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第 5 章 一元一次方程
5.9 积分问题与行程问题
知识点 1 积分问题
1、《九章算术》中，注有 “今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相
反，则分别叫作正数和负数。小圳完成一套共 10 题的小测卷，满分 100 分，答对 1 题记
作 + 10 分，答错 1 题或不答记作 5 分。若小圳最后得 40 分，则小圳最后答对（）
A.4 题 B.6 题 C.5 题 D.7 题
2、为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如
表：
胜一场 平一场 负一场
积分（分） 3 1 0
人均奖金（元） 1500 700 0
当比赛进行到每队比赛完 12 场时，A 队共积分 20 分，并且没有负一场。
(1) 试判断 A 队胜、平各几场。
(2) 每赛一场，A 队每名队员均得出场费 500 元，那么比赛完 12 场后，A 队每名队员所得
奖金与出场费累计为多少元？
知识点 2 行程问题
3、小明计划骑车以每小时 10 千米的速度由 A 地到 B 地，这样便可在规定时间到达 B 地，
但他因事将原计划的出发时间推迟了 10 分钟，便只好以每小时 12 千米的速度前进，结果
比规定时间早 5 分钟到达 B 地，设 A，B 两地相距 千米，则可列方程为（）
10 5 10 5
A. = = +10 60 12 60 B.10 60 12 60
10 5 10 5
C. + = + = +10 60 12 60 D.10 60 12 60
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第 5 章 一元一次方程
4、如图，一个直径为 6 cm 的圆中阴影部分面积为 ，现在这个圆与正方形在同一平面内，
沿同一条直线同时相向无滚动滑动。圆每秒滑动 3 cm，正方形每秒滑动 2 cm，第________秒时，
圆与正方形重叠部分面积是 。
5、某人乘船在顺次有 A、C、B 三地的河流上行驶，先由 A 地顺流而下到 B 地，然后又逆
流而上到 C 地，共乘船 6 h。已知船在静水中的速度是 16 km/h，水流速度是 4 km/h，若 A、
C 两地间的距离为 4 km，设 A、B 两地间的距离为 km。
(1) B、C 两地间的距离为________km（用含有 的式子表示）。
(2) A、B 两地间的距离是________km。
6、甲、乙两地相距 600 km，一辆客车从甲地开往乙地，速度为 60 km/h，一辆出租车从乙
地开往甲地，速度为 100 km/h，两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶。设客车行驶时
间为 h。
(1) 出发多长时间两车相遇（中途不停留）？
(2) 分别写出 = 2， = 5和 = 8 时两车的距离（中途不停留）。
(3) 甲、乙两地之间有 A、B 两个加油站，相距 200 km，若客车进入 A 站加油时，出租车
恰好进入 B 站加油。求 A 加油站到甲地的距离。
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5.9 积分问题与行程问题
知识点 1 积分问题
1、《九章算术》中，注有 “今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相
反，则分别叫作正数和负数。小圳完成一套共 10 题的小测卷，满分 100 分，答对 1 题记
作 + 10 分，答错 1 题或不答记作 5 分。若小圳最后得 40 分，则小圳最后答对（）
A.4 题 B.6 题 C.5 题 D.7 题
答案：B
解析：设小圳最后答对 题，则答错或不答(10 )题。
根据题意得 10 5(10 ) = 40，解得 = 6，所以小圳最后答对 6 题。
2、为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如
表：
胜一场 平一场 负一场
积分（分） 3 1 0
人均奖金（元） 1500 700 0
当比赛进行到每队比赛完 12 场时，A 队共积分 20 分，并且没有负一场。
(1) 试判断 A 队胜、平各几场。
答案：A 队胜 4 场，平 8 场
解析：设 A 队胜 场，则平(12 )场。
由题意得 3 + (12 ) = 20，解得 = 4，所以 12 = 12 4 = 8。
(2) 每赛一场，A 队每名队员均得出场费 500 元，那么比赛完 12 场后，A 队每名队员所得
奖金与出场费累计为多少元？
答案：17600 元
解析：12 场出场费：500 × 12 = 6000（元）
胜场奖金：1500 × 4 = 6000（元）
平场奖金：700 × 8 = 5600（元）
累计：6000 + 6000 + 5600 = 17600（元）
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第 5 章 一元一次方程
知识点 2 行程问题
3、小明计划骑车以每小时 10 千米的速度由 A 地到 B 地，这样便可在规定时间到达 B 地，
但他因事将原计划的出发时间推迟了 10 分钟，便只好以每小时 12 千米的速度前进，结果
比规定时间早 5 分钟到达 B 地，设 A，B 两地相距 千米，则可列方程为（）
10 5 10 5
A. = B. = +
10 60 12 60 10 60 12 60
10 5 10 5
C. + =
10 60 12 60
D. + = +
10 60 12 60
答案：B
10 5
解析：根据题意可列一元一次方程为 = +10 60 12 60。
4、如图，一个直径为 6 cm 的圆中阴影部分面积为 ，现在这个圆与正方形在同一平面内，
沿同一条直线同时相向无滚动滑动。圆每秒滑动 3 cm，正方形每秒滑动 2 cm，第________秒时，
圆与正方形重叠部分面积是 。
答案：4 或 6
解析：
设第 秒时，圆与正方形重叠部分面积为 。
刚接触重叠：2 + 3 + 2 = 22，解得 = 4；
将要分开重叠：2 + 3 (6 + 2) = 22，解得 = 6。
5、某人乘船在顺次有 A、C、B 三地的河流上行驶，先由 A 地顺流而下到 B 地，然后又逆
流而上到 C 地，共乘船 6 h。已知船在静水中的速度是 16 km/h，水流速度是 4 km/h，若 A、
C 两地间的距离为 4 km，设 A、B 两地间的距离为 km。
(1) B、C 两地间的距离为________km（用含有 的式子表示）。
答案：( 4)
解析：A、C 距离 4 km，A、B 距离 km，故 B、C 距离为( 4) km。
(2) A、B 两地间的距离是________km。
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第 5 章 一元一次方程
答案：47.5
4
解析：由题意得 + = 6，解得 = 47.516 + 4 16 4 。
6、甲、乙两地相距 600 km，一辆客车从甲地开往乙地，速度为 60 km/h，一辆出租车从乙
地开往甲地，速度为 100 km/h，两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶。设客车行驶时
间为 h。
(1) 出发多长时间两车相遇（中途不停留）？
15
答案： 4 h
15
解析：根据题意得 60 + 100 = 600，解得 = 4 。
(2) 分别写出 = 2， = 5和 = 8 时两车的距离（中途不停留）。
答案： = 2时相距 280 km； = 5时相距 200 km； = 8 时相距 480 km
解析： = 2：600 2 × (60 + 100) = 280（km）
= 5：5 × (60 + 100) 600 = 200（km）
= 8：出租车已到站，8 × 60 = 480（km）
(3) 甲、乙两地之间有 A、B 两个加油站，相距 200 km，若客车进入 A 站加油时，出租车
恰好进入 B 站加油。求 A 加油站到甲地的距离。
答案：150 km 或 300 km
解析：设 A 到甲地距离为 km。
600 200
A 更靠近甲地： = = 15060 100 ，解得 ；
600 + 200
A 更靠近乙地： = = 30060 100 ，解得 。
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