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广东中山市华侨中学2025-2026学年高三下学期数学二模试卷
1．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
2．已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
3．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（　　）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
4．若，则等于（　　）
A．49 B．55 C．120 D．165
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
6．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．
9．已知数列的前项和为，且，则（　　）
A． B．数列是等比数列
C．数列中的最大项为 D．数列是等差数列
10．已知点动点满足直线和的斜率之积为，记点的轨迹为曲线，过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，则（　　）
A．曲线的方程为： B．为直角三角形
C．面积最大值为 D．面积最大值为
11．下列命题正确的是（　　）
A．若事件A与B相互独立，且，，则
B．设随机变量X服从正态分布，则
C．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
12．在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为　 　.
13．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为　 　．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，在抛物线的准线上，则的最大值为　 　；若为等边三角形，则其边长为　 　.
15．已知的角，，的对边分别为，，，且，
（1）求角；
（2）若平分交线段于点，且，，求的周长.
16．某设备由相互独立的甲 乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲 乙两个部件至多各出现一次故障.
（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；
（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
17．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．在五棱锥中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
19．2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
（2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3， ，， ）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分表示的元素在集合A中，不在集合A、B的公共部分中，则 图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】根据图表示的集合运算，直接判断即可.
2．【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：根据题意，则，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】将代入原方程结合复数相等的判断方法，从而得出p和q的值，进而得出复数.
3．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将比赛得分按从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为，
所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即.
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，利用百分位数的定义即可.
4．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项公式为
又因为，
所以，
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式和赋值法得出，再由组合数的性质和组合数公式得出的值.
5．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦公式和诱导公式，从而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式，
又因为四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，
所以，至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，
有种情况，
则所求概率为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和排列数公式、组合数公式以及古典概率公式，从而得出至少有两个孩子愿望成真的概率．
7．【答案】D
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【解答】解：因为1，，成等差数列，所以，，
当时，，解得，
当时，由①，可得②，
①②两式相减可得，整理可得，
由，可得，
即数列是以3为首项，2为公差的等差数列，则，
A、，
，
则数列与数列不互为交错数列，故A错误；
B、由，可得，
则数列与数列不互为交错数列，故B选项错误；
C、由，
，
则数列与数列不互为交错数列，故C选项错误；
D、由可得
，
则数列与数列互为交错数列，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据 1，，成等差数列，由等差数列的性质和与的关系，推得，再由互为交错数列的定义逐项计算判断即可．
8．【答案】B
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，，，
由，可得，
则，所以，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
则椭圆长轴长的最小值是.
故答案问：B．
【分析】利用已知条件和椭圆的定义，结合勾股定理得出t的取值范围，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出椭圆长轴长的最小值．
9．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，得数列是等差数列，令其公差为，
由，得.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为为常数，
所以数列是等比数列，故B正确；
对于C，由，知的取值不确定，
当为正数时，数列单调递增，数列无最大项，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
则数列是等差数列，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和等差数列的定义，从而判断出数列是等差数列，再结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，则判断出选项A；利用数列递推公式和等比数列的定义，则判断出选项B；利用知的取值不确定，再利用数列的单调性得出数列无最大项，则判断出选项C；利用等差数列前n项和公式和等差数列定义，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：对于A：设，则
化简得：，故A错误；
对于B：设，，，
则，
所以，
∵，，
∴，
则，所以，故B正确；
对于C：与直线平行且与曲线相切且切点在第一象限的切线方程为，
联立，得，
由，得，
∴切线为，
则两平行直线的距离为，
此时面积最大，最大值为，故C错误；
对于D：设直线得方程为，
则，解得，
则直线：，
联立直线与曲线的方程，可得，
则，
所以，
令，则，
∵在，则上单调递增，
所以，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】设，由直线和的斜率之积为结合两点求斜率公式，从而得出曲线的方程，则判断出选项A；设，，利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而判断出为直角三角形，则判断出选项B；先求出与直线平行且与曲线相切且切点在第一象限的切线方程，再求出面积最大值，则判断出选项C；设直线的方程为，联立抛物线方程得出点P的坐标，从而求出直线方程，得出，再利用函数的单调性和基本不等式求最值的方法，从而得出面积最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，若事件A与B相互独立，且，，
可得，则，故A正确；
对于B，设随机变量X服从正态分布，可得，
根据正态分布曲线的对称性，可得，故B错误；
对于C，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，
根据相关系数的含义，可得当样本相关系数越接近1时，
则样本数据的线性相关程度越强，故C正确；
对于D，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，
根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差，
反之，则模型的拟合效果越好，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据相互独立事件定义和条件概率公式，则可判断选项A；根据正态分布曲线图形的对称性求概率的方法，则可判断选项B；根据相关系数与线性相关程度的关系，则判断出选项C；根据残差的含义和残差与模型拟合效果的关系，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．【答案】
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：在的展开式中，记项的系数为，
所以项的系数，
则，
由，可得，
则，所以.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，从而得出项的系数，再利用项的系数为，结合已知条件和代入法以及组合数公式，从而得出实数a的值.
13．【答案】
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为100个数据x1，X2，X3，...，X100的平均值 ，
方差，
所以μ的估计值为μ= 72，σ的估计值为σ = 6.
设该市高中生的身体素质指标值为X，由P(μ-2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈ 0.9545，得P(72-12≤X≤72+12)= P(60≤X≤ 84) ≈ 0.9545，
P(X>84)= P(X>μ + 2σ)= P(X<μ - 2σ)=≈，
所以P(X ≥60) = P(60 ≤ X≤ 84) + P(X>84) ≈0.9545 +×(1-0.9545)= 0.97725 ≈ 97.7%.
故答案为：．
【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计μ，σ，再结合参考数据求P(X≥60).
14．【答案】；
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线为：，
令点到直线的距离分别为，弦中点到直线的距离为，
由抛物线定义，知，
因此，以为直径的圆与准线相切于点，
则直线上除点外，其余各点都在以为直径的圆外，
由圆的性质知，当点与点重合时，是直角，
当点与点不重合时，是锐角，
所以的最大值是；
若为正三角形，，设直线：，
点，，弦中点，
由，消去x并整理，得：，
则，，，
其中，，
则，显然，，
则直线：，且准线为，
得点，
由，得，
解得，则，所以正三角形边长为.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式以及抛物线定义，得出以为直径的圆与准线相切于点，则直线上除点外，其余各点都在以为直径的圆外，再由圆的性质知的最大值；设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，再根据韦达定理和抛物线定义以及，从而得出的值，则得出AB的长，进而得出的边长.
15．【答案】（1）解：由余弦定理，
得，
所以，
可化为，
由正弦定理，得，
则，
所以，
因为，
所以.
（2）解：因为平分，
所以，
由，
得，
作于，
则，
由，解得，
由余弦定理，得，
所以，
则的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用余弦定理得出，再利用正弦定理角化边得出，结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用平分，则，再利用和三角形的面积公式，从而得到，作于，再利用三角形面积公式得出，从而得出的值，再利用余弦定理求出的值，再根据三角形的周长公式得出的周长.
（1）由余弦定理得，
所以，
可化为，
再由正弦定理得，得，
所以，因为，所以
（2）因为平分，所以，
由，
得，
作于，
则，
由，解得，
由余弦定理，得，所以，
故的周长为.
16．【答案】（1）解：因为一个周期内检修费用的所有可能取值为，
所以
，
一个周期内的平均检修费用千元.
（2）解：记设备出现异常为事件，甲部件出现故障为事件，
所以
.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意得出随机变量的取值， 依次求出相应的概率 ，再利数学期望公式，从而估算出一个生产周期内的平均检修费用.
（2）由已知条件和条件概率公式，从而得出在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
（1）一个周期内检修费用的所有可能取值为
.
一个周期内的平均检修费用千元.
（2）记设备出现异常为事件，甲部件出现故障为事件
.
17．【答案】（1）解：因为，
设，所以，
又因为，
所以，.
（2）解：因为，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列前项和的公式和等差数列的性质，再结合和等差数列的通项公式，从而得出数列和数列的通项公式.
（2）由结合（1）中数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用并项求和的方法，从而得出数列的前项和.
（1），
设，则，又，
所以，.
（2）
.
18．【答案】（1）证明：延长交于点，
四边形为矩形，
，
平面平面，平面平面，
平面平面，
则.
（2）解：如图建系，
，
，
，
，
设平面的一个法向量，
，
.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据已知条件和线线平行、线线垂直，从而判断出四边形为矩形，再利用矩形的性质结合面面垂直的性质定理，从而证出.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，求出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角，则根据已知条件得出实数的值.
（1）证明：延长交于点
四边形为矩形，
平面平面，平面平面
平面平面，即.
（2）如图建系，
设平面的一个法向量，
.
19．【答案】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故.
（2）由题知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
则，
故的信息熵.
（3）由题知，其中，2，3，…，
则，
又，
则，①
，②
得：
，
由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据独立重复事件概率计算公式求得.
（3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立.
【点睛】
本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故.
（2）由题知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
则，
故的信息熵.
（3）由题知，其中，2，3，…，
则，
又，
则，①
，②
得：
，
由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
1 / 1广东中山市华侨中学2025-2026学年高三下学期数学二模试卷
1．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图可知，阴影部分表示的元素在集合A中，不在集合A、B的公共部分中，则 图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】根据图表示的集合运算，直接判断即可.
2．已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数相等的充要条件；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：根据题意，则，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】将代入原方程结合复数相等的判断方法，从而得出p和q的值，进而得出复数.
3．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（　　）
A．93 B．93.5 C．94 D．94.5
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将比赛得分按从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为，
所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即.
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，利用百分位数的定义即可.
4．若，则等于（　　）
A．49 B．55 C．120 D．165
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：因为二项式展开式的通项公式为
又因为，
所以，
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式和赋值法得出，再由组合数的性质和组合数公式得出的值.
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由二倍角的余弦公式和诱导公式，从而得出的值.
6．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式，
又因为四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，
所以，至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，
有种情况，
则所求概率为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和排列数公式、组合数公式以及古典概率公式，从而得出至少有两个孩子愿望成真的概率．
7．若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的通项公式；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【解答】解：因为1，，成等差数列，所以，，
当时，，解得，
当时，由①，可得②，
①②两式相减可得，整理可得，
由，可得，
即数列是以3为首项，2为公差的等差数列，则，
A、，
，
则数列与数列不互为交错数列，故A错误；
B、由，可得，
则数列与数列不互为交错数列，故B选项错误；
C、由，
，
则数列与数列不互为交错数列，故C选项错误；
D、由可得
，
则数列与数列互为交错数列，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据 1，，成等差数列，由等差数列的性质和与的关系，推得，再由互为交错数列的定义逐项计算判断即可．
8．已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，则，，，
由，可得，
则，所以，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
则椭圆长轴长的最小值是.
故答案问：B．
【分析】利用已知条件和椭圆的定义，结合勾股定理得出t的取值范围，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出椭圆长轴长的最小值．
9．已知数列的前项和为，且，则（　　）
A． B．数列是等比数列
C．数列中的最大项为 D．数列是等差数列
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，得数列是等差数列，令其公差为，
由，得.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为为常数，
所以数列是等比数列，故B正确；
对于C，由，知的取值不确定，
当为正数时，数列单调递增，数列无最大项，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
则数列是等差数列，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和等差数列的定义，从而判断出数列是等差数列，再结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，则判断出选项A；利用数列递推公式和等比数列的定义，则判断出选项B；利用知的取值不确定，再利用数列的单调性得出数列无最大项，则判断出选项C；利用等差数列前n项和公式和等差数列定义，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．已知点动点满足直线和的斜率之积为，记点的轨迹为曲线，过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，则（　　）
A．曲线的方程为： B．为直角三角形
C．面积最大值为 D．面积最大值为
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：对于A：设，则
化简得：，故A错误；
对于B：设，，，
则，
所以，
∵，，
∴，
则，所以，故B正确；
对于C：与直线平行且与曲线相切且切点在第一象限的切线方程为，
联立，得，
由，得，
∴切线为，
则两平行直线的距离为，
此时面积最大，最大值为，故C错误；
对于D：设直线得方程为，
则，解得，
则直线：，
联立直线与曲线的方程，可得，
则，
所以，
令，则，
∵在，则上单调递增，
所以，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】设，由直线和的斜率之积为结合两点求斜率公式，从而得出曲线的方程，则判断出选项A；设，，利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而判断出为直角三角形，则判断出选项B；先求出与直线平行且与曲线相切且切点在第一象限的切线方程，再求出面积最大值，则判断出选项C；设直线的方程为，联立抛物线方程得出点P的坐标，从而求出直线方程，得出，再利用函数的单调性和基本不等式求最值的方法，从而得出面积最大值，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．下列命题正确的是（　　）
A．若事件A与B相互独立，且，，则
B．设随机变量X服从正态分布，则
C．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
【答案】A,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；可线性化的回归分析；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，若事件A与B相互独立，且，，
可得，则，故A正确；
对于B，设随机变量X服从正态分布，可得，
根据正态分布曲线的对称性，可得，故B错误；
对于C，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，
根据相关系数的含义，可得当样本相关系数越接近1时，
则样本数据的线性相关程度越强，故C正确；
对于D，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，
根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差，
反之，则模型的拟合效果越好，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据相互独立事件定义和条件概率公式，则可判断选项A；根据正态分布曲线图形的对称性求概率的方法，则可判断选项B；根据相关系数与线性相关程度的关系，则判断出选项C；根据残差的含义和残差与模型拟合效果的关系，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：在的展开式中，记项的系数为，
所以项的系数，
则，
由，可得，
则，所以.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，从而得出项的系数，再利用项的系数为，结合已知条件和代入法以及组合数公式，从而得出实数a的值.
13．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为　 　．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
【答案】
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为100个数据x1，X2，X3，...，X100的平均值 ，
方差，
所以μ的估计值为μ= 72，σ的估计值为σ = 6.
设该市高中生的身体素质指标值为X，由P(μ-2σ≤X≤μ+ 2σ) ≈ 0.9545，得P(72-12≤X≤72+12)= P(60≤X≤ 84) ≈ 0.9545，
P(X>84)= P(X>μ + 2σ)= P(X<μ - 2σ)=≈，
所以P(X ≥60) = P(60 ≤ X≤ 84) + P(X>84) ≈0.9545 +×(1-0.9545)= 0.97725 ≈ 97.7%.
故答案为：．
【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计μ，σ，再结合参考数据求P(X≥60).
14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，在抛物线的准线上，则的最大值为　 　；若为等边三角形，则其边长为　 　.
【答案】；
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的准线为：，
令点到直线的距离分别为，弦中点到直线的距离为，
由抛物线定义，知，
因此，以为直径的圆与准线相切于点，
则直线上除点外，其余各点都在以为直径的圆外，
由圆的性质知，当点与点重合时，是直角，
当点与点不重合时，是锐角，
所以的最大值是；
若为正三角形，，设直线：，
点，，弦中点，
由，消去x并整理，得：，
则，，，
其中，，
则，显然，，
则直线：，且准线为，
得点，
由，得，
解得，则，所以正三角形边长为.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式以及抛物线定义，得出以为直径的圆与准线相切于点，则直线上除点外，其余各点都在以为直径的圆外，再由圆的性质知的最大值；设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，再根据韦达定理和抛物线定义以及，从而得出的值，则得出AB的长，进而得出的边长.
15．已知的角，，的对边分别为，，，且，
（1）求角；
（2）若平分交线段于点，且，，求的周长.
【答案】（1）解：由余弦定理，
得，
所以，
可化为，
由正弦定理，得，
则，
所以，
因为，
所以.
（2）解：因为平分，
所以，
由，
得，
作于，
则，
由，解得，
由余弦定理，得，
所以，
则的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用余弦定理得出，再利用正弦定理角化边得出，结合余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）利用平分，则，再利用和三角形的面积公式，从而得到，作于，再利用三角形面积公式得出，从而得出的值，再利用余弦定理求出的值，再根据三角形的周长公式得出的周长.
（1）由余弦定理得，
所以，
可化为，
再由正弦定理得，得，
所以，因为，所以
（2）因为平分，所以，
由，
得，
作于，
则，
由，解得，
由余弦定理，得，所以，
故的周长为.
16．某设备由相互独立的甲 乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲 乙两个部件至多各出现一次故障.
（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；
（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
【答案】（1）解：因为一个周期内检修费用的所有可能取值为，
所以
，
一个周期内的平均检修费用千元.
（2）解：记设备出现异常为事件，甲部件出现故障为事件，
所以
.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）由题意得出随机变量的取值， 依次求出相应的概率 ，再利数学期望公式，从而估算出一个生产周期内的平均检修费用.
（2）由已知条件和条件概率公式，从而得出在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
（1）一个周期内检修费用的所有可能取值为
.
一个周期内的平均检修费用千元.
（2）记设备出现异常为事件，甲部件出现故障为事件
.
17．已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，
设，所以，
又因为，
所以，.
（2）解：因为，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列前项和的公式和等差数列的性质，再结合和等差数列的通项公式，从而得出数列和数列的通项公式.
（2）由结合（1）中数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用并项求和的方法，从而得出数列的前项和.
（1），
设，则，又，
所以，.
（2）
.
18．在五棱锥中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明：延长交于点，
四边形为矩形，
，
平面平面，平面平面，
平面平面，
则.
（2）解：如图建系，
，
，
，
，
设平面的一个法向量，
，
.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据已知条件和线线平行、线线垂直，从而判断出四边形为矩形，再利用矩形的性质结合面面垂直的性质定理，从而证出.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，求出平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角，则根据已知条件得出实数的值.
（1）证明：延长交于点
四边形为矩形，
平面平面，平面平面
平面平面，即.
（2）如图建系，
设平面的一个法向量，
.
19．2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
（2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3， ，， ）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
【答案】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故.
（2）由题知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
则，
故的信息熵.
（3）由题知，其中，2，3，…，
则，
又，
则，①
，②
得：
，
由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据独立重复事件概率计算公式求得.
（3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立.
【点睛】
本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故.
（2）由题知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
则，
故的信息熵.
（3）由题知，其中，2，3，…，
则，
又，
则，①
，②
得：
，
由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
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