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山西省实验中学
2025—2026 学年第二学期第三次模拟测验（卷）
九年级 数 学
（本试卷满分 120分，考试时间 120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．下列四个数中，最小的数是
A． 1 B． 3 C．1 D．0
2．花窗是中国传统建筑中带镂空花纹的装饰窗，窗芯则是花窗内部构成图案的核心部分．下
面选项中的窗芯是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．计算 (a2 )3的结果为
A． 6a B． a5 C． a6 D． a8
4．鲁班锁作为一种传统的、具有中国文化特色的玩具，其设计原理源于中国古代建筑中的榫
卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是
A． B．
C． D．
5．2026 年央视春晚某分会场灯光舞美效果惊艳全场，其中一盏定侧舞台 LED 灯的芯片厚度
仅有 0.00032 米，舞台特效喷雾一粒水雾直径为 0.000056 米．把 0.000056 用科学记数法应
表示为
A．5.6×10 5 B．5.6×10 4 C． 0.56×10 4 D．56×10 6
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6．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分， AB = 3，则四边形 ABCD 的
周长为
A．6 B．9
C．12 D．18
4
7．已知反比例函数 y = ，下列选项正确的是
x
A．点 (1,4)在函数图象上
B．若点 P (m,n)在函数图象上，则点Q ( m, n)也在图象上
C．当 x > 0 时， y > 0
D．y 随 x 的增大而减小
8．物理实验中，物体 A 静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力
G 竖直向下，支持力 F 的方向与斜面垂直，摩擦力 f 的方向与斜面
平行．若斜面的坡角为30°，则α 的度数为
A．100° B．110°
C．120° D．130°
9．下图表示在一定条件下，温度T （单位：℃）对大棚内某种植物光合作用和呼吸作用的影
响，下列说法错误的是
A．当温度为 40℃时，光合作用产氧速率等于呼吸作用耗氧速率
B．在温度从5℃升高到35℃时，光合作用产氧速率随温度的升高而升高
C．若要光合作用产生的氧气越多，则大棚内温度应该设置为35℃
D．温度越高，呼吸作用消耗的氧气就越多
10．在平面直角坐标系中，点 A (a,a +1)是直线 l 上任意一点，则直线 l 一定经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
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二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．因式分解： x2 x = _____．
12．近年来我省新能源产业蓬勃发展，风电场作为新能源发电的重要载体，发电量持续稳步提
升．某风电场 2 月份发电量为 a 万千瓦时，3 月份比 2 月份增长10% ，预计 4 月份的发电量将
比 3 月份增长 20%，则该风电场 4 月份的发电量预计将达到_________万千瓦时．（用含 a 的
代数式表示）
13．在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如
图，在一定时间段内， A， B 之间电流不能正常通过的概率是_____．
14．神舟二十二号载人飞船已于 2025 年11月 25 日成功发射．小轩所在科技小组的同学们用
形状大小相同的基本图形“ ”按照一定规律拼接得到火箭模型图，如图所示，按照此规律，
第12 个模型图需要__________个基本图形“ ”．
15．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连结
BE ，CE ，将△EDC 沿 EC 翻折得到△ EFC ，点 D的对应点
F 恰好落在 EB 上．若 AD =10， tanA = 2，则 AB = _____．
三、解答题（本题共 8个小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分）
1 2
（1）计算： 8 × ( 3+ 5)× 2 1；
2
a a3 a
（2）化简： 1 ÷ ．
a 1 a2 2a +1
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17．（本题 6 分）如图，已知△ ABC ，以 AB为直径的 O与 BC 相切于点 B，交 AC 于点
D．若∠C = 35°， AB = 4 ，求 B D 的长（结果保留 π）．
18．（本题 8 分）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，学校举办了一场名为“经典文化传承大
赛”的初赛，比赛设定满分为 10 分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组 10
人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c 2
（1）在以上成绩统计表中， a =_______，b =______， c =______．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面
的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说
明理由．
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19．（本题 8 分）“端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，长治市某景区为开展非遗手工体
验活动，需采购两种材料：A 类夏布绣材料和B类竹编材料．据了解，市场上B类竹编材料
的单价比A 类夏布绣材料高 5 元/份，购买 5 份A 类材料和 6 份B类材料共花费 250 元．
（1）求A 、B两类材料的单价；
（2）该景区计划采购两类材料共 100 份，且A 类数量不超过B类的两倍，如何采购使总费用
最低？
20．（本题 8 分）某市电视塔是该市的标志性建筑之一，综合实践课上，数学小组开展了测量
该电视塔高度的活动，测量方式如下：先将无人机垂直上升至距水平地面334m 的点 P 处，测
得塔顶端 A 的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行 200m到达点 Q 处，测得塔底端 B 的俯
角为 45°．请根据以上测量数据，求该电视塔 AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：
sin15° ≈ 0.26， cos15° ≈ 0.97 ， tan15° ≈ 0.27， 2 ≈1.414）
21．（本题 9 分）阅读与思考
请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
比中项妙点
【概念理解】
如果三角形一边上的点将该边分成两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边
所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形中该边的“比中项妙点”．
例如，如图 1，在△ABC 中，点 D 是 BC 上的一点，连接 AD ，若 AD2 = BD CD，则称
点 D 是△ABC 中 BC 边的比中项妙点．
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【问题解决】
问题 1：如图 2，在Rt△ABC 中，∠BAC = 90°， AD⊥BC ，垂足为 D，则点 D______
（填“是”或“不是”） △ABC 中 BC 边的比中项妙点．
问题 2：如图 3，点 D 是△ABC 中 BC 边的比中项妙点，延长 AD 至点 E，使得
DE = AD ，连接CE ．求证：∠E = ∠B ．
证明：∵点 D 是△ ABC 中 BC 边的比中项妙点，
∴ AD2 = BD CD，
CD AD
∴ = ．
AD BD
∵ AD = DE ，
……
任务：
（1）问题 1 中的点 D______（填“是”或“不是”）△ABC 中 BC 边的比中项妙点．
（2）请补充问题 2 的证明过程．
（3）如图 4，AB 与 AE 是 O的两条弦，在 AE 上求作一点 C，连接 BC 交 AE 于点 D，使得
D 是△ABC 中 BC 边的比中项妙点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字
母）．
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22．（本题 13 分）综合与实践：
央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状
固定的抛物线．以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为 x轴，竖直向上为 y 轴建立平面
直角坐标系．机器人最大腾空高度为 2 米，此时机器人水平方向也移动了 2 米．舞台上设有长
方体台阶 ABCD ，截面宽 AB =1米，竖直高为 BC =1.5米，请根据上述信息解决下列问题：
E
（1）求图 1 中抛物线的函数表达式；
（2）求机器人第一次落地点与起跳点之间的距离 OE；
（3）若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶 ABCD ，求台阶应放
在离点O 多远处？（求OA的取值范围）
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23．（本题 13 分）综合与探究：
问题情境：在矩形 ABCD 中， AB = 8， AD = 6 ，将矩形 ABCD 绕点 A顺时针旋转得到矩形
AEFG ，其中点 E ， F 分别是点 B ，C 的对应点．
数学思考：（1）如图 1，连接 DG， BE ，请直接写出∠ADG 与∠ABE 的数量关系；
深入探究：（2）如图 2，当点 E 恰好落在边CD 上，连接 BG 交 AE 于点O ，连接 BE ，
求证：OG =OB ；
拓展延伸：（3）在旋转过程中，当 BE = 8时，直线 EB ， DG交于点 H，请直接写出 BH 的
长．
九年级数学 第 8 页 （共 8 页）数学参考答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A A C B C D A
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11． x (x 1)
12．1.32a
3
13．
4
14．26
15．5 5
三、解答题（本题共 8个小题，共 75 分.）
16 1
2

．（1）解： 8 × ( 3+ 5)× 2 1
2
8 1 2 1= × ×
4 2
= 2 1
=1；
a a3 a
（2）解： 1 ÷
a 1 a2 2a +1
a a 1 a3 a= ÷
a 1 a 1 a2 2a +1
1 a3 a
= ÷ 2 a 1 a 2a +1
1 (a 1)2
= ×
a 1 a (a 1)(a 1) +
1
=
a (a +1)
1
= ．
a2 + a
17．解：连接OD ，
答案第 1 页，共 5 页
∵ O与 BC 相切，
∴AB ⊥ BC ．
∴∠ABC = 90°．
∠C = 35°，
∴∠A = 90° ∠C = 55°，
∠BOD 是 B D 所对的圆心角，∠ A 是 B D 所对的圆周角，
∴∠BOD = 2∠A =110°．
AB = 4，
∴OB = 2．
110× π× 2 11
∴B D 的长 = = π． 180 9
18．（1）6，7，7
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是 6 分，而小明得了 7 分，
∴小明在小组中属中游略偏上．
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
∵甲、乙两组学生平均数相同，
S 2 = 2.6 > S 2而 甲 乙 = 2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
19．（1）解：设 A 类材料的单价为 x元/份，则 B 类材料的单价为 (x + 5)元/份，
根据题意得5x + 6(x + 5) = 250，
解得 x = 20，
则 x + 5 = 25
答：A 类材料单价为 20 元/份，B 类材料单价为 25 元/份．
答案第 2 页，共 5 页
（2）解：设采购 A 类材料m 份，则采购 B 类材料 (100 m) 份，
根据题意得m ≤ 2(100 m)，
m 200解得： ≤ ，
3
∵m 为正整数，
∴m 的最大值为 66 ，
此时100 m = 34 ，
答：采购 A 类材料 66 份，B 类材料 34 份时总费用最低．
20．解：如图所示，延长 BA交 PQ 的延长线于点 C，则∠ACQ = 90°，
由题意，得 BC = 334m ， PQ = 200m．
在Rt△BCQ中，∠ BQC = 45°，
∴CQ = BC = 334m ．
∴ PC = PQ +CQ = 200 + 334 = 534m．
在Rt△PCA
AC AC
中， tan∠APC = tan15° = = ≈ 0.27 ，
PC 534
∴ AC =144.18m ．
∴ AB = BC AC = 334 144.18 =189.82 ≈190m ．
答：电视塔 AB的高度约为190m ．
21．(1)是
(2)∵点 D 是 ABC 中 BC 边的比中项妙点，
∴ AD2 = BD CD，
CD AD
∴ = ．
AD BD
∵ AD = DE ，
CD ED
∴ = ．
AD BD
又∵∠CDE = ∠ADB，
∴ CDE∽ ADB ，
答案第 3 页，共 5 页
∴∠E = ∠B ；
(3)作法不唯一，例如，如答图，点 C 即为所求．
22．（1）解：根据题意可知，图 1 中抛物线的顶点坐标为 (2,2)，且过点 (0,0)，
2
设抛物线的解析式为 y = a (x 2) + 2，
2 1
将点 (0,0)代入 y = a (x 2) + 2，得 a = ，
2
y 1∴ 2抛物线的解析式为 = (x 2) + 2 ；
2
1 2
（2）解：将 y = 0代入 y = (x 2) + 2 ，得，
2
1
(x 2)2 + 2 = 0，
2
解得 x = 0 或 x = 4 ，
∴第一次落地点的坐标为 (4,0)，即 OE 长为 4 m．
（3）根据题意，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线，
∴第二次跳跃的抛物线等同于第一次跳跃的抛物线向右平移 4 个单位得到，
1
∴ 2第二次跳跃的抛物线为 y′ = (x 6) + 2 ，
2
将 y =1.5 y′ 1= (x 6)2代入 + 2 ，得，
2
1
(x 6)2 + 2 =1.5，
2
解得 x = 5或 x = 7 ，
1 2
机器人想要越过长方体台阶 ABCD ，则点C 和点 D必须在抛物线 y′ = (x 6) + 2 的内
2
部，
∴ xD ≥ 5，且 xC ≤ 7 ，
∴5 ≤OA ≤ 6．
答案第 4 页，共 5 页
答：台阶应放在离点 O 距离5 6米处，即5 ≤OA ≤ 6．
23．（1）∠ADG = ∠ABE
（2）证明：如图，过点 B 作 BM ⊥ AE 于点 M ，
由旋转可知， AB = AE ，
∴∠ABE = ∠AEB ，
AB∥CD ，
∴∠ABE = ∠CEB ，
∴∠AEB = ∠CEB，
∴BE 平分∠ AEC ，
又 BC ⊥CD ， BM ⊥ AE ，
∴BC = BM ，
由旋转的性质及矩形的性质可知， AG = AD = BC ，
∴AG = BM ，
∠GAO = ∠BMO = 90°，∠AOG = ∠MOB ，
∴ AOG≌ MOB (AAS)，
∴OG =OB ；
（3） BH 的长为3 3 4 或3 3 + 4
答案第 5 页，共 5 页

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