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第14讲 导数的概念与运算 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
B A D A B
6 7 8 9 10
D C （1） （2） （3） （4） （1） （2） （3） （4） （5） （6）
11 12 13 14 15
A C C
16 17 18 19 20
B D （1）
21 22 23 24 25
B 或（写出一条即可） C
26 27 28 29 30
A B D
31 32 33 34 35
C ABD BCD
36 37
②④ ACD
1.已知函数的导函数是，若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴.
【点拨】本题考查导数的定义，关键在于将极限式凑成导数定义的标准形式，注意自变量增量的匹配.
2.若在处可导，则可以等于
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由导数定义，
对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C不满足；
对于D，，D不满足.
【点拨】判断极限是否表示导数，核心是观察分子中函数值的自变量之差是否与分母完全一致，且极限趋于一点.
3.已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由图象可知，
即.
【点拨】利用导数的几何意义，切线斜率表示导数值，割线斜率表示平均变化率，通过图象直观比较斜率大小即可.
4.（2026·广东梅州·3月质检）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ 　　）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可得瞬时速度，
当位移时，可得，解得：，∴，
∴，
则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为.
【点拨】位移关于时间的导数即为瞬时速度，结合同角三角函数基本关系求出余弦值即可得解.
5.（2026·长沙雅礼·三模）某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由运动路程与时间的关系为，可得，
当时，，即质点在时的瞬时速度为.
【点拨】瞬时速度是位移函数对时间的导数，求出导函数后代入具体时间即可.
6.（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则
A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加
B. 当从变化到时，臭氧含量减少
C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为
D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为
【答案】D
【解析】由于，底数，故随着时间的增加，臭氧含量在减少，A错误；
当从变化到时，臭氧含量减少，B错误；
当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为，C错误；
对求导得，当时，瞬时变化率为，D正确.
【点拨】瞬时变化率即为函数在该点处的导数值，平均变化率则是函数增量与自变量增量的比值.
7.（2026·北斗星盟·5月联考）已知函数，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，则.
【点拨】熟记基本初等函数的导数公式，正弦函数的导数是余弦函数.
8.在等比数列中，，函数，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵，
∴.
∵数列为等比数列，∴，
∴.
【点拨】利用乘法求导法则，注意到求处的导数时，含有因式的项均为，从而简化计算，再结合等比数列性质求解.
9.求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）∵，∴.
（2）∵，∴.
（3）∵，∴.
（4）∵，∴.
【点拨】熟练掌握复合函数的求导法则，由外向内逐层求导，注意不要遗漏内层函数的导数.
10.求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）
【解析】（1）.
（2），∴.
（3）.
（4）.
（5）.
（6），故.
【点拨】对于分式形式的函数，若分母为单项式，可先化简为幂函数的代数和再求导；运用乘积求导法则时，注意各项符号.
11.（2026·泰山联盟·4月模拟）若函数，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，令，则，解得，
∴，，
则，，.故选A.
【点拨】是一个常数，对函数求导后，令即可构造出关于的方程，解出该常数即可确定函数解析式.
12.（2026·河南新乡·三模）已知函数，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，令，得，解得.故选C.
【点拨】把看作常数，求导后代入构建方程求解.
13.（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵，∴，
令，得，
∴，则.
【点拨】利用导数与函数值的关系，先求导，再代入特定值求出未知常数，进而求出函数值.
14.（2026·湖南·5月联考）已知函数，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵，∴，令，得，解得.
【点拨】求导后代入，解关于的方程即可.
15.（2026·山东淄博·二模）曲线在处的切线如图所示，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图象可知，切线过点和，∴切线的斜率，即.
又切线过点，∴，∴.
【点拨】根据切线图象找出切线经过的两个定点，求出切线斜率即为导数值，切点纵坐标即为函数值.
16.（2026·皖江名校·5月联考）函数的图象在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，则，又，∴切线方程为，即.
【点拨】先求出导函数，将切点横坐标代入求得切线斜率，再利用点斜式写出切线方程.
17.（2026·沧州八校·二模）已知函数，则曲线在点处的切线在轴上的截距为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
∴，又，
曲线在处的切线方程为，
令得轴上的截距为.
【点拨】利用乘积的求导法则求出导函数，算出切线斜率和切点坐标，写出切线方程后令即可求得截距.
18.（2026·合肥十一中·4月检测）已知，则曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，则，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即.
【点拨】求出导函数，代入切点横坐标求斜率，再利用点斜式写出切线方程.
19.（2026·安徽阜阳·一模）曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由求导可得，则所求切线斜率为，因此所求切线方程为，化简得.
【点拨】求出导数得到切线斜率，代入点斜式方程化简即可.
20.（2026·山东东营·一模）已知函数，
（1）当时，求函数在处的切线方程；
【答案】（1）
【解析】（1）当时，，，则，又，∴切线方程为，即.
【点拨】代入参数值，利用商的求导法则求出导函数，计算切点坐标和斜率，写出切线方程.
21.（2026·随州六校·一模）已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设切点坐标为，，，直线的斜率为，∴直线方程为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，直线的斜率为.
【点拨】设出切点坐标，利用导数表示出切线方程，将已知点代入求出切点横坐标，进而求得斜率.
22.已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可得，设该切线方程为，且与相切于点，则，，，整理得，，可得，.
【点拨】设出切点坐标，利用切点既在曲线上又在切线上，且导数值等于切线斜率列方程组求解.
23.过点作曲线的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
【答案】或（写出一条即可）
【解析】由可得，设过点作曲线的切线的切点为，则，则该切线方程为，将代入得，解得或，故切点坐标为或，故切线方程为或.
【点拨】已知点不在曲线上时，必须先设出切点坐标，利用导数写出切线方程，再将已知点代入求出切点.
24.（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设切点为，由得，∵直线与曲线相切，∴，解得，则，代入曲线方程得，解得.
【点拨】利用切线斜率等于导数值求出切点坐标，再将切点坐标代入曲线方程求参数.
25.（2026·山东德州·三模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由得，则在点处的切线斜率，∵切线与直线垂直，∴，解得.
【点拨】两直线垂直，其斜率乘积为，结合导数的几何意义即可求出参数.
26.（2025·南阳一中·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】.
.
设，则.
.
∴，即.
∴.
令，，当时取最大值.
∴，.
【点拨】利用同构法将不等式转化为的形式，利用函数的单调性脱去外层函数，再求最值.
27.若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数，可得，∵，设切点为，则，∴公切线方程为，即，与联立可得，∴，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函数在上单调递增，且，当时，，即，此时函数单调递减，当时，，即，此时函数单调递增，∴，且当时，，∴函数的值域为，∴且，解得，即实数的取值范围为.故选A.
【点拨】设出公切线在其中一个函数图象上的切点，写出切线方程，再与另一个函数解析式联立，利用判别式等于0得到参数的等式，转化为求函数最值问题.
28.（2026·南京六合·一模）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由函数，可得，∴，∴曲线在点处的切线方程为，又由函数，可得，设曲线的切点为，则，解得，.
【点拨】先求出已知切点的切线方程，再设出未知切点的坐标，利用切线斜率相等和切点在切线上列方程组求解.
29.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】与互为反函数，其图象关于直线对称，先求出曲线上的点到直线的最小距离.设与直线平行且与曲线相切的切点，，解得.得到切点，点到直线的距离最小值为.故选B.
【点拨】利用互为反函数的图象关于直线对称的性质，将两曲线上点的最小距离转化为其中一曲线上的点到直线距离的最小值的两倍.
30.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称；故可先求点到直线的最近距离，又，当曲线上切线的斜率时，得，，则切点到直线的距离为，∴的最小值为.故选D.
【点拨】识别两函数互为反函数是关键，利用对称性转化为求曲线到直线的最短距离.
31.（2024·上饶六校·5月模拟）在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设切点，则直线的方程为，令得，即；令得，即.∴的面积，.∵，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴.
【点拨】设出切点坐标，求出切线方程，进而表示出三角形面积，利用导数求面积的最大值.
32.（2026·广东东莞·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线为，设切点为，由，得，解得，则，即，则的最小值为点到直线的距离，.
【点拨】利用平行线间的距离求两曲线上点的最短距离，找到与已知直线平行的切线是解题关键.
33.英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton - Raphson method译为牛顿-拉夫森法. 做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的1次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值. 运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（ 　　）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知在定义域上单调递增，，，即函数的零点有且只有一个，且在区间上.不妨取作为初始近似值，，由题意知.故选C.
【点拨】理解牛顿迭代法的公式，确定合适的初始值，代入公式计算即可.
34.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值. 一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值. 对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ 　　）
A. B. 切线：
C. D.
【答案】ABD
【解析】由，可得，，即，根据函数零点的存在性定理，可得，∴A正确；又由，设切点，则切线的斜率为，∴切线方程为，令，可得，∴D正确；当时，可得，则，，∴的方程为，即，∴B正确；由，可得，，此时，∴C错误.故选ABD.
【点拨】结合零点存在定理判断零点区间，利用导数求出切线方程，进而得到迭代公式，逐项计算判断.
35.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法. 首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，，， 在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点. 若要求的近似值（精确到），我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 对任意，
B. 若，且，则对任意，
C. 当时，需要作2条切线即可确定的值
D. 无论在上取任何有理数都有
【答案】BCD
【解析】A，∵，则，设，则切线方程为，切线与轴的交点横坐标为，∴，故A错误；B，处的切线方程为，∴与轴的交点横坐标为，故B正确；C，∵，，∴两条切线可以确定的值，故C正确；D，由选项C可知，，∴无论在上取任何有理数都有，故D正确.故选BCD.
【点拨】根据牛顿法的定义推导出递推公式，代入具体数值进行验证.
36.牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿-拉夫逊方法(Newton - Raphsonmethod)，是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解．设，，，，构成数列．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为＿＿＿＿＿＿.
【答案】②④
【解析】由题意，过点作曲线的切线方程为，令，解得，过点作曲线的切线方程为，令，解得，过点作曲线的切线方程为，令，解得，重复以上过程，当时，则过点作曲线的切线方程为，令，解得，故①错误，②正确.将累加，得，，故③错误，④正确.
【点拨】理解牛顿迭代法的几何意义，通过求切线与轴的交点得出递推关系，再利用累加法求通项.
37.（2025·江西鹰潭·二模）（多选）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（ 　　）
A. B. 是偶函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】令，得，即，故A正确；对于选项B：令，可得，解得，令，，可得，∴的图象不是偶函数，故B错误；令，∴，∴，∴，∴，则，∴，，，累加得：，∴选项C正确；对于选项D，，又，∴，设，则，∴，∴，即，故D正确.
【点拨】利用赋值法求出特殊函数值，判断奇偶性；通过对抽象等式求导，结合赋值法得到导函数的递推关系；利用构造法得到数列的通项，再用错位相减法求和.
第 2 页，共 17 页第14讲 导数的概念与运算 · 分类练习
考点一：导数的概念与物理意义
考法1：利用导数定义求极限与导数值
1.已知函数的导函数是，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.若在处可导，则可以等于（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：导数的几何意义与大小比较
3.已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法3：导数的物理意义与瞬时变化率
4.（2026·广东梅州·3月质检）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ 　　）.
A. B. C. D.
5.（2026·长沙雅礼·三模）某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（ 　　）
A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加
B. 当从变化到时，臭氧含量减少
C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为
D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为
考点二：导数的运算
考法4：基本初等函数与复合函数求导
7.（2026·北斗星盟·5月联考）已知函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
8.在等比数列中，，函数，则＿＿＿＿＿＿.
9.求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
10.求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
考法5：结合导数值求参数或解析式
11.（2026·泰山联盟·4月模拟）若函数，则（ 　　）
A. B.
C. D.
12.（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
13.（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·湖南·5月联考）已知函数，则＿＿＿＿＿＿.
考点三：导数的几何意义
考法6：求曲线在某点处的切线方程
15.（2026·山东淄博·二模）曲线在处的切线如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
16.（2026·皖江名校·5月联考）函数的图象在点处的切线方程为（ 　　）
A. B. C. D.
17.（2026·沧州八校·二模）已知函数，则曲线在点处的切线在轴上的截距为（ 　　）
A. B. C. D.
18.（2026·合肥十一中·4月检测）已知，则曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
19.（2026·安徽阜阳·一模）曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
20.（2026·山东东营·一模）已知函数，
（1）当时，求函数在处的切线方程；
考法7：求曲线过某点的切线方程
21.（2026·随州六校·一模）已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（ 　　）
A. B. C. D.
22.已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是＿＿＿＿＿＿.
23.过点作曲线的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
考法8：根据切线特征求参数
24.（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
25.（2026·山东德州·三模）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则＿＿＿＿＿＿.
考法9：两曲线的公切线问题
26.（2025·南阳一中·三模）已知函数，，若恒成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿.
27.若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
28.（2026·南京六合·一模）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
考法10：切线与距离、面积综合问题
29.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
30.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
31.（2024·上饶六校·5月模拟）在平面直角坐标系中，已知曲线的一条切线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
32.（2026·广东东莞·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考点四：导数的拓展应用
考法11：牛顿迭代法求近似根
33.英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton - Raphson method译为牛顿-拉夫森法. 做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的1次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值. 运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（ 　　）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A. B. C. D.
34.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值. 一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值. 对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（ 　　）
A. B. 切线：
C. D.
35.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法. 首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，，， 在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点. 若要求的近似值（精确到），我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 对任意，
B. 若，且，则对任意，
C. 当时，需要作2条切线即可确定的值
D. 无论在上取任何有理数都有
36.牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿-拉夫逊方法(Newton - Raphsonmethod)，是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线，与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解．设，，，，构成数列．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为＿＿＿＿＿＿.
考法12：抽象函数的导数与赋值法
37.（2025·江西鹰潭·二模）（多选）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（ 　　）
A. B. 是偶函数
C. D.
第 2 页，共 17 页第14讲 导数的概念与运算 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
知识点一：导数的概念和几何性质 2
知识点二：导数的运算 2
三、典题精讲 3
考点一：导数的概念与物理意义 3
考点二：导数的运算 4
考点三：导数的几何意义 6
考点四：牛顿迭代法（拓展） 8
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 第4题 单选 5分 直接 导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程
2026 第6题 单选 5分 间接 利用导数求函数的最值
2025 第12题 填空 5分 直接 导数的几何意义，已知切线求参数
2025 第16题 解答 15分 直接 导数的运算，多项式求导与数列结合
2025 第19题 解答 17分 间接 利用导数研究三角函数的单调性与最值
2024 第6题 单选 5分 间接 利用导数研究分段函数的单调性
2024 第10题 多选 6分 间接 利用导数研究函数的单调性与极值
2024 第13题 填空 5分 直接 导数的几何意义，求两曲线的公切线
2024 第18题 解答 17分 间接 利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题
近三年全国一卷中，对导数的概念与运算的直接考查主要集中在导数的几何意义（切线问题）和导数运算上，常以单选题或填空题形式出现.同时，导数运算作为工具，在解答题中被广泛间接考查，是解决压轴题的必备技能.
2. 命题角度与特色
核心考点：导数的几何意义（切线方程、公切线问题、已知切线求参数）是高考高频考点，常在客观题中直接考查.导数的运算则是解决所有导数应用题的基础.
命题趋势：基础题型以切线问题为主，难度中等，侧重考查“在某点处”与“过某点”的切线区别，以及公切线问题.导数运算常与数列、三角函数等其他知识交汇考查.
试题特点：切线问题常结合指数函数、对数函数进行考查，要求熟练掌握基本初等函数的导数公式.解答题中的导数应用题则对导数运算的准确性提出了极高要求.
3. 备考策略
· 熟练掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，确保求导过程准确无误.
· 深刻理解导数的几何意义，牢记“切点既在曲线上，又在切线上”这一核心条件，熟练处理“在点处”和“过某点”的切线问题.
· 掌握公切线问题的通法，即“双切点法”，通过设出两个切点构建方程组求解.
二、知识清单
知识点一：导数的概念和几何性质
1. 概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或.
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于的意义：与之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即.
【易错提醒】利用导数定义求极限时，必须严格保证函数值之差中的自变量增量与分母上的增量在形式上完全一致.
2. 几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.
3. 物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即.
知识点二：导数的运算
1. 求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
（）
（，）
（，）
2. 导数的四则运算法则
（1） 函数和差求导法则：；
（2） 函数积的求导法则：；
（3） 函数商的求导法则：，则.
3. 复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为.
【防坑警示】复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量.
三、典题精讲
考点一：导数的概念与物理意义
考法1：利用导数定义求极限
例1.若函数在处可导，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】观察极限式，分子为函数在处的增量，分母为自变量的增量，且两者保持一致，直接利用导数在一点处的定义即可求解.
【解析】由导数定义可得，∴.
【规律】利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量与分母完全一致.
考法2：导数的物理与实际意义
例2.（2026·青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则
A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加
B. 当从变化到时，臭氧含量减少
C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为
D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为
【答案】D
【思路】根据指数函数的单调性判断A；代入具体时间计算函数值的差判断B；利用平均变化率公式计算判断C；对函数求导，代入求瞬时变化率判断D.
【解析】∵，底数，∴随着时间的增加，臭氧含量在减少，A错误；
当从变化到时，臭氧含量减少，B错误；
当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为，C错误；
对求导得，当时，瞬时变化率为，D正确.
【规律】处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值.
【考点一 方法总结】
· 利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量与分母完全一致.
· 处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值.
考点二：导数的运算
考法1：导数运算法则与公式
例3.求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）
【思路】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的四则运算法则（和、差、积、商的求导法则）逐项求导.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导.
【解析】（1）.
（2）∵，∴.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）∵，∴.
【规律】求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公式的准确性.
考法2：利用导数值求参数或函数值
例4.（2026·泰山联盟·四月）若函数，则
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】将视为一个常数，对函数求导得到的表达式，然后令，构造出关于的一元一次方程，解出即可确定函数解析式，进而判断各选项.
【解析】由，得，令，∴，解得，
∴，，
∴，，.故选A.
【规律】处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数.
【考点二 方法总结】
· 求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公式的准确性.
· 复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量.
· 处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数.
考点三：导数的几何意义
考法1：求曲线在某点处的切线方程
例5.（2026·济宁·二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】先对函数求导，将切点的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程写出切线方程并化为一般式.
【解析】由，得，∴曲线在处的切线斜率，∴切线方程为，即.
【规律】求“在点处的切线”，已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程即可.
考法2：求过某点的切线方程
例6.过点作曲线的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
【答案】或（写出一条即可）
【思路】已知点不在曲线上，不能直接求导代入.需要先设出切点坐标，利用导数表示出切线方程，再将已知点坐标代入切线方程，解出切点坐标，进而得到切线方程.
【解析】由可得，设过点作曲线的切线的切点为，∴，∴该切线方程为，将代入得，解得或，∴切点坐标为或，∴切线方程为或.
【规律】求“过某点的切线”，必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐标，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解.
考法3：已知切线求参数
例7.（2025·五个一·四月）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】先利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，然后将该切线方程与抛物线联立，利用相切时判别式求出参数.
【解析】由，得，∴曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即.联立，消去整理得，由直线与曲线相切可得，解得.
【规律】直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0来求解参数.
考法4：公切线问题
例8.（2026·周口一高·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】分别设出两条曲线上的切点坐标，利用导数分别写出两条曲线在各自切点处的切线方程.因为是同一条公切线，所以两条切线方程的斜率和截距必须分别相等，由此建立方程组求解.
【解析】设曲线上的切点为，又∵，∴直线，即.设曲线上的切点为，又∵，∴直线，即.∵是公切线，∴，解得，∴，∴在轴上的截距为.
【规律】处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解.
考法5：两曲线间的最短距离
例9.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】观察两函数解析式，发现它们互为反函数，图象关于直线对称.因此，两曲线上点之间的最短距离，等于其中一条曲线上点到直线的最短距离的两倍.利用导数求出与平行的切线切点即可.
【解析】∵与互为反函数，它们图象关于直线对称；∴可先求点到直线的最近距离，又，当曲线上切线的斜率时，得，，∴切点到直线的距离为，∴的最小值为.故选D.
【规律】遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解.
【考点三 方法总结】
· 求“在点处的切线方程”：已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程即可.公式：.
· 求“过某点的切线方程”：必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐标，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解.
· 直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0来求解参数.
· 处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解.
· 遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解.
考点四：牛顿迭代法（拓展）
考法1：牛顿迭代法的应用
例10.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值. 一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值. 对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是
A. B. 切线： C. D.
【答案】ABD
【思路】先利用零点存在性定理判断根所在的区间；再利用导数求出在一般点处的切线方程，令推导出递推公式；最后根据递推公式和初始值逐次计算，验证各选项.
【解析】由，可得，，即，根据函数零点的存在性定理，可得，∴A正确；又由，设切点，∴切线的斜率为，∴切线方程为，令，可得，∴D正确；当时，可得，∴，，∴的方程为，即，∴B正确；由，可得，，此时，∴C错误.故选ABD.
【考点四 方法总结】
· 解决新定义背景下的切线迭代问题，关键是读懂题意，将文字描述转化为求切线与轴交点的数学操作，推导出递推关系式后按部就班计算即可.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴.
当时，切线的斜率.
又切点为，
∴切线方程为，即.
2.（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】对于，其导数为，
∵直线是曲线的切线，直线的斜率为，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
∴切点坐标为，
∵切点在曲线上，
∴，即，解得.
3.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由得，，
∴曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
∴两曲线有公切线得，解得，∴切点为，
切线方程为，
∵两切线重合，∴，解得.
4.（2025·全国一卷）设数列满足，
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为，公差为，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
5.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，求导得.
令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
假设在处取得最大值，则必有，即.
同时，即.
将代入得.
若，则，此时，代入原函数得，矛盾.
∴，从而，解得.
此时.
检验：当时，，.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
∴在处取得最大值，符合题意.
6.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增，
∴需满足，解得，
即的范围是.
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对A，∵函数的定义域为，且，
易知当时，，当或时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，∴，
而由上可知，函数在上单调递增，∴，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
∴，即，正确；
对D，当时，，
∴，正确.
8.（2024·全国一卷）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）时，，其中，
则，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，而成立，∴即，
∴的最小值为.
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
∵在图象上，∴，
而，
∴也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）∵当且仅当，∴为的一个解，
∴即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
∴恒成立，∴在上为增函数，
∴即在上恒成立.
当时，，
∴恒成立，∴在上为增函数，
∴即在上恒成立.
当，则当时，，
∴在上为减函数，∴，不合题意，舍；
综上所述，在上恒成立时.
且当时，由上述过程可得在单调递增，∴的解为，
即的解确为.
∴的取值范围是.
9.（2025·全国一卷）
（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意，都有，求的最小值.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1），
∵，∴，∴，
当时，即，
当时，即，
∴在上为增函数，在为减函数，
∴在上的最大值为.
（2）由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则且，此时无解，矛盾.
∴存在，使得，
∴存在，使得成立.
（3）记，
∵，
∴为周期函数且周期为，故只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，∴，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
∴，∴，
综上所述，，可取，使得等号成立.
∴.
第 2 页，共 17 页第14讲 导数的概念与运算 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
知识点一：导数的概念和几何性质 2
知识点二：导数的运算 2
三、典题精练 3
考点一：导数的概念与物理意义 3
考点二：导数的运算 4
考点三：导数的几何意义 5
考点四：牛顿迭代法（拓展） 7
四、高考真题 8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 第4题 单选 5分 直接 导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程
2026 第6题 单选 5分 间接 利用导数求函数的最值
2025 第12题 填空 5分 直接 导数的几何意义，已知切线求参数
2025 第16题 解答 15分 直接 导数的运算，多项式求导与数列结合
2025 第19题 解答 17分 间接 利用导数研究三角函数的单调性与最值
2024 第6题 单选 5分 间接 利用导数研究分段函数的单调性
2024 第10题 多选 6分 间接 利用导数研究函数的单调性与极值
2024 第13题 填空 5分 直接 导数的几何意义，求两曲线的公切线
2024 第18题 解答 17分 间接 利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题
近三年全国一卷中，对导数的概念与运算的直接考查主要集中在导数的几何意义（切线问题）和导数运算上，常以单选题或填空题形式出现.同时，导数运算作为工具，在解答题中被广泛间接考查，是解决压轴题的必备技能.
2. 命题角度与特色
核心考点：导数的几何意义（切线方程、公切线问题、已知切线求参数）是高考高频考点，常在客观题中直接考查.导数的运算则是解决所有导数应用题的基础.
命题趋势：基础题型以切线问题为主，难度中等，侧重考查“在某点处”与“过某点”的切线区别，以及公切线问题.导数运算常与数列、三角函数等其他知识交汇考查.
试题特点：切线问题常结合指数函数、对数函数进行考查，要求熟练掌握基本初等函数的导数公式.解答题中的导数应用题则对导数运算的准确性提出了极高要求.
3. 备考策略
· 熟练掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，确保求导过程准确无误.
· 深刻理解导数的几何意义，牢记“切点既在曲线上，又在切线上”这一核心条件，熟练处理“在点处”和“过某点”的切线问题.
· 掌握公切线问题的通法，即“双切点法”，通过设出两个切点构建方程组求解.
二、知识清单
知识点一：导数的概念和几何性质
1. 概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或.
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于的意义：与之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即.
【易错提醒】利用导数定义求极限时，必须严格保证函数值之差中的自变量增量与分母上的增量在形式上完全一致.
2. 几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.
3. 物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即.
知识点二：导数的运算
1. 求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
（）
（，）
（，）
2. 导数的四则运算法则
（1） 函数和差求导法则：；
（2） 函数积的求导法则：；
（3） 函数商的求导法则：，则.
3. 复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为.
【防坑警示】复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量.
三、典题精练
考点一：导数的概念与物理意义
考法1：利用导数定义求极限
例1.若函数在处可导，且，则
A. B. C. D.
考法2：导数的物理与实际意义
例2.（2026·青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则
A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加
B. 当从变化到时，臭氧含量减少
C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为
D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为
【考点一 方法总结】
· 利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量与分母完全一致.
· 处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值.
考点二：导数的运算
考法1：导数运算法则与公式
例3.求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
考法2：利用导数值求参数或函数值
例4.（2026·泰山联盟·四月）若函数，则
A. B. C. D.
【考点二 方法总结】
· 求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公式的准确性.
· 复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后要将中间变量替换回原自变量.
· 处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数.
考点三：导数的几何意义
考法1：求曲线在某点处的切线方程
例5.（2026·济宁·二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
考法2：求过某点的切线方程
例6.过点作曲线的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
考法3：已知切线求参数
例7.（2025·五个一·四月）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则
A. B. C. D.
考法4：公切线问题
例8.（2026·周口一高·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿.
考法5：两曲线间的最短距离
例9.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
· 求“在点处的切线方程”：已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程即可.公式：.
· 求“过某点的切线方程”：必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐标，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解.
· 直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0来求解参数.
· 处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解.
· 遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解.
考点四：牛顿迭代法（拓展）
考法1：牛顿迭代法的应用
例10.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值. 一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值. 对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是
A. B. 切线：
C. D.
【考点四 方法总结】
· 解决新定义背景下的切线迭代问题，关键是读懂题意，将文字描述转化为求切线与轴交点的数学操作，推导出递推关系式后按部就班计算即可.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
2.（2025·全国一卷）若直线是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
3.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
4.（2025·全国一卷）设数列满足，
（1）证明：为等差数列；
（2）设，求.
5.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则
A. B. C. D.
6.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是
A. B. C. D.
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
8.（2024·全国一卷）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
9.（2025·全国一卷）
（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意，都有，求的最小值.
第 2 页，共 17 页第14讲 导数的概念与运算 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A B D B C
6 7 8 9 10
A D B AC ACD
11 12 13 14 15
ACD （1） （2）
16 17 18 19
（1） （2）证明见解析 （3） （1） （2） （1） （2） （1） （2）（i） （ii）
1.若函数在处可导，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由导数定义可得，所以.
【点拨】本题考查导数的定义，掌握导数的极限形式是解题关键.注意增量的一致性.
2.（2026·邯郸一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，得.由曲线在处的切线的倾斜角为，可得，解得或.故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件.
【点拨】本题考查曲线的切线方程与常用逻辑用语，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
3.（2025·五个一4月联考）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，切线方程为，即.联立，消去整理得，由直线与曲线相切可得，解得.
【点拨】本题考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题，求出切线方程后利用判别式等于0求解是解题关键.
4.（2025·上进3月联考）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.因为的图象在处的切线过原点，则，即，整理得.设，则在上单调递增，且，，所以.
【点拨】本题考查导数的几何意义，利用切线过原点建立方程，再转化为函数的零点所在区间问题是解题关键.
5.（2026·南通一模）函数的图象有公共点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数，与图象有公共点，即关于的方程有实根.令，则，令得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.为使关于的方程有实根，只需，所以.
【点拨】将两函数图象的交点问题转化为方程有解问题，进而构造新函数求最值是解决此类问题的常用方法.
6.（2025·郑州外国语5月调研）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，当时，，；当时，，.则，，因为直线与互相垂直，所以，即.由图象可知，，则，，所以直线方程为，当时，，故点，同理，直线方程为，当时，，故点，所以.
【点拨】本题考查导数的几何意义及切线方程的求解，利用两直线垂直斜率乘积为-1建立联系是解题关键.
7.（2025·广东六校5月联考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设切点为，则，，切线斜率，切线方程为，代入，可得，整理可得，由题意可得该方程有两个解，则，即，解得或.故的取值范围为.
【点拨】本题考查过某点的切线条数问题，通常设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将切线过定点转化为关于切点横坐标的方程，再由方程解的个数求参数范围.
8.（2024·银川二中一模）已知实数满足，，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，又，表示点与曲线上的点之间的距离；点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；令，则，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.
【点拨】利用两点间距离公式的几何意义，将代数式的最值问题转化为曲线上一点到直线的距离的最小值问题，结合导数求出平行于已知直线的切线切点是解题关键.
9.（2026·石家庄一模）已知函数，，，则
A.
B. 函数的零点为
C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于
D. 若，且，则
【答案】AC
【解析】由，得，A正确.由，得，解得，B错误.，当且仅当即时等号成立，所以曲线上任意一点处切线的斜率，倾斜角不小于，C正确.在和上单调递增，但，，，D错误.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的性质及切线问题.注意基本不等式求最值及分段单调性不能跨定义域区间比较.
10.（2024·广东名校5月押题）若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，，存在，，使成立，A正确.对于B，，不存在，，使成立，B错误.对于C，，存在，使得成立，C正确.对于D，，存在，，使成立，D正确.
【点拨】理解“垂切函数”的新定义，将其转化为导函数的值域中存在两个实数乘积为-1是解题的关键.
11.（2026·东莞二模）若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在，点处的切线交于点，设的斜率为，的斜率为，则
A. 时， B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，时，，又过原点作曲线的切线，设切点为，，则切线方程为，又过，，解得，即过原点与曲线相切的直线方程为，又直线与曲线相交于不同两点，，故A正确；
对于B，不妨取，，则曲线在处的切线方程分别为，，解得，此时，故B错误；
对于C，不妨取，则，曲线在处的切线方程为，设，则，令，解得，时，，单调递减，时，，单调递增，，即（当且仅当时取等），由题易知，，又，所以单调递增，且，，则，故C正确；
对于D，由题可知，，，，不妨取，则，，令，则，令，，令，，时，，在单调递增，，则，在单调递增，则，，即，故D正确.
【点拨】本题考查导数的综合应用，涉及切线方程、函数单调性与最值，构造函数证明不等式是解题难点.
12.（2024·大连育明高中一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可知，令，则，解得，由，得，即，令，得，即，解得.
【点拨】本题考查复合函数的求导法则，通过赋值法求出函数值，再对恒等式两边求导是解题关键.
13.（2026·济宁二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由，得，则曲线在处的切线斜率，所以切线方程为，即.
【点拨】本题考查导数的几何意义，求出导函数后代入切点横坐标得到切线斜率，再用点斜式写出方程即可.
14.（2026·周口一高一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设曲线上的切点为，又因为，所以直线，即.设曲线上的切点为，又因为，所以直线，即.因为是公切线，所以，解得，所以，所以在轴上的截距为.
【点拨】公切线问题通常分别设出两曲线上的切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程组求解.
15.（13分）（2026·南通一模）已知且，函数.
（1） 若，求函数在处的切线方程；
（2） 若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1） 当时，，则，
故， 2 分
时，，故切点为， 4 分
所以在处的切线方程为，
即. 6 分
（2） 函数有两个零点，
方程在上有两个根，
方程在上有两个根，
函数与的图象在上有两个交点， 8 分
设，则，
时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，，当时，，当时，， 10 分
由图得，即，
设，则，
时，；时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为时，且，
所以当时，；当时，，
又因为， 12 分
所以的解集为，
综上所述. 13 分
【点拨】本题考查利用导数研究切线方程及函数的零点问题.处理零点问题时，分离参数并构造函数，利用导数研究其单调性与极值是通法.
16.（15分）（2026·A10联盟4月联考）已知函数，.
（1） 当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标；
（2） 若，且，求证：（其中为的导数）.
（3） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值构成的集合.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】
（1） 当时，，，
设切点坐标为，
则直线的方程为， 2 分
将代入，得，
即. 3 分
令，易知在上单调递增，
又，所以方程有唯一解，
故切点坐标为. 5 分
（2） 证明：，，，
即. 6 分
要证：，即证：，即证：，
又因为，即证. 7 分
令，则，欲证上式成立，等价于证明. 8 分
设函数，则，
是上的增函数，所以，即成立，
. 11 分
（3） ，则，
令，由得或（舍去），
在上，，在上，，
在上单调递增，在上单调递减，
. 13 分
恒成立，.
又，，解得.
综上，的取值集合为. 15 分
【点拨】本题考查导数的综合应用，涉及切线方程、极值点偏移问题及不等式恒成立求参数，利用对数平均不等式或构造函数法处理极值点偏移是难点.
17.（15分）（2024·吉安六校5月联考）已知函数.
（1） 当时，求曲线在处的切线方程；
（2） 若函数有2个零点，求的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1） 当时，，所以， 2 分
所以，因为， 4 分
所以曲线在处的切线方程为，
即. 6 分
（2） ，若，，在上单调递增，不满足题意， 8 分
若，令得，
在上单调递减，在上单调递增， 10 分
且当和时，，
故，解得， 13 分
即的取值范围是. 15 分
【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，通过分类讨论参数确定单调性与极值是解题关键.
18.（17分）（2026·马鞍山二模）曲线在点处的切线为.
（1） 求直线的方程；
（2） 若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1） 因为，所以， 2 分
所以，又， 4 分
所以直线的方程为，即. 6 分
（2） 直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，
即方程在上只有一个解，
即在上只有一个解， 9 分
设，则. 12 分
令得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以. 15 分
又当时，；当时，.
所以要使在上只有一个解，只需.
所以. 17 分
【点拨】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究方程的根，通过分离参数构造函数求最值是解题的常用方法.
19.（17分）（2024·广东名校5月押题）已知函数，.
（1） 曲线与在处的切线分别是，，且，求的方程；
（2） 已知.
（i） 求的取值范围；
（ii） 设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小.
【答案】（1） （2）（i） （ii）
【解析】
（1） ，.
因为两切线平行，所以，即，即.
因为，所以，解得. 3 分
所以直线与曲线相切于点，斜率为0.
所以的方程为，即. 4 分
（2）（i） 设.
设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因，所以. 6 分
若，则当时，，又，，不合题意. 7 分
若，则，不合题意. 8 分
若，则关于的方程有两个不相等实根，设为，所以，且.
当变化时，，变化情况如下表：
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
设，则，同上可证.
所以，，
所以. 9 分
综上所述，的取值范围为. 10 分
（ii） ，
.
设，则，在单调递减.
因为，所以. 12 分
若，则，，，所以存在，使得，.
当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.
是的极大值点，且. 14 分
设，则，所以在区间单调递减，即当时，，①.
所以，所以，即. 15 分
由得，.
设，则，单调递增，
所以.
所以. 17 分
【点拨】本题考查导数的综合应用，涉及切线平行、不等式恒成立求参数范围及极值最值的比较.通过构造函数并利用隐零点代换是解决第二问的关键.
第 2 页，共 17 页第14讲 导数的概念与运算·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若函数在处可导，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（2025·河北五个一·4月联考）已知函数，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2025·江西上进·3月联考）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·江苏南通·一模）函数的图象有公共点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2025·郑州外国语·5月调研）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2025·广东六校·5月联考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知实数满足，，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·河北石家庄·一模）已知函数，，，则（ 　　）
A.
B. 函数的零点为
C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于
D. 若，且，则
10.（2024·广东名校·5月押题）若函数的图象上至少存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（ 　　）
A. B. C. D.
11.（2026·广东东莞·二模）若直线与曲线相交于不同两点，，曲线在，点处的切线交于点，设的斜率为，的斜率为，则（ 　　）
A. 时， B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·山东济宁·二模）曲线在处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·河南周口·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·江苏南通·一模）已知且，函数.
（1） 若，求函数在处的切线方程；
（2） 若函数有两个零点，求实数的取值范围.
16.（15分）（2026·安徽A10·4月联考）已知函数，.
（1） 当时，过点作直线与曲线相切，求切点坐标；
（2） 若，且，求证：（其中为的导数）.
（3） 若关于的不等式恒成立，求实数的取值构成的集合.
17.（15分）（2024·江西吉安·5月联考）已知函数.
（1） 当时，求曲线在处的切线方程；
（2） 若函数有2个零点，求的取值范围.
18.（17分）（2026·安徽马鞍山·二模）曲线在点处的切线为.
（1） 求直线的方程；
（2） 若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值.
19.（17分）（2024·广东名校·5月押题）已知函数，.
（1） 曲线与在处的切线分别是，，且，求的方程；
（2） 已知.
（i） 求的取值范围；
（ii） 设函数的最大值为，比较与（1）中的的大小.
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