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2026年初中数学学业水平考试模拟试卷
数学
本试卷共6页，23小题，满分120分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号” 和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂照；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.
1．“音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁．”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．小于3的无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.000 000 07用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
5．一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．，求的值（ ）
A． B． C． D．
7．某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从1月份到3月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( )
A. B．
C． D．
9．如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为6cm，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数的图象上有四个点：，其中，下列结论一定不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．计算的结果是_________．
12．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是_________．
13．如图，A、B、C、D为上的四个点，，则弦BC为__________．
14．如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为_________．
15．如图，在菱形中，对角线，分别以点为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．已知．
(1)化简；
(2)若，是△ABC的一边和这边上的高，且该三角形的面积为，求的值．
17．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买3个“福马”礼盒和2个“奔马”礼盒共需元，购买2个“福马”礼盒和3个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？
18．某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题：
(1)求线段所表示的函数关系式；
(2)当x的值为多少时，恰好停止注水
三、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，地面上点，，在一条直线上，两个观察者从，两地观测空中处一个无人机，分别测得其仰角为和，已知，两地相距36米．
(1)求观测者到处的距离；
(2)当无人机沿着与平行的路线飞行6秒后达到，在处测得该无人机的仰角为，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号）
20．2026年马年春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，汇聚歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年，为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图；
(2)估计该校名学生中，喜欢歌舞节目类型的人数；
(3)若从本次调查的学生中随机抽取 1 人，求抽到喜欢 “歌舞” 类节目的概率，并结合概率谈谈你对校园文艺活动侧重点的看法。
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
三、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）．
22．【课本再现】
(1)正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，如图1摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是；在正方形绕点旋转的过程中（如图2），上述比值有没有变化？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，在正方形中，的顶点在对角线上，且，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与边和边交于点，．
①在的旋转过程中，试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，当点与点重合时，求的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图．
素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高人数
素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
任务：确定长绳形状：请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
任务：确定排列方案：该班班长决定，以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
任务：方案优化改进：据最边侧同学反映，由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026年初中数学学业水平考试模拟试卷
参考答案与评分标准
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C D C B A C D
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．4 12． 13． 14．3 15．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（1）解：
……………… 2分
； ……………… 4分
（2）∵，三角形的一边和这边上的高，且该三角形的面积为，
∴， ……………… 5分
∴，
∴．
∴的值为． ……………… 7分
17．解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元．根据题意，得
……………… 4分
解得 ……………… 6分
所以，每个“福马”礼盒的价格为80元，每个“奔马”礼盒的价格为50元． ……… 7分
18．（1）解：设线段所表示的函数关系式为，
则， ……………… 2分
解得，
∴线段所表示的函数关系式为：． ……………… 5分
（2）当时，，
解得．
答：当时，恰好停止注水． ……………… 7分
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（1）解：∵，，
∴， ……………… 1分
∴，
∴； ……………… 2分
答：观测者到处的距离为36米； ……………… 3分
（2）解：作于点，作于点，则四边形是矩形，
……………… 4分
在中，，，
∴，， ……………… 6分
∴，
∵，
∴， ∴，
∴，
∴无人机飞行的平均速度(米/秒)． ……………… 8分
答：无人机飞行的平均速度为每秒米． ……………… 9分
20．（1）解：抽取的总人数为（人），
所以喜欢歌舞的人数为（人），
补全条形图如图所示：
故答案为：100； ……………… 3分
解：估计喜欢歌舞节目类型的人数为（人）
答：喜欢歌舞节目类型的人数是900人 ……………… 6分
解：从本次调查的学生中随机抽取 1 人，求抽到喜欢 “歌舞” 类节目的概率=
看法：喜欢歌舞的学生占比30%校园文艺活动可适当增加歌舞类节目，同时兼顾其他类型节目，满足不同学生的喜欢，提升活动吸引力。 ……………… 9分
21．解：（1）AD⊥CP于点D，如图所示，
……………… 3分
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB． ……………… 5分
又∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB． ……………… 7分
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
即△PCF是等腰三角形； ……………… 9分
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）
22．（1）没有变化 ……………… 1分
理由如下：在正方形和正方形中，
，，，
，， ……………… 2分
，
在和中，
，，，
， ……………… 3分
，
，
正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ……………… 4分
；
（2）如图3中，过点作于点，于点 ……………… 5分
四边形是正方形，
，
，，
，是等腰直角三角形，
， ……………… 7分
，
，
，
，
，
，
， ……………… 9分
； ……………… 10分
②如图4中，
，
，，， ……………… 11分
，，
，
，
，
……………… 13分
23．解：任务：如图建立平面直角坐标系．
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：． ……………… 2分
经过点．
．
解得：．
长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：； ……………… 4分
任务2：最右侧同学所在的横坐标为：．
当时，． ……………… 6分
长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
最右侧同学屈膝后的身高为：． ……………… 8分
．
绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学； ……………… 9分
任务3：当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为． ……………… 10分
出手高度降低至．
抛物线下降．
下移后的抛物线解析式为：． ……………… 12分
当时，．
，
方案能解决同学反映的问题． ……………… 14分
答案第1页，共2页

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