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广东省2026年初中学业水平考试真题模拟卷
数学科
注意事项：
1. 答题前，考生务必将准考证号、姓名等信息填写在答题卡和试卷指定位置。
2. 选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色字迹签字笔作答，作图题先用2B铅笔画后描黑。
3. 答案必须写在答题卡各题指定区域内，超出答题区域或使用涂改液等无效。
4. 本卷共23题，满分120分，时间120分钟。
5. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，答题卡严禁折叠或污损。
第一部分 （选择题30分）
一、选择题（共30分）
1．（2026·安徽·中考真题）下列比0小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．6
2．（2026·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·四川自贡·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B．“经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C．任意一组数据的众数都只有一个
D．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
4．（2026·四川达州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·山东·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·四川成都·中考真题）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（ ）
A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40
8．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
10．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
第二部分 （非选择题90分）
二、填空题（共15分）
11．（2026·安徽·中考真题）因式分解：_____．
12．（2026·四川南充·中考真题）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______．
13．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______．
14．（2026·重庆·中考真题）若实数，同时满足，，则的值为____．
15．（2026·四川成都·中考真题）如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____．
三、解答题（共75分）
16．（7分）（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
(2)
17．（7分）（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为，最大俯角为，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：）
18．（7分）（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为．
(1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）；
(2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和．
19．（9分）（2026·四川泸州·中考真题）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：
运动员 平均数 中位数 众数
甲 m n 8
乙 7.3 7.5 t
(1)_________，_________；
(2)求乙运动员第3次的射击成绩，并求出的值；
(3)若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？
20．（9分）（2026·四川达州·中考真题）在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．
(1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________；
(2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上）
(3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且．
求证：四边形是菱形．
21．（9分）（2026·山东·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
22．（13分）（2026·山东·中考真题）在中，，．
【观察与发现】
(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【思考与探究】
(2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．
23．（14分）（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求，的值．
(2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）．
①求线段长度的最小值；
②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使 若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
广东省2026年初中学业水平考试真题模拟卷
数学科
注意事项：
1. 答题前，考生务必将准考证号、姓名等信息填写在答题卡和试卷指定位置。
2. 选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色字迹签字笔作答，作图题先用2B铅笔画后描黑。
3. 答案必须写在答题卡各题指定区域内，超出答题区域或使用涂改液等无效。
4. 本卷共23题，满分120分，时间120分钟。
5. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，答题卡严禁折叠或污损。
第一部分 （选择题30分）
一、选择题（共30分）
1．（2026·安徽·中考真题）下列比0小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．6
【答案】C
【详解】解：由题意得，，
∴比小的数是．
2．（2026·重庆·中考真题）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】从正面看到的视图有三列，从左到右正方形的个数依次是2，1，1，据此判断即可．
【详解】解：观察几何体，从正面看： 第一列（左）有2层，看到2个正方形， 第二列（中）有1层，看到1个正方形， 第三列（右）有1层，看到1个正方形，
从正面看到的视图如下
3．（2026·四川自贡·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B．“经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C．任意一组数据的众数都只有一个
D．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为，，说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
【答案】B
【分析】根据全面调查的、事件发生的可能性大小、众数的概念以及方差的意义进行分析判断．
【详解】A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；
B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确；
C、一组数据的众数可以有多个，例如数据的众数为和，故C错误；
D、方差越小，成绩越稳定，，故乙的跳高成绩比甲更稳定，D错误．
4．（2026·四川达州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式运算中合并同类项法则和幂的运算法则，根据对应运算法则逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A：∵和不是同类项，不能合并，∴A错误．
选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴B错误．
选项C：∵，∴C错误．
选项D：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴D正确．
5．（2026·山东·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果．
【详解】解：
．
6．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围．
【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得，
∵ 点，在反比例函数图象上，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴，
解得．
7．（2026·四川成都·中考真题）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（ ）
A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40
【答案】B
【分析】设牧童的人数为人，根据竹竿总数不变建立方程，解方程即可．
【详解】解：设牧童的人数为人，
由题意得：，
解得，
则，
所以牧童的人数为7人，竹竿的根数为56根．
8．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键．
通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值．
【详解】解：设，．
令，得，即，解得或．
当或时，，
∴；
时，随着的增大而增大，当时，，
∴；
，随着的增大而减小，当时，，
∴．
∴当或时，的最大值为．
当时，，
∴；
上，随着的增大而增大，
∴当时，，
∴，
综上所述，的最大值为．
故选：C．
10．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：过作于，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴四边形为矩形，
∴，
当在上运动时，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题设，则，
∴，
∴，
由函数图象可知，当
时，，
∴，即，
当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时，
由函数图象可知，当时，
∴，即，
∴，
把代入中得，
解得；
∴在中，，
当点开始沿运动，此时，
∴，
代入时，得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
第二部分 （非选择题90分）
二、填空题（共15分）
11．（2026·安徽·中考真题）因式分解：_____．
【答案】
【分析】根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：．
12．（2026·四川南充·中考真题）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______．
【答案】
【分析】先确定三种物质中化合物的个数，再列举出抽取2张卡片的所有等可能结果，找出2张均为化合物的结果个数，根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：根据化合物的定义，可知，，是化合物，是单质，共有2种化合物，1种单质．
将三张卡片，，依次记为A，B，C，随机抽取2张，所有等可能的结果为：，，，共3种．
其中2张卡片对应的物质都是化合物的结果有1种．
根据概率公式得 ．
13．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______．
【答案】50
【详解】解：由题意，将代入得：，
即他的视野为．
14．（2026·重庆·中考真题）若实数，同时满足，，则的值为____．
【答案】
【分析】根据得到，由绝对值的非负性推出，则可推出，进而得到，解方程求出y的值，进而求出x的值，最后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
当时，，此时不满足题意；
当时，，此时满足题意；
∴．
15．（2026·四川成都·中考真题）如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，则_____．
【答案】
【分析】设，则，勾股定理求得，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，根据，得出，求得，进而求得的长．
【详解】解：∵为的一条中线，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴，
∴
过点作于点，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
解得：
∴
三、解答题（共75分）
16．（7分）（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
解不等式①：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式②：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
不等式组的解集为．
17．（7分）（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A拍摄的最大仰角为，最大俯角为，某人站在门外距离门底部B点0.9米的N处时，摄像头A恰好能拍摄到站立点N及头顶M．已知，求此人的头顶M到站立点N的距离．（结果精确到0.01米；参考数据：）
【答案】此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米
【分析】过点A作于点C，根据题意可知：四边形是矩形，米，根据三角函数求出，即可求解．
【详解】解：过点A作于点C，
根据题意可知：四边形是矩形，
米，
在中，，
∴，
在中，，
米，
∴米，
答：此人的头顶M到站立点N的距离约为1.69米．
18．（7分）（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为．
(1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）；
(2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和．
【答案】(1)；；
(2)和的值分别为4和6
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据题意可得和，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵C的面积比A的面积的2倍多，A的面积为，
∴C的面积为；
∵D的面积比B的面积的3倍少，B的面积为，
∴D的面积为；
（2）解：∵A的面积与B的面积之和为，
∴，
∵C的面积比D的面积少，
∴
，
∴，
解得．
19．（9分）（2026·四川泸州·中考真题）为了解甲、乙两名射击运动员射击训练的情况，随机抽取了他们10次射击训练成绩（单位：环）作为样本进行整理、描述和分析，并绘制成以下条形统计图和不完整的折线图、统计表格．根据题中已有信息，解答下列问题：
运动员 平均数 中位数 众数
甲 m n 8
乙 7.3 7.5 t
(1)_________，_________；
(2)求乙运动员第3次的射击成绩，并求出的值；
(3)若射击环数超过7环为优秀，试估计甲运动员射击80次的优秀次数为多少？
【答案】(1)，
(2)乙的设第三次成绩为环，的值为
(3)次
【分析】（1）根据平均数与中位数的含义求解即可；
（2）根据平均数的含义建立方程求解第三次的成绩，再根据众数的含义求解；
（3）根据样本估计总体的思想求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
（环），
∵第个，第个数据为，，
∴（环）．
（2）解：设第三次成绩为，
∴乙的成绩为，，，，，，，，，，
∴，
解得，
∴乙的设第三次成绩为环．
∵出现的次数最多，为次，
∴（环）．
（3）解：∵射击环数超过7环为优秀，甲射击环数超过7环有次，
（次），
∴甲运动员射击80次的优秀次数为次．
20．（9分）（2026·四川达州·中考真题）在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．
(1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________；
(2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上）
(3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且．
求证：四边形是菱形．
【答案】(1)相等，相等且互相垂直
(2)一组邻边相等的矩形（答案不唯一）
(3)证明：连接交于点，如图
四边形是正方形，
，，．
，
，
即．
又，
四边形是平行四边形．
，
∴四边形是菱形．
【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可；
（2）根据正方形的判定进行求解即可；
（3）连接交于点，根据正方形的性质，得到，，，继而推导出，得到四边形是平行四边形，再根据，可得到四边形是菱形，即可解答．
【详解】（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直；
（2）解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知
横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）；
（3）略
21．（9分）（2026·山东·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的直径，
∴是的切线．
(2)
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线．
（2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接，过点作，垂足为，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，解得：，（负值不合题意已经舍去），
∴，
设的半径为，即，则，
∵在中，，
∴，解得：，
答：的半径为，
【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”．
22．（13分）（2026·山东·中考真题）在中，，．
【观察与发现】
(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．
【思考与探究】
(2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．
【答案】(1)证明：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
(3)或2
【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论；
（2）证明，得出，，证明，得出，，根据，即可得出答案；
（3）延长，并取点N，使，过点G作于点M，根据中位线的性质得出，，设，则，，，解直角三角形求出，，根据勾股定理得出：，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：延长，并取点N，使，过点G作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，，
∴或2．
23．（14分）（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求，的值．
(2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）．
①求线段长度的最小值；
②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使 若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)①线段长度的最小值为；②．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得；
（2）解：①由（1）得，
∴抛物线的解析式为，
设，
∴，
令，，
∴，
∴当时，线段长度的最小值为；
②设，，
设直线的解析式为，
∴，
则直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴；
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
∵，，
则直线的解析式为，
令，则，
解得，
∴；
∵，，
∴，
∴，的底边相同，
∴，
∴，
∴（舍去正值），
∴
∴直线的解析式为．

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