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第 6 章 几何图形初步
6.9 余角和补角
知识点 1 余角和补角的定义
1、下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中∠ 与∠ 互补的是( )
A. B. C. D.
2、若∠ + ∠ = 90 ，∠ ∠ = 90 ，则∠ 与∠ 的关系是( )
A. 互补 B. 互余 C. 相等 D.∠ = 90 + ∠
3、如图所示，一位同学把锐角∠ 的顶点放在量角器的中心，
角的边 ， 的读数分别为35 ，85 ，则∠ 的余角度数为( )
A.60 B.55 C.50 D.40
4、若∠ 的余角为57.12 ，则∠ = ____________，∠ 的补角为______________ 。
5、一个锐角的补角比它的余角的 4 倍小30 ，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度
数。
6、如图所示，已知 是直线 上一点，∠ = ∠ = 90 ， 平分∠
(1) 图中与∠ 互余的角有________________；
(2) 图中是否有与∠ 互补的角？如果有，直接写出全部结果；如果没有，说明理由。
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第 6 章 几何图形初步
知识点 2 余角和补角的性质
7、已知∠3 + ∠1 = 180 ，∠1 + ∠2 = 180 ，则∠2 = ∠3，依据是( )
A. 余角的定义 B. 补角的定义
C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等
8、如图，点 在直线 上，从点 引出射线 ，其中射线 平分∠ ，射线 平分∠ ，
下列结论：
①∠ = 90 ；②∠ 与∠ 互补；③若 平分∠ ，则∠ = 150 ；④∠ 的余
1
角可表示为 (∠ ∠ )2
其中正确的是________________。(填序号)
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6.9 余角和补角
知识点 1 余角和补角的定义
1、下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中∠ 与∠ 互补的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
A 选项，∠ 的对顶角和∠ 的对顶角的和为180 45 = 135 ，所以∠ + ∠ = 135 ，不互补，
不符合题意；
B 选项，∠ + ∠ < 180 ，不互补，不符合题意；
C 选项，∠ = 60 ，∠1 = 180 90 30 = 60 ，所以∠ = 180 60 = 120 ，所以∠ +
∠ = 180 ，互为补角，符合题意；
D 选项，∠ + ∠ = 180 90 = 90 ，∠ 与∠ 互余，不互补，不符合题意。故选 C。
2、若∠ + ∠ = 90 ，∠ ∠ = 90 ，则∠ 与∠ 的关系是( )
A. 互补 B. 互余 C. 相等 D.∠ = 90 + ∠
答案：A
解析：已知∠ + ∠ = 90 ①，∠ ∠ = 90 ②，①+②得，∠ + ∠ = 180 ，所以∠
与∠ 的关系是互补。故选 A。
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第 6 章 几何图形初步
3、如图所示，一位同学把锐角∠ 的顶点放在量角器的中心，角的边 ， 的读数分别为
35 ，85 ，则∠ 的余角度数为( )
A.60 B.55 C.50 D.40
答案：D
解析：由题意得，∠ = 85 35 = 50 ，故∠ 的余角度数为90 50 = 40 ，故选 D。
4、若∠ 的余角为57.12 ，则∠ = ____________，∠ 的补角为______________ 。
答案：32 52′48″ ，147.12
解析：因为∠ 的余角为57.12 ，
∠ = 90 57.12 = 32.88 = 32 52′48″，∠ 的补角为180 32.88 = 147.12 。
5、一个锐角的补角比它的余角的 4 倍小30 ，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度
数。
解：设这个锐角为 ，由题意得 180 = 4(90 ) 30，
解得 = 50，90 50 = 40 ，180 50 = 130 。
答：这个锐角的度数为50 ，这个角的余角的度数为40 ，补角的度数为130 。
6、如图所示，已知 是直线 上一点，∠ = ∠ = 90 ， 平分∠
(1) 图中与∠ 互余的角有________________；
答案：∠ ，∠ ，∠
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第 6 章 几何图形初步
解析：题图中与∠ 互余的角有∠ ，∠ ，∠ 。
(2) 图中是否有与∠ 互补的角？如果有，直接写出全部结果；如果没有，说明理由。
答案：有；∠ ，∠
知识点 2 余角和补角的性质
7、已知∠3 + ∠1 = 180 ，∠1 + ∠2 = 180 ，则∠2 = ∠3，依据是( )
A. 余角的定义 B. 补角的定义
C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等
答案：D
解析：因为∠3 + ∠1 = 180 ，∠1 + ∠2 = 180 ，所以∠3是∠1的补角，∠2是∠1的补角，所以
∠2 = ∠3(同角的补角相等)。故选 D。
方法总结：余角、补角的性质：同 (等) 角的余角相等；同 (等) 角的补角相等。这是证明角
相等的依据。
8、如图，点 在直线 上，从点 引出射线 ，其中射线 平分∠ ，射线 平分∠ ，
下列结论：
①∠ = 90 ；②∠ 与∠ 互补；③若 平分∠ ，则∠ = 150 ；④∠ 的余
1
角可表示为 (∠ ∠ )2
其中正确的是________________。(填序号)
答案：①②③④
1
解析：因为 平分∠ ， 平分∠ ，所以∠ = ∠ = ∠ ，∠ = ∠ =2
1 1
∠ ∠ = ∠ + ∠ = (∠ + ∠ )
2 ，所以 2 。
因为∠ + ∠ = 180 ，所以∠ = 90 ，故①正确。
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因为∠ + ∠ = 180 ，∠ = ∠ ，所以∠ + ∠ = 180 ，即∠ 与∠
互补，故②正确。
因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ 。因为∠ = 180 ∠ ，∠ = ∠ ，所以
∠ = 60 ，所以∠ = ∠ + ∠ = 60 + 90 = 150 ，故③正确。
1 1 1
因为∠ = 90 ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ = (∠ ∠ ) = (∠ ∠ )2 2 2 ，
1
∠ + ∠ = 90 ，即∠ 的余角可表示为 (∠ ∠ )2 ，故④正确。
综上所述，正确的有①②③④。
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