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杭州外国语学校2025-2初二年级期中考试数学试卷
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本试卷分试题卷和答题卷两部分．
3．作图时，请使用2B铅笔，确定后用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．
4．本次考试不得使用计算器．
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
2. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
3. 六边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
4. 估算的值在（ ）
A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间
5. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　）
A. B. C. D.
9. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，，则下列结论中：①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ）
①若，则方程有一根为；
②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若，则方程有两个不相等的实数根．
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
二．填空题（每题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______________．
12. 在平行四边形中，，则的度数是__________．
13. 对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______．
14. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的和平鸽，则图中阴影部分的面积为______．
15. 已知，当分别取自然数时，所对应值的总和是___________
16. 如图，在正方形中，，点在其外角的平分线上，以为边作矩形，点恰好落在边上，边与交于点，连接，．若，则的长为____．
三．解答题（本大题共8小题，72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中找到格点，连接、，使，；
（2）如图②，过点作线段且，点是线段上一点，过点作直线平分四边形的面积，交于点．
20. 已知关于的方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，试求的取值范围．
21. 如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，四边形的面积是30，求的长．
22. 为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件．
（1）求该文创产品平均每次降价的百分率；
（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，
①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额；
②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由．
23. 已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式．
根据以上信息，回答问题：
（1）若，则它的导出多项式_____；
（2）设是的导出多项式．
①若，求关于的方程的解；
②已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值．
24. 如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时，
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：．
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】B
二．填空题（每题3分，共18分）
【11题答案】
【答案】且
【12题答案】
【答案】115度##
【13题答案】
【答案】10
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
三．解答题（本大题共8小题，72分）
【17题答案】
【答案】（1）
10； （2）
【18题答案】
【答案】（1）
，
（2）
，
【19题答案】
【答案】（1）根据网格特点，找出符合条件的格点 D，连接 AD、BD，使 AD=BD，∠ADB=90°
（2）先作出线段 GH，使 GH∥AB 且 GH=AB；再利用矩形中心性质，过四边形中心作直线，平分四边形面积并交 GH 于点 P
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】（1）证明：
∵ ∠ACB=90°，D 是 AB 斜边中点
∴ CD=AD=BD
∵ 点 E 是 AC 中点
∴ DE∥BC
∵ EF∥AB
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形
∴ AD=EF
又∵ AD=CD
∴ CD=EF
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形
又∵ CD=AD
∴ 四边形 CDEF 是菱形。
（2）10
【22题答案】
【答案】（1）该文创产品平均每次降价的百分率为
（2）①每件应降价36元；②我认为小杭同学不能实现目标，理由见详解
【23题答案】
【答案】（1）
（2）①；②
【24题答案】
【答案】（1）①证明：
∵ 四边形 ABCD 是正方形
∴ AB=BC，∠ABC=∠C=90°
∵ AE⊥BF
∴ ∠BAE+∠ABF=90°
又∵ ∠ABF+∠CBF=90°
∴ ∠BAE=∠CBF
在△ABE 和△BCF 中
∠BAE=∠CBF
AB=BC
∠ABE=∠C
∴ △ABE ≌ △BCF (ASA)
∴ AE=BF。
②证明：
延长 HP 交 AB 延长线于点 Q
由平移性质得 AE=BH，AE∥BH
结合①结论 AE=BF，得 BF=BH
∴ ∠BFH=∠BHF
∵ P 为 FH 中点，FP=HP
可证△FBP ≌ △HQP
∴ BP=QP
在 Rt△BQH 中，P 为斜边中点
∴ BP=PH。
（2）

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