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广西南宁市邕宁高级中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷
一、单选题
1．设随机变量，则（ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.65 D．0.70
2．等比数列中，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．二项式的展开式中的系数为（ ）
A．60 B． C． D．12
4．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B．在残差图中，残差点在以横轴为中心的水平带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C．样本相关系数，当时，表明成对样本数据间没有相关关系
D．用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10．甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（ ）
A．共有72种安排方法
B．若甲被安排在学校，则有12安排方法
C．若学校需要两名志愿者，则有12种安排方法
D．若甲、乙不能在同一所学校，则有6种安排方法
11．某市以“渤海湾畔 生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线所围成的封闭区域面积等于
B．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为
C．曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为
D．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4
三、填空题
12．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
13．曲线上任意一点到直线的距离的最小值是________．
14．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大.
四、解答题
15．已知数列满足．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．如图，三棱锥中，，，，为的中点．
(1)证明：；
(2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
17．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求关于的回归方程，并预测时成功的人数（精确到1）；
附：经验回归方程系数：，
参考数据：，，（其中，）．
18．已知椭圆的离心率，且过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点，
（i）证明：以线段为直径的圆过点；
（ii）求面积的最大值．
19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)求的最小值．
参考答案
1．B
【详解】因为随机变量，，
所以.
故选：B.
2．A
【详解】因为为等比数列，所以，解得或，
因为等比数列，所以，
则，所以，设公比为，则，
所以．
3．C
【详解】展开式的通项，
令，解得，所以，即的系数为.
故选：C
4．A
【详解】因为，直线的一个方向向量为，
所以有向量与向量为共线，
所以，解得，，
所以，
故选：A.
5．A
【详解】由图可知当时，，当时，，
所以的解集为．
故选：A
6．C
【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能，
设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，
所以事件包含的样本点个数有个，
所以，
事件包含的基本事件有：，
所以，
所以.
故选：C.
7．C
【详解】如图：由题有，由双曲线性质有，
所以.所以，
所以.又双曲线方程，则，
所以，则双曲线离心率.
8．D
【详解】令，
所以．
令，定义域为，
令，易知在上单调递增，且．
所以，
则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；当时，，
则，解得，即实数的取值范围是．
故选：D．
9．ABD
【详解】对于A，使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本对应的总体，故A正确；
对于B，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的波动幅度越小，模型对样本数据的拟合精度越高，拟合效果越好，故B正确；
对于C，当时，表示成对样本数据之间不存在线性相关关系，仍可能存在非线性相关关系，并不是没有相关关系，故C错误；
对于D，决定系数的计算公式为，其中是残差平方和，对于同一组数据，越大，残差平方和越小，拟合效果越好，故D正确.
10．BC
【详解】所有安排方法有种，故A错误；
若甲被安排在学校，则有种安排方法，故B正确；
若学校需要两名志愿者，则有种安排方法，故C正确；
若甲、乙被安排在同一所学校，则有种安排方法，
所以若甲、乙不能在同一所学校，共有种方法，故D错误．
故选：BC．
11．ABD
【详解】对于A，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为，
所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积，
所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故A正确；
对于B，直线过原点，所以直线必和曲线有一个交点，
再以第一象限为例，圆心到直线的距离，化简得，
即当时直线与圆相切，且切点为，同理可分析其他各个象限，由图象可知当时，直线与曲线有唯一公共点，故B正确；
对于C.当直线与切线的距离为时，则，解得或；
故恰好存在3个不同点到直线的距离为C错误；
对于D，因为点到点与到点的距离之差为4，
所以点在以为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，
方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以D正确.
12．0.01
【详解】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
故答案为：0.01.
13．
【详解】如图，所求最小值即曲线上斜率为的切线与两平行线间的距离，
也即切点到直线的距离．
由，则，得，，
即与直线平行的曲线的切线，切点坐标是，
所以上任意一点到直线的距离的最小值为．
14．7或8
【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次，
因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下，
所以落入2号球槽的概率为，
设80个小球落入2号球槽的个数为X，则，
令最大，则，
即，
解得，因为，
所以2号球槽中落入或个小球的概率最大.
15．(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）证明：显然，对两边同时取倒数，
得，即，
所以数列是公差为2的等差数列，
又，所以，
所以．
（2）因为，
所以，
则数列的前项和
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以为等边三角形，则.
同理，因为，
所以为等边三角形，则，所以.
因为为的中点，所以.
又因为,为的中点，所以.
因为平面， 所以平面,
因为平面， 所以.
（2）不妨设由（1）可知.
在中，，， 所以.
因为为的中点，所以，.
在中，， 所以
在中，， 所以.
由（1）知平面，且平面， 所以，
故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
则
所以,.
因为， 所以
所以.
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为
17．(1)
数学期望
(2)回归方程为 ，时预测成功人数为.
【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3，
所以；
；
；
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望为．
（2）令，则，
由题知：，
，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，．
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）9
【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的方程为，又椭圆过点，
所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）（i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于，
由，得，整理得，
所以，，
又，
所以
，
所以，所以以线段为直径的圆过点；
（ii）因为直线过定点，
所以
，
令，
则
所以，可得，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即，所以.
所以当时，面积的最大值为9．
19．(1),
(2)
(3)0
【详解】（1）求导易知,.
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由,
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，
则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3），，
令，则；
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．

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