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湘教版八年级下学期期末专题训练——一次函数的实际应用
一、销售问题
1． 2024年巴黎奥运会的官方吉祥物“弗里热”是法国传统的弗里吉亚帽的拟人化形象，颜色有红、蓝、白，与法国国旗颜色吻合.奥林匹克官方旗舰店上架了以“弗里热”为图案的各种商品均深受人们的喜爱.尤其是在全国第40个教师节来临之际，“弗里热”的玩偶和“弗里热”的钢笔作为教师节礼品销量更好，8月售出了玩偶200个和钢笔100支，销售总额为32000元.9月售出了玩偶300个和钢笔200支，销售总额为52000元.
（1）求“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价；
（2）已知“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的成本分别为90元/个和60元/支.进入2024年十月后，这两款商品持续热销，于是旗舰店再购进了这两款商品共600个，其中玩偶的数量不少于200个.为回馈新老客户，旗舰店决定对玩偶降价10%后再销售，若十月份购进的这两款商品全部售出，则玩偶购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润.
2．合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司.市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元.汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆.已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元.
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润=总租金-总支出）
二、方案问题
3．大多数国家都使用摄氏温度(℃)作为温度计量单位，也有一些国家(如美国)的天气预报中使用华氏温度(℉)。两种计量单位之间有如下对应关系：
摄氏C/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏F/℉ 32 50 68 86 104 122
（1）在直角坐标系中描出以上表中各对C(℃)与F(℉)的对应值为坐标的点，观察这些点是否在同一条直线上。
（2） 求出C(℃)关于F(℉)的函数表达式。
（3）求华氏温度为100℉时的摄氏温度。
（4）华氏温度的值与摄氏温度的值有可能相同吗 请说明理由。
4．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）请直接写出，关于的表达式 ；
（2）当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同；
（3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理．
三、行程问题
5．已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题：
（1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______．
（2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？
（3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？
6．小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中。小聪离家的路程s(千米)和所经过的时间t(分)之间的函数关系如图所示。请根据图象回答下列问题：
（1）小聪去超市途中的速度是多少 回家途中的速度是多少
（2）小聪在超市逗留了多少时间
（3）小聪在来去途中，离家1千米处的时间是几分
四、几何问题
7．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求和的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）已知点是直线上的动点，当时，求点的坐标．
8．如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将沿直线CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为　 　；点B的坐标为　 　；
（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；
五、调运问题
9．根据以下素材，完成任务．
素材1 某商店在无促销活动时，若买1件A商品，2件B商品，共需56元；若买2件A商品，1件B商品，共需52元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用外卖配送服务，开展促销活动： ①若消费者使用外卖配送服务，须用25元购买“神券”，则本店内所有商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用外卖配送服务，本店内所有商品一律按标价的八折出售．
问题解决
任务1 （1）该商店无促销活动时，求，商品的销售单价分别是多少？
任务2 （2）小明在促销期间购买，两款商品共30件，其中商品购买件． ①若使用外卖配送商品，共需要 元； ②若不使用外卖配送商品，共需要 元（结果均用含的代数式表示）．
任务3 （3）在（2）的条件下，什么情况下使用外卖配送服务更合算？
10．某市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两个销售点，从A基地运往甲、乙两个销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两个销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件.
（1）设从A基地运往甲销售点的水果为x件，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围.
（2）若总运费不超过18 300元，且从A 地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为x，y元
由题意可得：
解得：
∴“弗里热”玩偶和“弗里热”钢笔的销售单价分别为120，80元.
（2）解：设购进玩偶a个，则购进钢笔(600-a)只，设十月份的利润为w
由题意可得：w=(120-120×10%-90)a+(80-60)(600-a)=-2a+12000
∵-2<0
∴当a取最小值时，w取最大值
∵a≥200
∴a=200时，w的最大值为12000-400=11600元
∴“弗里热”玩偶购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元
2．【答案】（1）解：设每辆汽车的日租金为x元，
依题意得：
解得：65≤x≤150，
又∵x为10的整数倍，
x的最小值为70.
答：每辆汽车的日租金至少为70元；
（2）（2）解：设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，
当m≤150时，w = 40m-20x40-1800 = 40m-2600，
∵40>0，
w随m的增大而增大，
当m = 150时，w取得最大值，最大值= 40 x 150 -2600＝ 3400 （元）；
当m >150时，每天可租出40-x2＝（70-）辆
∴w=（70-）m-（70-）×20-[40-（（70-）]×10-1800
∴当m=180时，w取得最大值，最大值为3580．
又∵3400<3580，
∴该汽车租赁公司一天总利润最多为3580元.
3．【答案】（1）解：在平面直角坐标系中描出坐标如图，可以确定这些点在同一条直线上.
（2）解：设C=kF+b，由题意可得：
，
解得：
，
故；
（3）解：当F=100时，；
（4）解： 华氏温度的值与摄氏温度的值有可能相同，理由如下：
当F=C时，，
解得F=C=-40，
∴华氏温度的值与摄氏温度的值有可能相同.
4．【答案】（1）；
（2）解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同，∴，
解得：；
当租车时间为小时，两个公司所需费用相同．
（3）解：当，∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同；
当，，
∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算；
当，，
∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算．
5．【答案】（1）2.5；1.5
（2）解：小乐从学校回家的平均速度是，
答：小乐从学校回家的平均速度是；
（3）解：小乐从家出发时，离家的距离是，
答：小乐从家出发时，离家的距离是．
6．【答案】（1）解：观察可知，小聪去超市的路程是2千米，所用时间是10分。
根据速度的计算公式，速度=路程÷时间，
所以去超市途中的速度为2÷10=0.2(千米/分钟)，
小聪回家的路程同样是2千米，回家所用时间是60-40=20分钟，
那么回家途中的速度为2÷20=0.1（千米/分钟）.
（2）解：从图象中可以看到，小聪到达超市的时间是10分钟，离开超市的时间是40分钟。
所以在超市逗留的时间为40-10=30（分钟)
（3）解：去超市时：已知去超市的速度是0.2千米/分钟，路程是1千米，
根据时间=路程÷速度，可得去超市途中离家1千米处所用时间为1÷0.2=5（分钟)，
∵小聪上午8：00出发，
∴此时时间是8：05，
回家时：回家的速度是0.1千米/分钟，此时距离家1千米，说明已经走了2-1=1千米。
那么回家途中离家1千米处所用时间为(2-1)÷0.1=10（分钟)，
∵小聪40分钟开始回家，
∴此时时间是40+10=50分钟，即8：50。
7．【答案】（1）解：依题意，将代入，得，
解得．
∴
将代入，得，
解得．
∴；
（2）解：由（1）得出，
∵两个一次函数的图象相交于点．
∴
∴
解得
把代入，解得
∴点的坐标；
（3）解：对于，当时，，
点的坐标为，
对于，当时，
点的坐标为，
，，
，
设点的坐标为，
则，
，
，
解得或，
符合条件的点的坐标为或；
8．【答案】（1）；
（2）解：设，
∵直线CD为折痕，
∴直线CD垂直平分线段AB，
∵A（4，0），B（0，3）
∴OA=4，OB=3
∴，
∵，
∴，
，
解得，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为，
把B（0，3）、坐标代入得
解得
∴直线BC的解析式为．
9．【答案】解：（1）设，商品的销售单价分别是元，元，
由题意可知，，
解得：，
答：，商品的销售单价分别是16元，20元；
（2）①；②；
（3）由题意得：，
解得：，
又∵，且为整数，
∴购买款商品数量小于25得正整数时，使用外卖配送服务更合算．
10．【答案】（1）解：设从A基地运往甲销售点的水果x件，则从A 基地运往乙销售点的水果为(380-x)件，
从B基地运往甲销售点的水果(400-x)件，运往乙销售点的水果(x-80)件，
由题意得W=40x+20(380-x)+15(400-x)+30(x-80)=35x+11200，即W=35x+11 200.
即x的取值范围是80≤x≤380
（2）解：∵A 地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200.
∵k=35>0， ∴运费W随着x的增大而增大，
∴当x=200 时，运费最低，为 35×200+11 200=18 200(元).
此时，从A 基地运往甲销售点的水果200件，从A 基地运往乙销售点的水果180件，从B 基地运往甲销售点的水果200件，运往乙销售点的水果120件.

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