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2026 年齐齐哈尔地区中考数学模拟试卷四
一．选择题（每小题 3 分，满分 30 分）
1．﹣2026的绝对值是（ ）
1
A．2026 B．﹣2026 C D 1． ．
2026 2026
2．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算错误的是（ ）
A．（m2）3＝m6 B．a10÷a9＝a C．x3 x2＝x6 D．3 2 + 2 3 = 5 5
4．如图，小茗同学在物理实验操作课中观察光的折射现象，
发现水平放置的水杯底部有一束光线从水中射向空气时要发生
折射．当入射光线和水杯的底面成 75°，折射光线与水杯口
平面成 65°时，∠1的度数是（ ）
A．155° B．160° C．165° D．170°
5．下列几何体都是由 5 个棱长为 1的正方体组成的，从左面看它们的形状图，其中与其他三个不同的是
（ ）
A． B． C． D．
1 5
6．若关于 x的分式方程 + = 1 无解，则 m的值是（ ）
3 3
A．1或 2 B．2或 3 C．1或 3 D．3或 0
7．不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有 2026年米兰﹣科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除
图案外三张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张
卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
8．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用 1200元购买足球和篮球（两种都要买）用于课外活动，
其中足球 80元/个，篮球 120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
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9．如图， ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点 P沿 A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为 2cm/s，
同时动点 Q从点 A向点 D匀速运动，运动速度为 1cm/s，点 Q到点 D时两点同时停止运动，设点 Q走
过的路程为 x（s），△APQ的面积为 y（cm2），能大致刻画 y与 x的函数关系的图象是（ ）
A. B． C． D．

10．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线 x＝1，则下列结论：① ＜0；

②a﹣b+c＜0；③am2+bm≥a+b（m为任意实数）；④8a+c＜0；⑤若 P（x1，n），N（x2，n）是抛物
线上不同的两个点，则 x1+x2≥2．其中正确的结论的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
11．染色体是细胞核中遗传物质 DNA的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，1号染色体共
有超过 249000000个碱基对，将 249000000用科学记数法可表示为 ．
12．一个圆锥的高为 4 2底面圆的半径为 2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 ．
13．如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线 DE和射线 AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，∠
C＝48°，则∠EAF的度数为 ．
第 2页（共 2页）
14．如图，在平面直角坐标系 xOy中，△AOB的边
OB在 y轴上，边 AB与 x轴交于点 C，且 BC＝2AC，

反比例函数 = ( ≠ 0)的图象经过点 A，若 S△OBC＝6，
则该反比例函数的表达式是 ．
15．在矩形 ABCD中，AB＝9，AD＝12，点 E在边 CD上，且 CE＝4，P是直线 BC上的一个动点．若△
APE是直角三角形，则 CP的长为 ．
16．如图，在坐标系中放置一菱形 OABC，已知∠ABC＝60°，点 B在 y轴上，OA＝1，先将菱形 OABC
沿 x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转 60°，连续翻转 2026次，点 B的落点依次为 B1，B2，B3，…，
则 B2026的坐标为 ．
三．解答题（本题共 8 道大题，共 72 分）
17．（本题共 2 个小题，第（1）题 5 分，第（2）题 4 分，共 9 分）
（1 1）计算：( 3 1)0 + ( 2 33 ) + | 3 2| +tan60°； （2）因式分解：m ﹣4m．
18.（本题满分 4 分） 19．（本题满分 5 分）
3( 1)＞8
解不等式组： 2 +4 ． 解方程：（x+1） ﹣4（x+1）＝5．
2 ≤
第 3页（共 3页）
20．（本题满分 8 分）
随着科技的不断发展，越来越多的中学生拥有了自己的手机，某中学课外兴趣小组为了了解中学生每
周使用手机的时间，随机抽取了该校部分使用手机的中学生进行调查（问卷调查表如下所示），并利用调
查结果绘制了图①②两幅“中学生每周使用手机的时间统计图”（均不完整），请根据统计图表解答以下
问题：
中学生每周使用手机的时间问卷调查表
您好！这是一份关于您平均每周使用手机时间的问卷调查表，请
在表格中选择一项符合您使用时间的选项，在其后空格内打“√”，
非常感谢您的合作．
选项 使用时间 t（时）
A 0＜t≤2
B 2＜t≤2.5
C 2.5＜t≤3
Dt＞3
（1）本次接受问卷调查的共有 人，在扇形统计图中“D”选项所占的百分比
为 ；
（2）在扇形统计图中，“B”选项所对应扇形的圆心角为 度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有 1200名中学生，请你估计该校每周使用手机的时间在“A”选项的有多少名学生．
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21．（本题满分 10 分）
如图，AB是⊙O的直径，点 C为⊙O一点，过点 A作⊙O的切线交 BC的延长线于点 D．连接 AC，
OC，过点 A作 OC的垂线，交 OC，BC于点 G，E，交⊙O于另一点 F．
（1）求证：AE＝AD；
3
（2 10）若 = ， = 2 ，求 AD的长． 2
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22.（本题满分 10 分）
一列快车与一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了 2h，沿原路仍以原速度
返回甲地．已知快、慢两车到甲地的距离 y（km）与行驶的时间 x（h）之间的函数关系分别如图中折线 O
﹣B﹣C﹣D和线段 OA所示．
（1）甲、乙两地相距 km，快车的行驶速度是 km/h，慢车的行驶速度是
km/h；
（2）求图中点 E的坐标，并解释点 E的实际意义；
（3）慢车出发多长时间后，两车相距 200km？（请直接写出答案）
第 6页（共 6页）
23.（本题满分 12 分）
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题目：如图 1，在等边△ABC中，点 D、E，分别在 AC，
BC边上，AE，BD交于点 F，且 AD＝CE．
（1）线段 AE，BD的数量关系为 ，∠BFE的度数为 ；
【类比探究】老师继续提出问题，若改变△ABC的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？你们试一试!
同学们根据老师的提问画出图形，如图 2，若△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点 D，E分别
在 AC，BC边上，AE，BD交于点 F，同学们探究发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需
要确定线段 AD，CE的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段 AD，CE的数量关系为 ；再根据图 2写出
线段 AE，BD的数量关系和∠BFE的度数，并说明理由．
【拓展探究】
（3）如图 3，△ABC是等腰直角三角形，AB＝4，若点 D沿 AC边上一动点，点 E是射线 CB上一动点，
直线 AE，BD交于点 F，在（2）的条件下，当动点 D沿 AC边从点 A移动到点 C（与点 C重合）时，
请直接写出运动过程中 CF长的最大值和最小值．
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24．（本题满分 14 分）
如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴交于 A（﹣1，0），B（4，0）两点，与 y轴交于点 C．OB＝2OC，连
接 BC．
（1）求抛
物线的解析式，并直接写出直线 BC的函数表达式；
（2）点 D是第四象限内抛物线上一点，过点 C作 CE∥x轴，交抛物线于点 E，当 CE平分∠BCD时，
求点 D坐标；
（3）若点 M是抛物线上的一点，过点 M作 MN∥y轴交直线 BC于点 N，Q是平面内一点，当以点 B，
M，N，Q为顶点的四边形为菱形时，求出点 Q的坐标；
（4 5）如图 2，若以 A为圆心，1为半径作⊙O，P为⊙O上一动点，直接写出 + 5 的最小值．
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2026 年齐齐哈尔地区中考数学模拟试卷四
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D B A B C D B
一．选择题（共 10 小题）
1．解：﹣2026的绝对值为：|﹣2026|＝2026．
2．解：根据中心对称和轴对称图形的定义可得，
A、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
B、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
D、选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，所以此选项符合题意；
3．解：（m2）3＝m2×3＝m6，故选项 A运算正确；
a10÷a9 ﹣＝a10 9＝a，故选项 B运算正确；
x3 x2＝x3+2＝x5≠x6，故选项 C运算错误；
3 2与 2 3不是同类二次根式，所以 3 2 +2 3 ≠5 5，故选项 D运算正确．
4．解：如图所示，
∵水面与底面平行，
∴∠2+∠4＝180°．
又∵∠4＝75°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°．
∵水面与水杯口的平面平行，
∴∠3＝65°，
∴∠1＝∠2+∠3＝105°+65°＝170°．
5．解：选项 A、C、D从左面看得到的图形为 ，
选项 B从左面看得到的图形为 ，
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可以看出只有选项 B从左面看得到的图形与其他选项从左面看得到的图形不同，
1 5
6．解： + = 1，
3 3
去分母，得 mx﹣1﹣5＝x﹣3，
（m﹣1）x＝3①，
∵关于 x的分式方程无解，
∴当 m﹣1＝0或最简公分母 x﹣3＝0时，原方程无解，
把 x＝3代入到方程①中，得 m＝2，
综上 m的值为 1或 2，
7．解：将三张卡片分别记为 A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有 9种等可能的结果，其中两次记录的图案是相同奖牌图案的结果有 3种，
3 1
∴两次记录的图案是相同奖牌图案的概率为 = ．
9 3
8．解：设购买 x个足球，y个篮球，
根据题意得：80x+120y＝1200，
整理得：y＝10 23x，
又∵x、y均为正整数，
= 3 = 6 = 9 = 12
∴ = 8或 = 6或 = 4或 = 2 ，
∴共有 4种购买方案．
9．解：当 0≤x≤2时，
y= 12x 3 =
3 2
2 ，
∴0≤x≤2时，y随着 x的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项 A，B、C错
误．
10 ．解：由二次函数的图象可得：a＜0，c＞0， 2 = 1，
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∴b＝﹣2a＞0，

∴ ＜0，故①正确，符合题意；

由图象可得：当 x＝﹣1，y＝a﹣b+c＜0，故②正确，符合题意；
由二次函数的性质可得，当 x＝1时，二次函数取得最大值为 a+b+c，故 am2+bm+c≤a+b+c，即 am2+bm
≤a+b（m为任意实数），故③错误，不符合题意；
由图象可得：当 x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝8a+c＜0，故④正确，符合题意；
∵若 P（x1，n），N（x2，n）是抛物线上不同的两个点，且两个点的纵坐标相等，
∴P（x1，n），N（x2，n）关于对称轴对称，
∴x1+x2＝2，故⑤错误，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，共 3个，
二．填空题（共 6 小题）
11．解：249000000＝2.49×108．
12．解：母线长为 (4 2)2 + 22 =6，
设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 n°，
×6
根据题意得 2π×2= 180 ，
解得 n＝120，
即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 120°．
13．解：∵∠B＝38°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣48°＝94°，
由作图可得 DE垂直平分 AB，AF平分∠CAE，
1
∴BE＝AE，∠ = 2∠ ，
∴∠BAE＝∠B＝38°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝94°﹣38°＝56°，
∠ = 1∴ 2∠ = 28°，
14．解：如图，作 A过 x轴的垂线与 x轴交于 D，
则 AD∥OB，
∴△ADC∽△BOC，
1 1
∴S△ADC：S△BOC＝（ ）2= 4
， = = ，
2
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∵S△OBC＝6，
3
∴S△ADC= 2，
∴S△AOC＝2S△ADC＝3，
S = 3 +3= 9∴ △AOD 2 2，
1
∴ |k|= 9，
2 2
∵k＜0，
∴k＝﹣9，
9
∴反比例函数表达式为 y= ．
15．解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：
①如图 1，∠AEP＝90°，
∴∠AED+∠CEP＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEP+∠CPE＝90°，
∴∠AED＝∠CPE，
∴△ADE∽△ECP，

∴ = ，

12 9 4
∴ = ，
4
5
∴CP= 3；
②如图 2，∠PAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，
∴∠DAE＝∠BAP，
∵∠D＝∠ABP＝90°，
∴△ADE∽△ABP，

∴ = ，

12 5
∴ = ，
9
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∴BP= 154 ，
CP＝BP+BC= 634 ；
③如图 3，∠APE＝90°，设 BP＝x，则 PC＝12﹣x，
同理得：△ABP∽△PCE，

∴ = ，

9
∴ = ，
12 4
∴x1＝x2＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝BC﹣BP＝6；
5 63
综上，CP的长是 或 或 6．
3 4
16．解：连接 AC，如图，
∵四边形 OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
画出第 5次、第 6次、第 7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转 6次，图形向右平移 4．
∵2017＝336×6+1，2026=337×6+4
∴点 B1向右平移 1344（即 336×4）到点 B2026．
3
∵B1的坐标为（1.5， ），B4的坐标为（2,0）2
∴B2026的坐标为（2+1348，0）
∴B2026的坐标为（1350，0）
三．解答题（共 8 小题）
17．解：（1）原式= 1 + 9 ( 3 2) + 3
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= 1 + 9 3 + 2 + 3
＝12；
（2）m3﹣4m
＝m（m2﹣4）
＝m（m+2）（m﹣2）．
3( 1)＞8 ①
18．解：解不等式组： +4 ，
2 ≤ ②
解不等式①，得 x 11＞ 4 ，
解不等式②，得 x≥4，
∴不等式组的解集为 x≥4．
19．解：移项，得（x+1）2﹣4（x+1）﹣5＝0，
（x+1﹣5）（x+1+1）＝0，
x+1﹣5＝0或 x+1+1＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
20．解：（1）本次接受问卷调查的共有：50÷50%＝100（人），
扇形统计图中“D”选项所占的百分比为：
10
× 100% = 10%，
100
故答案为：100；10%．
（2）在扇形统计图中，“B”选项所对应扇形的圆心角为：
360° × 20100 = 72°，
故答案为：72．
（3）A项中人数为：100﹣20﹣50﹣10＝20（人），
补全条形统计图如图所示：
20
（4）1200 × 100 = 240（名），
答：该校每周使用手机的时间在“A”选项的有 240名学生．
21．（1）证明：AB是⊙O的直径，点 C为⊙O一点，过点 A作⊙O的切线交 BC的延长线于点 D．
∵AD是切线，AB是直径，
∴AD⊥AB，即∠BAD＝90°，
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∴∠D+∠ABD＝90°，
∵AF⊥OC，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCE+∠GEC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC+∠AEC＝90°，
∴∠D＝∠AEC，
∴AD＝AE．
（2）解：由题意可得：∠AFB＝90°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∴OC∥BF，
∴△AOG∽△ABF，
1
∴ = = = ，
2
∴ = 2 = 2 × 10 12 = 10， = 2 ，
∵OC∥BF，
∴△CEG∽△BEF，
3
∴ = = = ，
2
∴ = 32 =
3
2 10，
∴ = + = 10 3 102 + 2 = 2 10，
∴ = = = 2 10，
∴ = 2 = 4 10，
∴ = 2 2 = (4 10)2 ( 10)2 = 5 6，
1
∵ = 2 ，
∴ = 12 =
5 6
2 ，
3
∵ = ，GE+FE＝GF，
2
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∴ = 25 = 6，
∴ = = 5 6 6 = 4 6，
∴ = = 4 6．
22．解：（1）甲、乙两地相距 600km，快车的行驶速度是 600÷6＝100（km/h），慢车的行驶速度是 600
÷12＝50（km/h）．
故答案为：600，100，50．
（2）线段 OA所在直线的函数关系式为 y＝50x（0≤x≤12）．
6+2+6＝14（h），
∴D（14，0），
y＝600﹣100（x﹣8）＝﹣100x+1400，
∴线段 CD所在直线的函数关系式为 y＝﹣100x+1400（8＜x≤14）．
= 50
根据题意，得 = 100 + 1400，
= 140
解得 15
= 1400
，
3
28 1400 28 1400
∴点 E的坐标是（ ， ），其实际意义表示两车于出发后 h在距甲地 km的地方相遇．
3 3 3 3
（3）线段 OB所在直线的函数关系式为 y＝100x（0≤x≤6），
100 (0 ≤ ≤ 6)
∴快车到甲地的距离 y（km）与行驶的时间 x（h）之间的函数关系为 600(6＜ ≤ 8) ．
100 + 1400(8＜ ≤ 14)
当 0≤x≤6，两车相距 200km时，得 100x﹣50x＝200，
解得 x＝4；
当 6＜x≤8，两车相距 200km时，得 600﹣50x＝200，
解得 x＝8；
当 8＜x≤12，两车相距 200km时，得|﹣100x+1400﹣50x|＝200，
32
解得 x＝8（舍去）或 ；
3
当 12＜x≤14，两车相距 200km时，得 600﹣（﹣100x+1400）＝200，
解得 x＝10（舍去）．
32
综上，x＝4或 8或 ．
3
32
答：慢车出发 4h或 8h或 h后，两车相距 200km
3
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23．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACE＝60°，
又∵AD＝CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，
故答案为：AE＝BD，60°；
（2）补充条件：CE= 2 ，
AE= 2BD，∠BFE＝45°；
理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°， = 2，


∵CE= 2AD，即 = 2．


∴ = = 2，

∴△CAE∽△ABD．

∴∠CAE＝∠ABD， = = 2，即 AE= 2BD；

∴∠BFE＝∠ABD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝45°；
（3）CF长的最小值为 2 10 2 2，最大值为 8．理由如下：
由题意，可知点 F在以 AB为弦．所对圆心角为 90°的⊙O上（∠BFE＝45°，则∠BFA＝135°，劣弧
AB所对的圆周角是 45°）．
2
如图 1所示，∠AOB＝90°．∵OA＝OB，∴OA= 2 AB＝2 2．
连接 OC．当点 F在线段 OC上时，CF取得最小值，
如图 3.1所示，此时∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OC= 2 + 2 =2 10．
∴CF长的最小值为 2 10 2 2．
当点 D移动到点 C时，点 F与点 E重合，此时 CF取得最大值．
如图 3.2所示，由（2），知 CE= 2AC＝8．
∴CF长的最大值为 8．
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24．解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c与 x轴交于 A（﹣1，0），B（4，0），OB＝2OC，
∴y＝a（x+1）（x﹣4），C（0，﹣2），
∴﹣2＝a （﹣4），
1
∴a= 2，
1 1 3
∴y= 2 ( + 1)( 4) =
2
2 2 2；
设直线 BC的解析式为：y＝kx+m，
= 2
∴ 4 + = 0，
1
∴ = 2 ，
= 2
1
∴直线 BC的解析式为：y= 2 2；
（2）∵CE∥x轴，CE平分∠BCD，
1 1 3 1
∴直线 CD的解析式为：y= 2 2，由
2 2 = 2得，
2 2 2
x 2 x 11＝ ， 2＝0（舍去），当 x＝2时，y= 2 × 2 2 = 3，
∴D（2，﹣3）；
1 1
（3）设 M（m ( + 1)( 4))），N（m， ( 4))，
2 2
∵B 1（4，0），∴ 2 = ( 4)2 + 2 24 ( + 1) ( 4) ，
2 = ( 4)2 + 14 ( 4)
2 1， 2 = 4 ( 4)
2 2，
当 BM＝BN时，( 4)2 + 14 ( + 1)
2( 4)2 = ( 4)2 + 14 ( 4)
2，
m1＝﹣2，m2＝0（舍去），
1
∵ × ( 2) 2 = 3，∴N（﹣2，﹣3），M（﹣2，3），
2
∵﹣2×2﹣4＝﹣8，∴Q（﹣8，0），
当 BM＝MN时，
( 4)2 + 14 ( + 1)
2( 4)2 = 1 2 24 ( 4) ，
5
∴m= 2，
1 5 13 1 5 3 5 39
∵ × ( ) 2 = ， × ( )2 × ( ) 2 = ，
2 2 4 2 2 2 2 16
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N 5∴ （ 2，
13
4 )， (
5 39
2， 16 )，
∴Q 91（4， 16），
当 BN＝MN时，
( 4)2 + 1 ( 4)2 = 1 ( 4)2 24 4 ，
∴m=± 5，
当 m= 5时，N（ 5 5 4 1 3 5， 2 ），M（ 5， 2 ），
5 4 5
∴Q（4， ）
2
1+3 5
当 m= 5 5 4时，N（ 5. 2 ），M（ 5， ），2
5+4 5
∴Q（4， ），
2
91 5 4 5 5+4 5
综上所述：Q（﹣8，0）或（4， 16）或（4， ）或（4， ）；2 2
（4 5）如图，连接 AP，AC，在 AC上截取 AW= 5 ，连接 PW，
∵AC= 5，AP＝1，

∴ = ，

∵∠PAW＝∠CAP，
∴△APW∽△ACP，
5
∴ = = ，
5
∴PW= 55 ，
∴ + 55 =PB+PW≥BW，当 B、P、W共线时，等号成立，
作 WV⊥AB于 V，∴WV∥OC，
1
∴△AWV∽△ACO，∴ = = = ，
5
1 2 1 24
∴AV= 5，WV= 5，∴BV＝AB﹣AV＝5 5 = 5 ，
24
∴BW= 2 + 2 = ( )2 2 2 2 1455 + ( 5 ) = 5 ，
+ 5
2 145
∴ 5 的最小值为： ．5
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