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2026 年齐齐哈尔地区中考数学模拟试卷五
一、单选题（每小题 3 分，满分 30 分）
1．2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（ ）
1 1
A．2026 B． 2026 C． D．
2026 2026
2．下列的音符图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．5 3 18 8 3 B． 2a2 3b 6a2b3 C 2 6 3． a b a2 b2 D． a a a3
4．一副三角板如图所示摆放，若 1 80 ，则 2的度数是（ ）
A．70 B．80 C．95 D．100
5．用若干个大小相同、棱长为 1的小正方体搭成一个几何体模型，其三视图如下图所示，则搭成这个几
何体模型所用的小正方体的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
x 3x m6．若关于 的分式方程 1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x 2 2 x
A．m 2 B．m 2
C．m 2且m 6 D．m 2且m 6
7．我国计划在 2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科
普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五
个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
10 5 25 4
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8．在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班50名学生分成 4人或6人
学习小组，则分组方案有（ ）
A．1种 B． 2种 C．3种 D． 4种
9．如图，在边长为 4的菱形 ABCD中， ABC 120 ，动点 P从点 A出发，沿边 AB BC匀速运动，运
动到点 C时停止，过点 P作 AB的垂线交菱形的边于另一点 Q，在点 P运动的过程中，记△APQ的面积为
y，点 P运动的路程为 x，则 y与 x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知顶点为 3, 6 的抛物线 y ax2 bx c过 1, 4 ．则下列结论：
① abc 0；
②对于任意实数m，均有 am2 bm c 6 0；
③ 5a c 4；
④若 ax2 bx c 4，则 x 1；
4
⑤ a ．
5
其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分）
11．据测量，一根眼睫毛的粗细只有 0.0000013米，用科学记数法表示为__________米．
12．若一个圆锥的母线长为 25cm，高为15cm，则该圆锥展开后对应的圆心角的度数为________°．
13．如图， EF是△ABC的中位线，按以下步骤作图：
①以点 B为圆心，小于 BE的长为半径画弧，分别交BA， BC于点 M，N；
1
②分别以点 M，N圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点 P；
2
③作射线 BP交 EF于点 D．若 AE 2，DF 1，则 BC长为________．
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k
14．如图， A， B是反比例函数 y (k 0, x 0)图象上的点，x
过点 A作 AC x轴于点C，连接 BC并延长，交 y轴于点D，
连接 AB， AD，若 BC :CD 2 : 3， S△ABC 10，
则 k的值为_______．
15．已知菱形 ABCD中 AB 2， ABC 60 ，对角线交于点O，点 P为线段OD上一动点，连接 AP，将△APD
沿 AP折叠得到对应△APE， AE与 BD交于点 Q，当 AE与菱形的边垂直时，线段 BQ的长度为________．
16．如图，在平面直角坐标系中，OA1 OB1， A1OB1 120 ，将△A1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规
律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120 的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形△A2OB2，点

A1 1,0 的对应点为 A2 1, 3 3 3 3；第二次变化后得到等腰三角形 A3OB3，点 A2的对应点为 A3 ,2 2 ；
第三次变化后得到等腰三角形△A4OB4，点 A3的对应点为 A4 4,0 ，依此规律，则第 2026个等腰三角形中，
点 B2026的坐标是______．
三、解答题（本题共 8 道大题，共 72 分）
17．（本题共 2 个小题，第（1）题 5 分，第（2）题 4 分，共 9 分）
1 2
（1）计算： 3 8 3 2 4sin 60
1
（2）分解因式： 2ax3 12ax2 18ax ．
3 2 3
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18.（本题满分 4 分） 19．（本题满分 5 分）

5x 2 3 x 1 2
解不等式组： 4x 1 10 4x 1 24 0
2x 2
解方程：

x 1
3
20．（本题满分 8 分）为增强学生网络安全意识，某校举行了网络安全知识竞赛，并从中随机抽取了部分
学生的竞赛成绩进行分析，把成绩（满分 100分，所有竞赛成绩不低于 60分）分成 4组（A： 60 x 70，
B：70 x 80，C：80 x 90，D：90 x 100），并根据分析结果绘制了如下尚不完整的频数分布直方图
和扇形统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
(1)随机抽取了 名学生的竞赛成绩进行分析，m ；
(2)请补全频数分布直方图，扇形C的圆心角的度数为 °；
(3)若竞赛成绩在80分及80分以上的学生获奖，该校共有 2500名学生参加竞赛，请你估计获奖的学生大约
有多少人？
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21．（本题满分 10 分）如图，在平行四边形 ABCD中，AC是对角线， CAB 90 ，以点 A为圆心，以 AB
的长为半径作 A，交 BC边于点 E，交 AC于点 F ，连接DE．
(1)求证：DE与 A相切；
(2)若 ABC 60 ， AB 6，求阴影部分的面积．
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22．（本题满分 10 分）某地区的甲乙两地相距 240km，一辆货车从甲地出发匀速开往乙地，货车出发 2h后，
一辆小汽车从乙地出发匀速开往甲地，两车同时到达各自的目的地．已两车行驶的路程之和 y km 与货车
行驶的时间 x h 之间的函数关系如图所示．
(1)货车的速度是_______km / h，a _______，b _______．
(2)当3 x 6时，求 y关于 x的函数解析式．
(3)当两车相距100km时，直接写出 x的值．
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23．（本题满分 12 分）数形思维社团在开展社团活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，
并提出了以下问题：
【问题初探】
（1）如图 1，在正方形 ABCD中，点G、H 分别是边 BC、CD的中点，则线段 AH与DG的位置关系是
_______________．
（2）如图 2，在矩形 ABCD中， AB 6, AD 4，点 E是CD上的动点，连接 AE，过点 B作 BF AE于点
G，交CD于点 F． 问题：当 E为CD中点时，求 AG的长度．
【类比探究】
（3）如图 3，在四边形 ABCD中， B C 90 ，点 E为BC上一点，连接DE，过点 A作 AH ED交 ED
的延长线于点 H ，交CD的延长线于点 F ．
问题：若 BC 8,CD 6，且CE 2，求 AF 的长度．
【拓展延伸】
（4）如图 4， 在平行四边形 ABCD中， ACD 90 , AB 3, AC 4，点 E是BC上一动点，将 ABE沿 AE
翻折，使点 B落在点 F 处，连接CF．
问题：①当点 E是 BC的中点时，求CF的长度；
②当CF最小时，△CEF 的面积为_____________．
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24．（本题满分 14 分）
1 2 1
如图，抛物线 y x x 6与直线 y x m交于 B 6,0 和C 0, 6 两点，抛物线与 x轴的另一个交点为
4 2
A，连接 AC， BC，P是直线BC下方抛物线上一点．
(1)求 m的值；
(2)如图 1，过点 P作PN平行于 y轴交 BC于 N，求 PN最大值；
S 3
(3) ABD如图 2，连接 AP，交 BC于点 D，若 S ，求点 P的坐标； ABC 5
2
(4)如图 3，将OA绕点 O旋转至OA ，连接 BA ，CA ，试求出CA BA 的最小值.
3
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2026 年齐齐哈尔地区中考数学模拟试卷五
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C B D A D C B
1．解：∵绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数，
∴2026的相反数是 2026．
故选：B．
2．解：选项 A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项 B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项 C既
不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项 D是轴对称图形，不是中心对称图形；
则只有选项 B符合题意．
3．解：A、5 3 与 18 3 2不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
3
B、 2a2b 8a6b3，故本选项错误，不符合题意；
C 2、 a b a2 2ab b2，故本选项错误，不符合题意；
D 6 3、 a a a3，故本选项正确，符合题意；
4．解：如图，
∵ 1 45 3， 2 5 4 60 4， 3 4，
∴ 3 4 1 45 35 ，
∴ 2 4 5 35 60 95 ，
5解：这个几何体所用的小正方体的分布情况如图所示（每个正方形上的数字表示该位置上小正方体的个
数）．
故搭成这个几何体所用的小正方体的个数是1 3 1 1 1 7 ．
3x m
6．解： 1，
x 2 2 x
去分母，得3x m x 2 ，
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m 2
解得： x ；
2
3x m
∵分式方程 1的解为正数，
x 2 2 x
m 2
∴ 0，
2
即m 2，
3x m
在分式方程 1中，分母 x 2 0， 2 x 0，
x 2 2 x
即 x 2，
m 2
故 2，得出m 6，
2
综上，m的取值范围是m 2且m 6．
7．解：设“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为
A,B,C,D,E，
可画树状图为：
由树状图可知一共有 20种等可能性的结果数，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果数有
2种，
2 1
∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率是 ．
20 10
8．解：设可以分成 x个 4人组， y个6人组，根据题意得：
4x 6y 50，
25 3y
x ，
2
又 x， y均为非负整数，
x 11 x 8 x 5 x 2
或 或 或 ，
y 1

y 3 y 5 y 7
分组方案有 4种．
9．解： 边长为 4的菱形 ABCD中， ABC 120 ，
A 60 ，
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①当点 P在边 AB上，且点 Q在边 AD上，即0 x 2时，
如图 1， AP x，PQ AP tan 60 3x y 1 3， 3x x x2 ，
2 2
即图象为开口向上的抛物线；
②当点 P在边 AB上，且点 Q在边CD上，即 2 x 4时，
1
如图 2， AP x，PQ AD sin 60 2 3 ， y 2 3 x 3x，
2
即图象为直线；
③当点 P在边 BC上，且点 Q在边CD上，即 4 x 8时，
如图 3，BP x 4，
ABC 120 ， PQ AB，
BPF 120 90 30 ，
BF 1 x 4 1， PF 3 x 4 ， AF x 4 4
1
x 4 ，
2 2 2 2
结合②可知，QF 2 3，
1 1 1 y 3
3 3
AF QF PF x 4 2 3 x 4 x2 x 4 3，即图象为开口向下的抛物线．2 2 2 2 8 2
综上所述，y与 x之间的函数图象大致是 ．
10．解： 抛物线开口向上，
∴ a 0，
b
∵对称轴为直线 x 3 0，
2a
∴b 0，b 6a，
∵抛物线与 y轴交于负半轴，
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∴ c 0，
∴ abc < 0，故①正确；
抛物线的顶点坐标为 ( 3, 6)，即 x 3时，函数有最小值，
ax2 bx c≥ 6，
∴对于任意的m，均有 am2 bm c 6 0，故②错误；
抛物线 y ax2 bx c过 1, 4 ，
∴ a b c a 6a c 5a c 4，故③正确；
∵抛物线 y ax2 bx c过 1, 4 ， 1, 4 关于直线 x 3对称的点为 ( 5, 4)，
∴若 ax2 bx c 4，则 x 1或 x 5，故④错误；
抛物线 y ax2 bx c的顶点为 3, 6 ，b 6a，
4ac b2 4ac 36a 2
∴ c 9a 6，
4a 4a
∴ c 9a 6，
∵ 5a c 4，
∴ 5a 9a 6 4，
1 4
解得 a ，故⑤正确．
2 5
∴正确的个数为3.
故选：B．
11．解：根据科学记数法的定义，绝对值小于 1的正数的一般表示形式为 a 10 n，其中满足1 a 10，n
为原数中第一个非零数字前零的个数，
对于 0.0000013，原数左边第一个非零数字为1，其前面共有6个零，
因此可得：0.0000013 1.3 10 6．
12．解：设该圆锥底面圆半径为 r，圆心角度数为 n .
根据勾股定理得 r 252 152 400 20 cm .
∴圆锥底面圆周长为 2 r 2 20 40 cm .
圆锥底面圆周长等于其侧面展开图扇形的弧长，扇形半径等于圆锥母线长.
l n R 40 n 25根据扇形弧长公式 得 .
180 180
解得： n 288 .
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13．解：由作法得 BD平分 ABC，
CBD ABD，
EF 是 ABC的中位线，
EF BC， EF
1
BC， AE BE 2，
2
EDB CBD，
ABD EDB，
ED EB 2，
EF ED DF 2 1 3，
BC 2EF 6．
14．解：如图，连接 AO．
BC :CD 2 : 3，
S△ABC : S△ACD 2 : 3
S ABC 10，
S ACD 10
3
15，
2
S AOC S ACD 15，
k 30．
15．解：菱形 ABCD， AB 2, ABC 60 ，
∴ ADC 60 , ABD ADB BDC 30 ， AB BC，
∴ ABC为等边三角形，
当 AE CD时，如图：
则 DQF 90 BDC 60 ，
∵ AQB DQF 60 ，
∴ BAQ 180 BQA ABQ 90 ，
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AB 4 3
∴ BQ ；
cos30 3
当 AE BC时，如图，作QG AB于点G，
∵ ABC为等边三角形，
BAE 1∴ BAC 30 ，
2
∴ BAE ABQ 30 ，
∴ AQ BQ，
1
∴ BG AB 1，
2
BQ BG 2 3∴ ；
cos30 3
BQ 4 3 2 3综上： 或 BQ .
3 3
16．解：第一次变化后得到等腰三角形 A2OB2，点 A1 1,0 的对应点为 A2 1, 3 ，
2
∴OA2 OB2 1
2 3 2 ；
3 3 3
第二次变化后得到等腰三角形 A3OB3，点 A2的对应点为 A3 ,2 2
，

3 2 3 2
∴OA 3 OB3 32 2
3；

第三次变化后得到等腰三角形△A4OB4，点 A3的对应点为 A4 4,0 ，
∴OA4 OB4 4；
∵△A1OB1绕点O每次顺时针旋转120 ，
∴旋转三次完成一周，
∴点 B3，B6，B9在第三象限，
∵每变化一次腰长增加1，
∴OB3 3，OB6 6，OB9 9，
∵2026÷3=675……1
∴点 B2026在 x轴正半轴上，且 B2026=2026
∴点 B2026的坐标是（2026,0）
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2
17 1 ．解：（1） 3 8 3 2 4sin 60
1

3 2 3
9 2 3 1 2 3 4
2 2 3
9 3 2 3 2 3
2 22 3
9 3 2 3
11
（2） 2ax3 12ax2 18ax
2ax x2 6x 9
2ax x 3 2

5x 2 3 x 1 ①
18．解：
2x 2 x 1②
3
解不等式①得 x 2.5，
解不等式②得 x 1，
∴原不等式组的解集为 x 1．
19．解：令 t 4x 1，代入方程得 t 2 10t 24 0，
t 2 10t 24 0，
t 2 10t 24，
t 2 10t 25 24 25，
t 5 2 49，
t 5 7，
解得： t1 12， t2 2，
当 4x
13
1 12时， x ，
4
1
当 4x 1 2时， x ，
4
13 1原方程的解为 x1 ， x4 2
．
4
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20．（1）解：随机抽取的学生的竞赛人数为：16 8% 200人，
m% 72 200 100% 36%，
m 36；
（2）解：C等级学生有： 200 16 72 32 80人，
补全的频数分布直方图，如图所示：
扇形C的圆心角的度数为360
80
144 ，
200
2500 80 32（3）解： 1400人，
200
答：估计获奖的学生大约有1400人．
21．1）解：如图所示，连接 AE，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD BC， AD∥BC，
∴ DAE AEB ，
∵ AE AB，
∴ AEB ABC，
∴ DAE CBA，
在 DAE和 CBA中，
AD BC

DAE= CBA，

AE BA
∴ DAE≌ CBA SAS ，
∴∠ AED BAC 90 ，
又∵ AE是圆 A的半径，
∴DE与 A相切；
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（2）解：∵ ABE 60 ,AE AB，
∴ ABE是等边三角形，
∴ AE BE, EAB 60 ，
∵ BAC 90
∴ CAE 30 , BCA 30 ，
∴ CAE ACE,BC 2AB 12，
∴ AE CE BE， AC BC 2 AB2 =6 3，
S = 1 S = 1 1∴ △ACE AB AC 9 3，2 △ABC 2 2
2
∴ S阴影=S△ACE S AEF=9 3
30 6
=9 3 3 ．
扇形 360
22．（1）解：由函数图象可知，前 2个小时，只有货车在运动，
货车的速度为80 2 40km/h，
货车一共行驶了 6小时，
甲乙的距离为 40 6 240km，
a 480km，
两车同时到达目的地，
汽车的行驶时间为6 2 4h，
汽车的速度为 240 4 60km/h，
当货车行驶 3小时，两车行驶的路程之和为3 40 3 2 60 180km，
故答案为：40；480；180；
（2）设当3 x 6时， y关于 x的函数解析式为 y kx m，
由（1）可知，当 x 3时， y 180；当 x 6时， y 480，
即 3,180 ， 6,480 ，
6k m 480
将两点坐标代入函数解析式，得
3k m 180
，

k 100
解得
m 120
，
y关于 x的函数解析式为 y 100x 120；
（3）当两车相遇前相距100km时，
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y 100 240，
100x 120 100 240，
x 13 ；
5
当两车相遇后相距100km时，
y 100 240，
100x 120 100 240，
23
x ，
5
13 23 两车相距100km时，货车行驶时间为 小时或 小时．
5 5
23．解：（1）设 AH、DG交于点O，
在正方形 ABCD中， AD CD BC， ADC C 90 ，
点G、 H 分别是边 BC、CD的中点，
DH CG，
ADH≌ DCG SAS ，
DAH CDG，
ADG CDG 90 ，
ADG DAH 90 ，
AOD 90 ，
即 AH DG ；
故答案为： AH DG ；
（2） 四边形 ABCD为矩形， AB 6， AD 4， E为CD中点，
BAD ADC 90 ， AB CD 6， DE 3， AB∥CD，
DAE AED 90 ，在Rt ADE中， AE DE2 AD2 5， AED BAG，
BF AE，
AGB 90 ，
D AGB, AED BAG，
ADE∽ BGA，
DE AE
，
AG AB
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3 5
，
AG 6
18
AG ；
5
（3）如图，过F 作 FG AB于点G，
则四边形 BCFG是矩形，
CFG AGF 90 ， FG BC 8，
H 90 ，
AFG HDF 90 DFH，
HDF CDE，
AFG CDE，
AFG∽ EDC，
AG FG AG 8
，即 ，
CE CD 2 6
8
解得 AG ，
3
在Rt△AFG中， AF AG 2 FG 2 8 10 ；
3
（4）①如图，连接 BF交 AE于点O，则 AE垂直平分 BF，
在平行四边形 ABCD中， ACD=90 ， AB 3， AC 4，
BAC 90 ， AD BC AB2 AC 2 5，
E为BC中点，
BE CE AE 1 5 BC ，
2 2
由翻折可知 BE EF CE，
EBF EFB， ECF EFC ，
EBF EFB ECF EFC 180 ，
EFB EFC 90 BFC，
△BFC为直角三角形，
S 1 ABE S
1 1
ABC 4 3 3，2 2 2
又 S
1
ABE OB AE ，2
5
OB 3，
4
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解得OB
12
，
5
BF 24 2OB ，
5
7
在Rt BCF 中，CF BC 2 BF 2 ；
5
② AF AB 3， AC 4，
CF AC AF 1，当且仅当 A、 F 、C共线时取等，
如图，过 F作 FN CE于点 N，
则 ENF 90 BAC，
FCN BCA，
FCN∽ BCA，
FN CN CF 1
，
AB AC BC 5
FN 1 3 AB ，CN
1
AC 4 ；
5 5 5 5
设CE x，则 EF BE 5 x EN
4
， x ，
5
在Rt△EFN中， FN 2 EN 2 EF 2，
9 4 2 2
即 x

5 x ，25 5
20
解得 x ，
7
CE 20 ，
7
S 1 CE FN 1 20 3 6 CEF ．2 2 7 5 7
6
故答案为： ．
7
1 1
24.（1 2）解：∵抛物线 y x x 6与直线 y x m交于点C 0, 6 ，
4 2
∴ 6 0 m，
解得m 6；
（2）解：由（1）知直线 BC 的解析式为 y x 6，
∵P是直线 BC下方抛物线上一点
P ∴设点 a,
1 a 2 1 a 6 ，
4 2
∵过点 P作 PN平行于 y轴交 BC于 N，
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∴点 N a,a 6 ，
那么， PN
1 1
a 6 a
2 a 6
4 2
a 6 1 a2 1 a 6
4 2
1 a2 3 a
4 2
1
a 3 2 9
4 4
则 PN
9
最大值为 ；
4
（3）解：∵点C 0, 6 ，
∴OC 6，
1
S AB· y2 D∵ ABD
3
1 ，S ABC AB·OC 5
2
yD yD 3 y 18∴ ，解得 ，
OC 6 5 D 5
18
则 D点纵坐标为 ，
5
∵点 D在直线 BC上，
∴ x 6
18 12
，解得 x ，
5 5
D 12 , 18 则点 ，
5 5
1 2 1
∵抛物线 y x x 6与 x轴交于点 A和点 B，
4 2
0 1 x2 1∴ x 6，解得 x1 4， x4 2 2
6，
∴点 A 4,0 ，
设 AD的解解析式为： y kx b，
0 4k b

则 18 12 ，
k b 5 5

k
9

16
解得：
b 9
4
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9 9
则 AD的解解析式为： y x ，
16 4
y 9 9 x 16 4
联立 ，
y 1 x2 1 x 6
4 2
15
x 4
x
4
解得： 或 279， y 0 y
64
15 279
则 P , ．
4 64
8
（4）解：在 x轴取点 P，使OP ，连接 A P,CP ，如图，
3
由旋转的性质得：OA OA 4，
8
∴ OP 3
2
，
OA 4 3
∵OB 6，
OA 4 2
∴ ，
OB 6 3
OA OP 2
∴ ，
OB OA 3
∵ A OP BOA ，
∴ A OP ∽ BOA ，
A P OA 2
∴ ，
A B OB 3
2
即 A P A B ，
3
∴CA
2
BA CA A P CP，
3
∵CP OC 2 OP 2
2
97 ，
3
∴CA
2
BA 2的最小值为 97．
3 3
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