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广东省中山市华侨中学等校2026届高三模拟测试(一)数学试题
1．复数的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用复数除法运算法则，从而得出复数z，再利用共轭复数的定义，从而得出复数z的共轭复数.
2．某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为，
则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有，
所以，
解得，
则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10.
故答案为：B.
【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意结合韦恩图分析，从而列方程求解得出同时喜欢篮球和乒乓球的人数.
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，则或异面，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则存在，且，因为，所以，
又因为，所以，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和线线平行的判断方法、线面平行判定定理、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出真命题的选项.
4．关于实数，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：；乙：；丙：．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则的取值范围可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：若甲正确，乙和丙错误，则且且，不存在这样的实数满足条件，舍去；
若乙正确，甲和丙错误，则且且，可得，即的范围为；
若丙正确，甲和乙错误，因为丙：，则甲：一定正确，不符合题意，舍去.
综上可得：实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】由题意得，条件可分一下三种情况讨论，甲正确，乙和丙错误；乙正确，甲和丙错误；丙正确，甲和乙错误.根据交集的特点可得第二种情况时，，得解.
5．把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（　　）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称
【答案】D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由题意知，，
因为指数函数与对数函数（且）互为反函数，图象关于直线对称，
所以的图像与函数的图像关于直线对称.
故答案为：D.
【分析】利用函数图象的对称性得出函数解析式，再根据指数函数和对数函数互为反函数，从而得到其图象关于直线对称.
6．方程表示的圆锥曲线的离心率（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
化简得，是焦点在轴上的椭圆，
则，，
所以，椭圆的离心率为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件化简以及椭圆的定义，从而得出a，c的值，结合椭圆的离心率公式可得.
7．若，是第三象限角，且，，则（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为若是第三象限角，所以，
解得，，
因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
解得，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出的值，再利用两角和的正弦公式，从而得出的值.
8．已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：延长至，使得，连接，点为所在平面内的点，连接，
则，令，则点在直线上，
由的最小值为，得，
当且仅当时取得最小值，则，
又是锐角，则，而，即为正三角形，
于是，，令，则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C
【分析】由题意将条件用基底表示出来，得且仅当时取得最小值，故为正三角形，得，设，将向量，用数量积公式展开，转化一元二次函数问题，即可求出最小值.
9．数列是等比数列，公比，其前项和为，则（　　）
A．当时，为递增数列
B．若，，则
C．若，，成等差数列，则，，成等差数列
D．若，，成等差数列，则，，成等差数列
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差关系的确定；等比关系的确定
【解析】【解答】解：对于A，当时，时，则为递减数列，故A错误；
对于B，若，，，，成等比数列，
则，故B正确；
对于C，若，，成等差数列，则，
所以，
则，所以，
则，所以，，成等差数列，故C正确；
对于D，因为，，成等差数列，
所以，则，
所以，则，
所以，
则，
所以，，成等差数列，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合数列的单调性，则判断出选项A；利用等比数列前n项和公式和等比数列的定义，则判断出选项B；利用等比数列前n项和公式和等差中项公式，则判断出选项C；利用等差中项公式和等比数列的通项公式、前n项和公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．已知定义在上的奇函数和偶函数满足， ，则（　　）
A．是奇函数 B．是增函数
C．的值域为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，由，因为为奇函数，为偶函数，
可得，联立方程组，解得，
所以，可得，
所以函数为奇函数，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以函数不可能为单调增函数，故B错误；
对于C，由函数，
因为，所以，故C正确；
对于D，由，可得，，
则
，
且
，
所以，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意结合奇函数定义和偶函数的定义，从而得到，再联立方程组得出两函数的解析式，从而得出函数解析式，再利用奇函数定义和偶函数定义，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出选项B；利用函数求值域的方法判断出选项C；利用函数解析式和代入法，从而证出，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值为，，，其中是这组数的中位数，和分别可看作这组数被分成的前后两组数的中位数．利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，最小值和三个四分位数，，；然后连接和画出“箱子”，中位数在“箱子”中间；再将最大值和最小值与箱子相连接（如图①）．某老师绘制了一次数学小测验中甲，乙，丙三个班级学生得分的箱形图（如图②），根据该图判断下列说法正确的是（　　）
A．三个班级中，甲班分数的方差最小
B．三个班级中，乙班分数的极差最大
C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数
D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高
【答案】A,B,D
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由图可知，三个班中甲班得分的极差最小，乙班得分的极差最大，
所以，甲班得分的分布更集中，对应方差最小，故选项A、选项B都正确；
因为丙班得分的中位数位于分上方，
所以，该班低于分的学生人数少于高于分的学生人数，故选项C错；
由题意和分位数的定义，三个班级的第名(分数从高到低的第11名)的得分大概对应位置的分数，结合箱形图知丙班的分数最高，故选项D对.
故答案为：ABD.
【分析】根据方差定义、极差定义和箱形图的定义，再利用比较法判断出选项A和选项B；利用对应分位数的位置判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则　 　.
【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意，，，
则，所以，
所以，
由抛物线的定义知，.
故答案为：5.
【分析】由的面积公式和已知条件，从而可得点的横坐标，再由抛物线定义得出的值.
13．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
则或，
又因为，所以，
则，所以，
则的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合余弦函数的性质得到的范围，再结合x的范围可得的范围.
14．空间中有四个半径为2的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则该小球的半径为　 　．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可知：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，
设正四面体为，设四面体的外接球球心为，半径为，
设的延长线与底面的交点为，
则为正四面体的高，底面，且，棱长为4，
所以，
则，
在中，，，
所以，则，
解得，所以，与4个球都外切的小球的球心也在处，
则小球的半径.
故答案为：.
【分析】把4个球的球心，构造出一个正四面体，根据勾股定理得出和作差法，从而得出外接球半径，再利用正四面体的外接球半径减去一个球的半径，从而得出小球的半径.
15．我校社团活动期间某同学进行射击游戏，第一次射击命中率是，该同学连续射击三次，当前一次命中时，下一次也命中的概率是；当前一次未命中时，下一次命中的概率是．
（1）求该同学第二次命中的概率；
（2）设随机变量为三次射击中命中的次数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：记事件，
则，，，
由全概率公式，
可得
.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
则.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）记事件，利用已知条件和条件概率公式以及全概率公式，从而得出的值.
（2）利用已知条件得出随机变量的可能取值， 计算出随机变量在不同取值下的概率 ，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的值.
（1）记事件，则，，，
由全概率公式可得
.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
16．如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求；
（2）求平面四边形面积的取值范围．
【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以，，
由，得，，
则，，
在中，由正弦定理，得，
所以.
（2）解：由（1）知，
设，
在中，由正弦定理，得，
则，
因为，
所以，四边形的面积为：
，由，得，
因此，
则，
所以，四边形面积的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角形内角和定义以及三角函数的定义，从而得出AB的长和BC的长，再利用线线平行和勾股定理得出AD的长，再根据正弦定理得出的值.
（2）利用（1）和正弦定理以及三角形面积公式，从而列式结合两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式求和得出四边形的面积，再利用的取值范围和正弦型函数的性质求解.
（1）由，得，而，则，
，由，得，，
则，，在中，由正弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，设，
在中，由正弦定理得，
则，又，
因此四边形的面积
，由，得，
因此，即，
所以四边形面积的取值范围是.
17．如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，．
（1）求的长；
（2）若，
①求平面与平面夹角的余弦值；
②空间中一动点满足，求的最小值．
【答案】（1）解：如图：在等腰梯形中，过点作于，过点作于
，
因为，，
所以，则，
连接，
在三角形中，由余弦定理，得：，
所以，
因为，，所以，
则，
又因为，，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以.
（2）解：①在三角形中，由余弦定理，得：，
所以，
因为平面，
则以为坐标原点，分别以，向量的方向为轴的正方向，
过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，，
则，所以，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，，
所以，则，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
②因为点满足，
则设点在的垂直平分面上，
所以为平面的法向量，
则的最小值为点到平面的距离，
所以，的中点为，，
则点到平面的距离为，
所以的最小值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，由勾股定理求解即可 .
（2）①利用余弦定理和线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
②利用点满足，则设点在的垂直平分面上，从而得出的最小值为点到平面的距离，再利用中点的性质，则根据数量积求出点到平面的距离，从而得出的最小值.
（1）如图：
，
在等腰梯形中，过点作于，过点作于，
因为，，则，所以，
连接，
在三角形中，由余弦定理得：，
所以，又，，所以，
所以，又，，且平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，所以.
（2）①在三角形中，由余弦定理得：，
所以，由于平面，
所以以为坐标原点，分别以，向量的方向为轴的正方向，
过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，
，所以，令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
，，
，所以，令，则，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
②因为点满足，所以设点在的垂直平分面上，
则为平面的法向量，
则的最小值为点到平面的距离，
的中点为，，
所以点到平面的距离为，
所以的最小值为.
18．已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合．
（1）若，求；
（2）若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”．
（3）若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
若，
则，
所以，
则.
（2）证明：充分性：因为，，
所以，则，
因为，所以是周期函数；
必要性：若是周期函数，设是的周期，
则，
所以，对于任意
则
所以，存在，使.
（3）解：因为，，
所以，，
则在上单调递增，
所以，
若，则，
所以，不满足；则，
设，
因为，
当单调递减；当单调递增，
所以，则，
设，则，
当单调递增；
当单调递减；
又因为，所以，
则.
【知识点】充要条件；函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和函数新定义结合一元二次不等式求解方法，从而得出.
（2）利用函数新定义结合周期函数的定义以及充要条件的判断方法，从而证出“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”．
（3）根据，结合单调函数的定义，从而判断出函数单调递增，再分和分类讨论结合函数的单调性求值域的方法得出实数a的取值范围.
（1），
若，则，
所以，
所以
（2）充分性：因为，，
所以，所以，因为，所以是周期函数；
必要性：若是周期函数，设是的周期，则，
所以，，
所以存在，使.
（3）因为，，所以，，
所以在上单调递增，所以，
若，则，则不满足；
所以，设，
因为，
当单调递减；当单调递增；
所以，即，
设，则，
当单调递增；当单调递减；
又，所以；
所以.
19．已知椭圆的离心率为，右焦点关于直线的对称点在圆上，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，
①证明：直线过定点，并求定点坐标；
②是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点关于直线的对称点为，
因为原点在直线上，由图形的对称性，知，
因为原点为圆的圆心，且点在圆上，
所以，则，
又因为椭圆的离心率为，
可得，
则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）①证明：设点、，
先证明椭圆在点处的切线方程为.
证明如下：
联立，可得（*），
因为点在椭圆上，所以，，则，
所以，方程（*）可化为，
则，
又因为，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
则直线的方程为，
同理可知，直线的方程为，
设点，则，
所以，点、的坐标均满足方程，
则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，
则直线过定点.
②解：将点的坐标代入椭圆方程，得，
又因为，可得，则点，
设直线、的倾斜角分别为、，再设直线的倾斜角为，
因为，
所以或，
则，且，
易知直线、直线的斜率都存在，
设直线、的斜率分别为、，
所以，
则，
不妨设直线的方程为，
因为椭圆的方程为，
所以，
则，
所以
整理可得（*），
等式两边同时除以，令，
则方程（*）可化为，
所以、是关于的方程的两根，
则，
所以，
化简得①，
又因为直线过焦点，所以，
则②，
联立①②，可得，
所以直线的方程为，
则直线的斜率为，
解得，
则存在点，使得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和图形的对称性得出的值，再结合椭圆的离心率公式得出的值，根据椭圆中a，b，c三者的关系式得出的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）①设点、，先证明椭圆在点处的切线方程为，从而得出直线的方程，令，将点的坐标代入两条切线的方程，从而得出直线的方程，再利用直线的点斜式方程得出直线所过定点的坐标.
②利用代入法和n的取值范围，从而求出点的坐标，设直线、的倾斜角分别为、，再设直线的倾斜角为，再利用已知条件可得，再根据两角和的正切公式和二倍角的正切公式，从而求出的值，设直线的方程为，再结合齐次化法得出关于、的方程，再将点的坐标代入直线的方程，可得出关于、的一个方程，从而求出、的值，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率，从而得出的值，进而得出存在点，使得.
（1）设点关于直线的对称点为，
因为原点在直线上，由对称性知，
因为原点为圆的圆心，且点在圆上，所以，即，
又因为椭圆的离心率为，可得，故，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①设点、，先证明椭圆在点处的切线方程为.
证明如下：
联立可得（*），
因为点在椭圆上，则，所以，
所以方程（*）可化为，即，
，
所以椭圆在点处的切线方程为，即直线的方程为，
同理可知直线的方程为，
设点，则，
所以点、的坐标均满足方程，故直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，故直线过定点；
②将点的坐标代入椭圆方程得，
又因为，可得，故点，
设直线、的倾斜角分别为、，设直线的倾斜角为，
因为，则或，所以，
且有，
易知直线、的斜率都存在，设直线、的斜率分别为、，
所以，
即，
不妨设直线的方程为，
椭圆的方程为，即，
即，
即，
整理可得（*），
等式两边同时除以，并令，
则方程（*）可化为，
所以、是关于的方程的两根，
所以，，
所以，
化简得①，
又因为直线过焦点，所以，即②，
联立①②可得，
所以直线的方程为，
所以直线的斜率为，解得，
故存在点，使得.
1 / 1广东省中山市华侨中学等校2026届高三模拟测试(一)数学试题
1．复数的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
2．某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．关于实数，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：；乙：；丙：．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则的取值范围可以为（　　）
A． B． C． D．
5．把函数的图象关于y轴对称后得到的图象，则的图象与函数的图象关于（　　）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称
6．方程表示的圆锥曲线的离心率（　　）
A． B． C． D．5
7．若，是第三象限角，且，，则（　　）
A． B．0 C． D．1
8．已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．
9．数列是等比数列，公比，其前项和为，则（　　）
A．当时，为递增数列
B．若，，则
C．若，，成等差数列，则，，成等差数列
D．若，，成等差数列，则，，成等差数列
10．已知定义在上的奇函数和偶函数满足， ，则（　　）
A．是奇函数 B．是增函数
C．的值域为 D．
11．在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值为，，，其中是这组数的中位数，和分别可看作这组数被分成的前后两组数的中位数．利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，最小值和三个四分位数，，；然后连接和画出“箱子”，中位数在“箱子”中间；再将最大值和最小值与箱子相连接（如图①）．某老师绘制了一次数学小测验中甲，乙，丙三个班级学生得分的箱形图（如图②），根据该图判断下列说法正确的是（　　）
A．三个班级中，甲班分数的方差最小
B．三个班级中，乙班分数的极差最大
C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数
D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高
12．已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则　 　.
13．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为　 　．
14．空间中有四个半径为2的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则该小球的半径为　 　．
15．我校社团活动期间某同学进行射击游戏，第一次射击命中率是，该同学连续射击三次，当前一次命中时，下一次也命中的概率是；当前一次未命中时，下一次命中的概率是．
（1）求该同学第二次命中的概率；
（2）设随机变量为三次射击中命中的次数，求的分布列及数学期望．
16．如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求；
（2）求平面四边形面积的取值范围．
17．如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，．
（1）求的长；
（2）若，
①求平面与平面夹角的余弦值；
②空间中一动点满足，求的最小值．
18．已知函数的定义域为D，对于给定实数t，定义集合．
（1）若，求；
（2）若，求证：“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”．
（3）若，，且对于任意的，都有，求实数a的取值范围．
19．已知椭圆的离心率为，右焦点关于直线的对称点在圆上，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，
①证明：直线过定点，并求定点坐标；
②是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用复数除法运算法则，从而得出复数z，再利用共轭复数的定义，从而得出复数z的共轭复数.
2．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为，
则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有，
所以，
解得，
则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10.
故答案为：B.
【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意结合韦恩图分析，从而列方程求解得出同时喜欢篮球和乒乓球的人数.
3．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，则或异面，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，若，则存在，且，因为，所以，
又因为，所以，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和线线平行的判断方法、线面平行判定定理、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出真命题的选项.
4．【答案】B
【知识点】并集及其运算；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：若甲正确，乙和丙错误，则且且，不存在这样的实数满足条件，舍去；
若乙正确，甲和丙错误，则且且，可得，即的范围为；
若丙正确，甲和乙错误，因为丙：，则甲：一定正确，不符合题意，舍去.
综上可得：实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】由题意得，条件可分一下三种情况讨论，甲正确，乙和丙错误；乙正确，甲和丙错误；丙正确，甲和乙错误.根据交集的特点可得第二种情况时，，得解.
5．【答案】D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由题意知，，
因为指数函数与对数函数（且）互为反函数，图象关于直线对称，
所以的图像与函数的图像关于直线对称.
故答案为：D.
【分析】利用函数图象的对称性得出函数解析式，再根据指数函数和对数函数互为反函数，从而得到其图象关于直线对称.
6．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
化简得，是焦点在轴上的椭圆，
则，，
所以，椭圆的离心率为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件化简以及椭圆的定义，从而得出a，c的值，结合椭圆的离心率公式可得.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为若是第三象限角，所以，
解得，，
因为，所以，
又因为是第三象限角，所以，
解得，，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出的值，再利用两角和的正弦公式，从而得出的值.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：延长至，使得，连接，点为所在平面内的点，连接，
则，令，则点在直线上，
由的最小值为，得，
当且仅当时取得最小值，则，
又是锐角，则，而，即为正三角形，
于是，，令，则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：C
【分析】由题意将条件用基底表示出来，得且仅当时取得最小值，故为正三角形，得，设，将向量，用数量积公式展开，转化一元二次函数问题，即可求出最小值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差关系的确定；等比关系的确定
【解析】【解答】解：对于A，当时，时，则为递减数列，故A错误；
对于B，若，，，，成等比数列，
则，故B正确；
对于C，若，，成等差数列，则，
所以，
则，所以，
则，所以，，成等差数列，故C正确；
对于D，因为，，成等差数列，
所以，则，
所以，则，
所以，
则，
所以，，成等差数列，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合数列的单调性，则判断出选项A；利用等比数列前n项和公式和等比数列的定义，则判断出选项B；利用等比数列前n项和公式和等差中项公式，则判断出选项C；利用等差中项公式和等比数列的通项公式、前n项和公式，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A，由，因为为奇函数，为偶函数，
可得，联立方程组，解得，
所以，可得，
所以函数为奇函数，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以函数不可能为单调增函数，故B错误；
对于C，由函数，
因为，所以，故C正确；
对于D，由，可得，，
则
，
且
，
所以，
故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意结合奇函数定义和偶函数的定义，从而得到，再联立方程组得出两函数的解析式，从而得出函数解析式，再利用奇函数定义和偶函数定义，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出选项B；利用函数求值域的方法判断出选项C；利用函数解析式和代入法，从而证出，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由图可知，三个班中甲班得分的极差最小，乙班得分的极差最大，
所以，甲班得分的分布更集中，对应方差最小，故选项A、选项B都正确；
因为丙班得分的中位数位于分上方，
所以，该班低于分的学生人数少于高于分的学生人数，故选项C错；
由题意和分位数的定义，三个班级的第名(分数从高到低的第11名)的得分大概对应位置的分数，结合箱形图知丙班的分数最高，故选项D对.
故答案为：ABD.
【分析】根据方差定义、极差定义和箱形图的定义，再利用比较法判断出选项A和选项B；利用对应分位数的位置判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】5
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意，，，
则，所以，
所以，
由抛物线的定义知，.
故答案为：5.
【分析】由的面积公式和已知条件，从而可得点的横坐标，再由抛物线定义得出的值.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
则或，
又因为，所以，
则，所以，
则的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合余弦函数的性质得到的范围，再结合x的范围可得的范围.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题意可知：连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体，
设正四面体为，设四面体的外接球球心为，半径为，
设的延长线与底面的交点为，
则为正四面体的高，底面，且，棱长为4，
所以，
则，
在中，，，
所以，则，
解得，所以，与4个球都外切的小球的球心也在处，
则小球的半径.
故答案为：.
【分析】把4个球的球心，构造出一个正四面体，根据勾股定理得出和作差法，从而得出外接球半径，再利用正四面体的外接球半径减去一个球的半径，从而得出小球的半径.
15．【答案】（1）解：记事件，
则，，，
由全概率公式，
可得
.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
则.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）记事件，利用已知条件和条件概率公式以及全概率公式，从而得出的值.
（2）利用已知条件得出随机变量的可能取值， 计算出随机变量在不同取值下的概率 ，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的值.
（1）记事件，则，，，
由全概率公式可得
.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
16．【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以，，
由，得，，
则，，
在中，由正弦定理，得，
所以.
（2）解：由（1）知，
设，
在中，由正弦定理，得，
则，
因为，
所以，四边形的面积为：
，由，得，
因此，
则，
所以，四边形面积的取值范围是.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角形内角和定义以及三角函数的定义，从而得出AB的长和BC的长，再利用线线平行和勾股定理得出AD的长，再根据正弦定理得出的值.
（2）利用（1）和正弦定理以及三角形面积公式，从而列式结合两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式求和得出四边形的面积，再利用的取值范围和正弦型函数的性质求解.
（1）由，得，而，则，
，由，得，，
则，，在中，由正弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，设，
在中，由正弦定理得，
则，又，
因此四边形的面积
，由，得，
因此，即，
所以四边形面积的取值范围是.
17．【答案】（1）解：如图：在等腰梯形中，过点作于，过点作于
，
因为，，
所以，则，
连接，
在三角形中，由余弦定理，得：，
所以，
因为，，所以，
则，
又因为，，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以.
（2）解：①在三角形中，由余弦定理，得：，
所以，
因为平面，
则以为坐标原点，分别以，向量的方向为轴的正方向，
过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，，
则，所以，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，，
所以，则，
令，则，，所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
②因为点满足，
则设点在的垂直平分面上，
所以为平面的法向量，
则的最小值为点到平面的距离，
所以，的中点为，，
则点到平面的距离为，
所以的最小值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，由勾股定理求解即可 .
（2）①利用余弦定理和线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
②利用点满足，则设点在的垂直平分面上，从而得出的最小值为点到平面的距离，再利用中点的性质，则根据数量积求出点到平面的距离，从而得出的最小值.
（1）如图：
，
在等腰梯形中，过点作于，过点作于，
因为，，则，所以，
连接，
在三角形中，由余弦定理得：，
所以，又，，所以，
所以，又，，且平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，所以.
（2）①在三角形中，由余弦定理得：，
所以，由于平面，
所以以为坐标原点，分别以，向量的方向为轴的正方向，
过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，
，所以，令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
，，
，所以，令，则，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则.
②因为点满足，所以设点在的垂直平分面上，
则为平面的法向量，
则的最小值为点到平面的距离，
的中点为，，
所以点到平面的距离为，
所以的最小值为.
18．【答案】（1）解：因为，
若，
则，
所以，
则.
（2）证明：充分性：因为，，
所以，则，
因为，所以是周期函数；
必要性：若是周期函数，设是的周期，
则，
所以，对于任意
则
所以，存在，使.
（3）解：因为，，
所以，，
则在上单调递增，
所以，
若，则，
所以，不满足；则，
设，
因为，
当单调递减；当单调递增，
所以，则，
设，则，
当单调递增；
当单调递减；
又因为，所以，
则.
【知识点】充要条件；函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和函数新定义结合一元二次不等式求解方法，从而得出.
（2）利用函数新定义结合周期函数的定义以及充要条件的判断方法，从而证出“为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得”．
（3）根据，结合单调函数的定义，从而判断出函数单调递增，再分和分类讨论结合函数的单调性求值域的方法得出实数a的取值范围.
（1），
若，则，
所以，
所以
（2）充分性：因为，，
所以，所以，因为，所以是周期函数；
必要性：若是周期函数，设是的周期，则，
所以，，
所以存在，使.
（3）因为，，所以，，
所以在上单调递增，所以，
若，则，则不满足；
所以，设，
因为，
当单调递减；当单调递增；
所以，即，
设，则，
当单调递增；当单调递减；
又，所以；
所以.
19．【答案】（1）解：设点关于直线的对称点为，
因为原点在直线上，由图形的对称性，知，
因为原点为圆的圆心，且点在圆上，
所以，则，
又因为椭圆的离心率为，
可得，
则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）①证明：设点、，
先证明椭圆在点处的切线方程为.
证明如下：
联立，可得（*），
因为点在椭圆上，所以，，则，
所以，方程（*）可化为，
则，
又因为，
所以，椭圆在点处的切线方程为，
则直线的方程为，
同理可知，直线的方程为，
设点，则，
所以，点、的坐标均满足方程，
则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，
则直线过定点.
②解：将点的坐标代入椭圆方程，得，
又因为，可得，则点，
设直线、的倾斜角分别为、，再设直线的倾斜角为，
因为，
所以或，
则，且，
易知直线、直线的斜率都存在，
设直线、的斜率分别为、，
所以，
则，
不妨设直线的方程为，
因为椭圆的方程为，
所以，
则，
所以
整理可得（*），
等式两边同时除以，令，
则方程（*）可化为，
所以、是关于的方程的两根，
则，
所以，
化简得①，
又因为直线过焦点，所以，
则②，
联立①②，可得，
所以直线的方程为，
则直线的斜率为，
解得，
则存在点，使得.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和图形的对称性得出的值，再结合椭圆的离心率公式得出的值，根据椭圆中a，b，c三者的关系式得出的值，从而得出椭圆的标准方程.
（2）①设点、，先证明椭圆在点处的切线方程为，从而得出直线的方程，令，将点的坐标代入两条切线的方程，从而得出直线的方程，再利用直线的点斜式方程得出直线所过定点的坐标.
②利用代入法和n的取值范围，从而求出点的坐标，设直线、的倾斜角分别为、，再设直线的倾斜角为，再利用已知条件可得，再根据两角和的正切公式和二倍角的正切公式，从而求出的值，设直线的方程为，再结合齐次化法得出关于、的方程，再将点的坐标代入直线的方程，可得出关于、的一个方程，从而求出、的值，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率，从而得出的值，进而得出存在点，使得.
（1）设点关于直线的对称点为，
因为原点在直线上，由对称性知，
因为原点为圆的圆心，且点在圆上，所以，即，
又因为椭圆的离心率为，可得，故，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①设点、，先证明椭圆在点处的切线方程为.
证明如下：
联立可得（*），
因为点在椭圆上，则，所以，
所以方程（*）可化为，即，
，
所以椭圆在点处的切线方程为，即直线的方程为，
同理可知直线的方程为，
设点，则，
所以点、的坐标均满足方程，故直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，故直线过定点；
②将点的坐标代入椭圆方程得，
又因为，可得，故点，
设直线、的倾斜角分别为、，设直线的倾斜角为，
因为，则或，所以，
且有，
易知直线、的斜率都存在，设直线、的斜率分别为、，
所以，
即，
不妨设直线的方程为，
椭圆的方程为，即，
即，
即，
整理可得（*），
等式两边同时除以，并令，
则方程（*）可化为，
所以、是关于的方程的两根，
所以，，
所以，
化简得①，
又因为直线过焦点，所以，即②，
联立①②可得，
所以直线的方程为，
所以直线的斜率为，解得，
故存在点，使得.
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