.
故答案为：A
【分析】本题考查三角函数的化简与图像平移，解题核心是先利用辅助角公式化简原函数，再结合平移规则和诱导公式求解。
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令且，
则，即为偶函数，
在上，，即在上单调递减，
所以，在上单调递增，且，
所以上，，则，
，，则，
由，又因为，
则解集为.
故答案为：B.
【分析】构造，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，则结合已知确定区间对应的函数值符号，从而求出的解集.
9．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：已知两组数据：第一组 ：平均数 ，方差
第二组 ：平均数 ，方差
A：数据 的平均数：，故A正确。
B：数据 的方差：，故B正确。
C：合并数据 的平均数：，并非3，故C错误。
D：由题可设，数据方差为 ，故D正确。
故答案为：ABD
【分析】A：利用线性变换下平均数的性质 ；
B：利用线性变换下方差的性质 ；
C：计算两组数据合并后的平均数；
D：利用分层数据方差的计算公式，分别计算两组数据对总方差的贡献再求和。
10．【答案】A,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列中，，
所以，即得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
，
，
两式作差得：，
所以，
所以，所以，故AD正确，BC错误；
故答案为：AD
【分析】本题考查递推数列的通项公式与错位相减法求和，解题核心是先通过构造等差数列求出通项，再用错位相减法求前n项和。
11．【答案】A,B
【知识点】圆方程的综合应用；曲线与方程
【解析】【解答】解：对于A，当，时，
则；
当，时，则；
当，时，则；
当，时，则，
画出图形如下：
则经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确；
对于B，对于曲线，
当，，有，则，
当，，有，则，
当，，有，则，
当，，有，则，
画出图形如下：
其中，，
则，所以，
则曲线由四个弓形组成，
弓形的弓高为，是夹在直线和直线之间，
又因为，，故B正确；
对于C，由选项A知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为，半圆半径为，
则其面积为，
同理可得，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为，半圆半径为，
其面积为，
因为所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，故C错误；
对于D，当，，有，则；
当，，有，则；
当，，有，则；
当，，有，则，
画出图形如下：
连接两圆心并延长，分别与两圆交于，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】分别就的正负进行分类讨论，从而画出表示的图形，进而找到整点个数，则判断出选项A；分别就的正负进行分类讨论，从而画出表示的图象，再利用数形结合，则判断出选项B；在选项A的基础上得出和表示的图形，再将图形分解为一个正方形和四个半圆，再根据正方形的面积公式和圆的面积公式，最后求和求出所围成的区域面积，则判断出选项C；分别就的正负进行分类讨论，从而画出的图形，再利用数形结合连接两圆心并延长，从而求出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：当时，最大的二项式系数为.
故答案为：.
【分析】本题考查二项式系数的性质，解题核心是利用二项式系数的对称性，当 n 为奇数时，最大二项式系数出现在中间两项。
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由得，解得，
所以.
故答案为：
【分析】本题考查三角函数的化简与两角和的正切公式，解题核心是先求出，再代入两角和公式计算。
14．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，
则由，可得，所以①．
又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②，
由方程组①②可得，化简得，
解得，因为，
所以，即，解得．
所以该椭圆的离心率的取值范围是．
故答案为：
【分析】本题是椭圆离心率的范围问题，解题核心是利用向量关系得到坐标关系，再结合椭圆方程和点的位置限制构建关于离心率的不等式。
15．【答案】（1）解：在中，，
则，解得，
因为，所以.
（2）解：在中，由余弦定理，得：，
当且仅当时取“=”，
则，因此，当时，，
因为，所以，，
则周长的取值范围是.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和诱导公式、三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和余弦定理、基本不等式可得出周长的取值范围.
（1）在中，，即，解得，而，
所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
当且仅当时取“=”，即有，
因此，当时，，而，即，，
所以周长的取值范围是.
16．【答案】（1）证明：因为，所以，
因为是等边三角形，所以，又因为，，
所以，所以，同理可得，
建立以为原点，为轴正方向如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
显然为平面的一个法向量，因为且平面，所以面.
（2）解：设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 建立空间直角坐标系，证明向量与平面的法向量垂直，且不在平面内，从而证得平面；
(2) 求出平面的法向量，再计算与该法向量夹角的余弦值，即为线面角的正弦值。
（1）因为，所以，因为是等边三角形，所以，又因为，，
所以，所以，同理可得，
建立以为原点，为轴正方向如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
显然为平面的一个法向量，因为且平面，所以面.
（2）设平面的一个法向量为，则，取，则，
设直线与平面所成的角为，则.
17．【答案】（1）解：因为时，恒成立，即恒成立，即，
设，则函数在上单调递减，
所以函数的最大值，，得；
（2）解：关于x的不等式，整理得，即，
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
当时，即，解得或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1) 通过参变分离，将不等式 转化为 ，再利用函数单调性求右侧函数的最大值，进而确定 的取值范围；
(2) 先整理不等式为标准二次不等式形式，因式分解后，根据两根的大小关系分情况讨论解集。
（1）因为时，恒成立，即恒成立，即，
设，则函数在上单调递减，
所以函数的最大值，，得；
（2）关于x的不等式，整理得，即，
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
当时，即，解得或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：抛物线的焦点为，
则点F到直线（即）的距离为
因，解得，
故抛物线C的标准方程为；
（2）解：设，由消去y得，
解得，
则.
（3）证明：设直线l的方程为，点，
由消去y得，由，
则，
依题意，得，因，则得，
因此直线l的方程为，因此直线l过定点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 先写出抛物线焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求出 ，得到抛物线方程；
(2) 联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算 ；
(3) 设直线方程，联立抛物线方程，结合 的条件，求出直线方程的常数项，证明其过定点。
（1）抛物线的焦点为，
则点F到直线（即）的距离为
因，解得，
故抛物线C的标准方程为；
（2）设，由消去y得，
解得，
则.
（3）设直线l的方程为，点，
由消去y得，由，
则，
依题意，得，因，则得，
因此直线l的方程为，因此直线l过定点．
19．【答案】（1）解：由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有：
2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个.
上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为.
（2）解：由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；
2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间.
设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；
从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；
则的可能取值为0，1，2.
，
的分布列为：
0 1 2
数学期望
（3）解：2025年各季度的增长率分别为：
，，
，.
，即
2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783；
2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 统计12个季度中处于强信心区间（指数≥100）的季度数，用频率估计概率；
(2) 先分别求出2024年和2025年随机抽取1个季度处于强信心区间的概率，再计算X（强信心区间的个数）的分布列与期望；
(3) 先计算2025年各季度的增长率，取最大值，再估计2026年第一季度的消费者信心指数。
（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有：
2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个.
上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为.
（2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间.
设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；
则的可能取值为0，1，2.
，
的分布列为：
0 1 2
数学期望
（3）2025年各季度的增长率分别为：
，，
，.
，即
2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783；
2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：.
1 / 1广东深圳市菁华中英文实验中学2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念。先通过分母实数化化简求出复数，再根据共轭复数实部相等、虚部互为相反数的性质求出。
2．已知集合，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
由，得，解得，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据对数函数的单调性得出集合，再利用已知条件和交集的运算法则、并集的运算法则，从而得出集合.
3．已知单位向量满足，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，即，故，
所以，故向量与的夹角为.
故答案为：B.
【分析】本题考查向量模长与夹角的关系，解题核心是利用模长平方展开式求出向量点积，再通过夹角公式计算夹角。
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，所以，
所以渐近线方程为，
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线的离心率与渐近线方程的关系，解题核心是利用离心率公式求出的值，进而得到渐近线方程。
5．从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（　　）．
A．24 B．36 C．60 D．120
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为组成的四位数大于7000，所以千位上的数字只能是7或8．
因为组成的四位数是奇数，所以个位上的数字只能是1，5或7．
若千位上的数字是7，则个位上的数字只能是1或5，
故符合题意的四位数有；
若千位数字是8，则个位上的数字是1，5成7，故符合题意的四位数有（个）．
综上，符合题意的四位数共有（个）．
故答案为：C．
【分析】本题是带限制条件的排列组合问题，解题核心是先按千位数字分类讨论，再分步安排个位、千位、中间两位数字。
6．已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球内接多面体；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为球的半径，其内接圆锥的高为，
所以圆锥的底面圆半径为，
母线长为，
所以，该圆锥的侧面积为．
故答案为：C．
【分析】先利用已知条件和勾股定理，从而求出圆锥的底面半径长和母线长，再由圆锥的侧面积公式计算可得该圆锥的侧面积.
7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：由辅助角公式，将其向右平移个单位长度，
得.
故答案为：A
【分析】本题考查三角函数的化简与图像平移，解题核心是先利用辅助角公式化简原函数，再结合平移规则和诱导公式求解。
8．设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令且，
则，即为偶函数，
在上，，即在上单调递减，
所以，在上单调递增，且，
所以上，，则，
，，则，
由，又因为，
则解集为.
故答案为：B.
【分析】构造，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，则结合已知确定区间对应的函数值符号，从而求出的解集.
9．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（　　）．
A．数据，，…，的平均数是7
B．数据，，…，的方差是16
C．数据，，…，，，，…，的平均数为3
D．数据，，…，，，，…，的方差为4
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：已知两组数据：第一组 ：平均数 ，方差
第二组 ：平均数 ，方差
A：数据 的平均数：，故A正确。
B：数据 的方差：，故B正确。
C：合并数据 的平均数：，并非3，故C错误。
D：由题可设，数据方差为 ，故D正确。
故答案为：ABD
【分析】A：利用线性变换下平均数的性质 ；
B：利用线性变换下方差的性质 ；
C：计算两组数据合并后的平均数；
D：利用分层数据方差的计算公式，分别计算两组数据对总方差的贡献再求和。
10．在数列中，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列中，，
所以，即得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
，
，
两式作差得：，
所以，
所以，所以，故AD正确，BC错误；
故答案为：AD
【分析】本题考查递推数列的通项公式与错位相减法求和，解题核心是先通过构造等差数列求出通项，再用错位相减法求前n项和。
11．在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（　　）
A．曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线夹在直线和直线之间
C．曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍
D．曲线上任意两点距离都不超过
【答案】A,B
【知识点】圆方程的综合应用；曲线与方程
【解析】【解答】解：对于A，当，时，
则；
当，时，则；
当，时，则；
当，时，则，
画出图形如下：
则经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确；
对于B，对于曲线，
当，，有，则，
当，，有，则，
当，，有，则，
当，，有，则，
画出图形如下：
其中，，
则，所以，
则曲线由四个弓形组成，
弓形的弓高为，是夹在直线和直线之间，
又因为，，故B正确；
对于C，由选项A知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为，半圆半径为，
则其面积为，
同理可得，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为，半圆半径为，
其面积为，
因为所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，故C错误；
对于D，当，，有，则；
当，，有，则；
当，，有，则；
当，，有，则，
画出图形如下：
连接两圆心并延长，分别与两圆交于，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】分别就的正负进行分类讨论，从而画出表示的图形，进而找到整点个数，则判断出选项A；分别就的正负进行分类讨论，从而画出表示的图象，再利用数形结合，则判断出选项B；在选项A的基础上得出和表示的图形，再将图形分解为一个正方形和四个半圆，再根据正方形的面积公式和圆的面积公式，最后求和求出所围成的区域面积，则判断出选项C；分别就的正负进行分类讨论，从而画出的图形，再利用数形结合连接两圆心并延长，从而求出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．在的展开式中，最大的二项式系数为　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：当时，最大的二项式系数为.
故答案为：.
【分析】本题考查二项式系数的性质，解题核心是利用二项式系数的对称性，当 n 为奇数时，最大二项式系数出现在中间两项。
13．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由得，解得，
所以.
故答案为：
【分析】本题考查三角函数的化简与两角和的正切公式，解题核心是先求出，再代入两角和公式计算。
14．已知椭圆，点分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，
则由，可得，所以①．
又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②，
由方程组①②可得，化简得，
解得，因为，
所以，即，解得．
所以该椭圆的离心率的取值范围是．
故答案为：
【分析】本题是椭圆离心率的范围问题，解题核心是利用向量关系得到坐标关系，再结合椭圆方程和点的位置限制构建关于离心率的不等式。
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求B；
（2）求周长的取值范围.
【答案】（1）解：在中，，
则，解得，
因为，所以.
（2）解：在中，由余弦定理，得：，
当且仅当时取“=”，
则，因此，当时，，
因为，所以，，
则周长的取值范围是.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和诱导公式、三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和余弦定理、基本不等式可得出周长的取值范围.
（1）在中，，即，解得，而，
所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
当且仅当时取“=”，即有，
因此，当时，，而，即，，
所以周长的取值范围是.
16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，分别是棱的中点．
（1）证明：面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为，所以，
因为是等边三角形，所以，又因为，，
所以，所以，同理可得，
建立以为原点，为轴正方向如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
显然为平面的一个法向量，因为且平面，所以面.
（2）解：设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 建立空间直角坐标系，证明向量与平面的法向量垂直，且不在平面内，从而证得平面；
(2) 求出平面的法向量，再计算与该法向量夹角的余弦值，即为线面角的正弦值。
（1）因为，所以，因为是等边三角形，所以，又因为，，
所以，所以，同理可得，
建立以为原点，为轴正方向如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
显然为平面的一个法向量，因为且平面，所以面.
（2）设平面的一个法向量为，则，取，则，
设直线与平面所成的角为，则.
17．已知函数
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）解：因为时，恒成立，即恒成立，即，
设，则函数在上单调递减，
所以函数的最大值，，得；
（2）解：关于x的不等式，整理得，即，
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
当时，即，解得或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1) 通过参变分离，将不等式 转化为 ，再利用函数单调性求右侧函数的最大值，进而确定 的取值范围；
(2) 先整理不等式为标准二次不等式形式，因式分解后，根据两根的大小关系分情况讨论解集。
（1）因为时，恒成立，即恒成立，即，
设，则函数在上单调递减，
所以函数的最大值，，得；
（2）关于x的不等式，整理得，即，
当时，即，解得或；
当时，即，解得；
当时，即，解得或；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18．已知抛物线的焦点F到直线的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l的方程为，求 ；
（3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．
【答案】（1）解：抛物线的焦点为，
则点F到直线（即）的距离为
因，解得，
故抛物线C的标准方程为；
（2）解：设，由消去y得，
解得，
则.
（3）证明：设直线l的方程为，点，
由消去y得，由，
则，
依题意，得，因，则得，
因此直线l的方程为，因此直线l过定点．
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 先写出抛物线焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求出 ，得到抛物线方程；
(2) 联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算 ；
(3) 设直线方程，联立抛物线方程，结合 的条件，求出直线方程的常数项，证明其过定点。
（1）抛物线的焦点为，
则点F到直线（即）的距离为
因，解得，
故抛物线C的标准方程为；
（2）设，由消去y得，
解得，
则.
（3）设直线l的方程为，点，
由消去y得，由，
则，
依题意，得，因，则得，
因此直线l的方程为，因此直线l过定点．
19．消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4
2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．
（1）从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
（2）从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望；
（3）2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
【答案】（1）解：由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有：
2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个.
上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为.
（2）解：由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；
2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间.
设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；
从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；
则的可能取值为0，1，2.
，
的分布列为：
0 1 2
数学期望
（3）解：2025年各季度的增长率分别为：
，，
，.
，即
2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783；
2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 统计12个季度中处于强信心区间（指数≥100）的季度数，用频率估计概率；
(2) 先分别求出2024年和2025年随机抽取1个季度处于强信心区间的概率，再计算X（强信心区间的个数）的分布列与期望；
(3) 先计算2025年各季度的增长率，取最大值，再估计2026年第一季度的消费者信心指数。
（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有：
2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个.
上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为.
（2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间.
设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；
则的可能取值为0，1，2.
，
的分布列为：
0 1 2
数学期望
（3）2025年各季度的增长率分别为：
，，
，.
，即
2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783；
2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：.
1 / 1

展开更多......

收起↑