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华东师大版巴中市巴中中学中考数学模拟测试卷
(120分钟完卷，满分150分，其中附加题20分)
一、单选题(共12题，每小题4分，共48分)
1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　　)
A. B. C. D.
2、解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是(　　　)
A. B.
C. D.
3、如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是(　　　)
A. B. C. D.
4、若，，则下列式子成立的是(　　　)
A. B. C. D.
5、已知三个实数a、b、c满足，，则(　　　)
A.， B.，
C.， D.，
6、如图，点A的坐标为，点B在直线上，当线段AB最短时，点B的坐标是(　　　)
A. B. C. D.
7、如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD、CD。以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(　　　)
A. B. C. D.
8、已知，则下列说法：
①若，则；
②若的值与的取值无关，则；
③当为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1、6、-2；
④当时，当时，x的取值范围是。其中正确的有(　　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9、我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是(　　　)
A. B. C. D.
10、如图1，AB、AF分别与圆O相切于点B、F，射线BO与AF的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接EF和BF，若，，则⊙O的半径是(　　　)
A. B. C. D.
11、如图2，反比例函数的图象经过、两点，直线AB与轴相交于点C、D是线段OA上一点．连接CD，记，的面积分别为、，若，且，则的值为(　　　)
A.18 B.17 C.15 D.16
12、如果，，都在二次函数()的图象上，且。则m的取值范围(　　　)
A. B.或 C. D.或
二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)
13、已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是　　　　　　。
14、广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图3，某数学小组用无人机在离塔中心D一定距离的B处测得塔顶C的仰角为60°，再将无人机垂直上升到离点B距离为米的点A处，此时测得塔顶点C的仰角为45°，则测得小蛮腰的高度为　　　　　　米。
15、已知是方程的两个根，则的值为　　　　　　。
16、如图4，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴，y轴上，且OA＝4， 反比例函数的图像与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM＋PN取最小值时，点P的坐标为　　　　　　。
17、新定义：我们把抛物线，(其中)与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为。已知抛物线(a为常数，且)的“孪生抛物线”为。抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线的表达式为　　　　　　。
18、新高考数学试卷共有3道多项选择题，每题有A、B、C、D，4个选项，每题正确选项有2个或3个。得分规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分。现甲、乙、丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况可能为　　　　　　。
三、解答题(共6题，合计78分)
19、(1)计算：。
(2)先化简，再求代数式的值：；其中。
20、为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座。为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图。
(1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a、b、c，m的值：
直接写出：　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　　。
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定。
21、综合与实践
数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动。
【探索发现】
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，AF⊥BE于点F，将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连接DG，可证得△ABF≌△ADG。请写出证明过程。
【深入思考】
(2)在(1)的条件下，如图②，延长BE、GD交于点H，试猜想线段BF、FH、DH之间的数量关系，并证明你的猜想。
22、某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中。图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为(即)，当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米。以O为原点，直线OA为轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
23、如图1，在锐角∠MON内找一点A，过点A作AB⊥OM于点B，以AB为直径作⊙P，过点A作AC⊥ON于点C，延长CA交⊙P于点D，连接BD。
(1)若∠MON＝40°，则∠ABD＝　　　　　　。
(2)如图2，若BO＝BD，点D在OP的延长线上，求证：ON是⊙P的切线；
(3)如图3，连接OA，若CP⊥OA于点F，且∠MON＝45°，求的值。
24、如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接PA，过点P作直线轴，与直线交于点M。
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，过点P作，垂足为Q，连接AM，当△PMQ与△PMA面积相等时，求m的值；
(3)如图2，当时，连接OC，直线MP与OC相交于点N，连接BN，求AM＋BN的最小值并直接写出此时m的值。
四、附加题(20分)
25、阅读：△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：
①正弦定理：。
②余弦定理：。
③，其中表示△ABC的面积。
请你根据上述结论求解下列问题：
(1)在锐角△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若，求的大小及△ABC的面积。
(2)在四边形ABCD中，，求BD的最大值。
华东师大版巴中市巴中中学中考数学模拟测试卷
(120分钟完卷，满分150分，其中附加题20分)
一、单选题(共12题，每小题4分，共48分)
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2.解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是(　　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每个不等式组的解集，再取它们公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：∵，
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示．
故选A．
3.如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是(　　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键．
根据三视图的定义以及概率的定义即可解答．
【详解】解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②～⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是．
故选：D．
4.若，，则下列式子成立的是(　　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据，再判断、的关系即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
故选：C．
5.已知三个实数a，b，c满足，，则(　　　)
A.， B.，
C.， D.，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
综上：，
故选：D．
6.如图，点的坐标为，点在直线上，当线段最短时，点的坐标是(　　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，垂线段最短，求两个一次函数的交点坐标及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于，为的最小值，先求出点、坐标，设，利用勾股定理可求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据可设直线解析式为，代入求出的值，与的解析式组成方程组，求出其交点坐标即可得答案．
【详解】解：如图，设直线与轴、轴分别交于、，过点作，交轴于，过点作于，
根据垂线段最短的性质，得当线段最短时，点与点重合，此时，
∵当时，，时，，
∴，，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，即，
解得：，即，
设解析式为，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴设解析式为，
将代入，得，
解得：，
直线的函数解析式为，
联立两直线解析式组成方程组得，
解得：，
，
故选：D．
7.如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为(　　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形，求扇形的面积，解直角三角形，作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，
∴，，
∴，
作，则：，，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故选B．
8.已知，则下列说法：
①若，则；
②若的值与的取值无关，则；
③当为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，；
④当时，当时，的取值范围是．其中正确的有(　　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解一元一次不等式等知识，绝对值的性质，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键．
①将和代入进行多项式的加减混合运算即可；②将M和N代入作整式的混合运算，再取对应系数为零即可；③将代入，再结合关于的方程解得为整数，则或，解得即可；④将代入M和N求得，分情况讨论求解即可．
【详解】解：①若，，
∵，，
∴，，
则，故①正确；
②∵，，
∴，
∵的值与x的取值无关，
∴，，
则，，故②正确；
③当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得，
∵关于的方程的解为整数，
∴或，解得或1，3，4，故③错误；
④当，
∵，，
∴，，
即：，
∵，
∴，即，
当时，；
解得：
当时，；
当时，；
解得：
综上所述，时，或，故④错误．
即正确的有2个，
故选：B．
9.我们知道一元二次方程可以变形为，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程，则下列关于此一元三次方程的根的式子不正确的是(　　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，则可得，，，据此可得答案．
【详解】解：设一元三次方程的三个实根分别为，，，
则方程可写成，
∴，
∴
∴．
对比可得，，，，
可得，，，
∴，
故选：B．
10.如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是(　　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接，由切线长定理及切线的性质得，，，进而由可设，，即得，，再证明，可得，即得到，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵分别与圆相切于点，是半径，
∴，，，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴圆的半径为，
故选：．
11.如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为(　　　)
A.18 B.17 C.15 D.16
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合、相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，熟练掌握各函数的性质并通过坐标求出三角形的面积成为解题的关键．
先利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式求得、、，再运用两点间的距离公式求得；再证明可得、，则，即D点纵坐标为4，易得，再根据可得，最后作差即可解答．
【详解】解：将代入得：，
反比例函数的解析式为∶ ，
将代入得∶，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶
，解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∴
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∴，
∴D点纵坐标为4，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故选：D．
12.如果，，都在二次函数()的图象上，且．则的取值范围(　　　)
A. B.或
C. D.或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，
由点，点可知抛物线的对称轴为直线，则，由可知，求得，即可判断点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，分两种情况讨论，得出关于的不等式(组，即可求得的取值范围．
根据题意得出关于的不等式(组)是解题的关键．
【详解】解：点，点，点都在二次函数的图象上，
对称轴为直线，
点和也在二次函数的图象上，
，
，
，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
抛物线开口向上，
时，随的增大而减小，，时随的增大而增大，
当在对称轴的左侧时，则有，解得，
当在对称轴的右侧时，则有，解得．
故的取值范围为或．
故选B．
二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)
13.已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
一次函数，当时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可．
【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小，
∴，
∴．
故答案为：
14.广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米．
【答案】
600
【解析】
【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可．
【详解】解：如图，过点作于点．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，米，
设米，则米，
，，
∴为等腰直角三角形，
米，
，
米，
米，
解得，
(米)
∴小蛮腰的高度为米．
15.已知是方程的两个根，则的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：1
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得，再由，再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入即可求出其表示，直线与x轴的交点即可求得点P 的坐标．
【详解】解：正方形中，，
点M的横坐标和点N的纵坐标都是4，
点M、N在反比例函数的图像上，
，
，
，
解得：(负值舍去)，
，
如图，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，
点M关于x轴的对称点，
，
设直线的表达式为，
将点、N的坐标代入得
，
解得，
直线的表达式为，
令，则，
点P 的坐标为．
17.新定义：我们把抛物线，(其中)与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线(a为常数，且)的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数中的新定义问题．理解新定义的意义是解决本题的关键．先求出抛物线为，可得，设得出，从而求得，由为直角三角形，可得，再列出方程求解即可．
【详解】解：抛物线(a为常数，且)的“孪生抛物线”为，
抛物线为，
，
，
设
令，则，
，
，
由抛物线的对称性得
为等腰直角三角形，
，
，
解得：或舍去，
抛物线，
故答案为：．
18.新高考数学试卷共有3道多项选择题，每题有个选项，每题正确选项有2个或3个．得分规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分．现甲，乙，丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况可能为_____．
甲 乙 丙 丁
9题 A
10题
11题
得分 10 9 10
【答案】0或12
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．根据甲、乙、丙的得分判断各题的正确答案，再求丁的得分．
【详解】解：根据乙的得分，可知：第9题正确答案有两个选项，包含，第10或11，乙有一个题选对，另一题有错选，
假设第10题的答案是，则第11题的答案应该不含或，此时：甲和丙在第10题各得4分，
若第9题的答案为，第11题答案为，则甲、乙、丙的得分满足条件，此时丁第9、11两题正确，第10题有错误选项，共得12分；
若第9题的答案为，第11题答案为，则甲、乙、丙的得分满足条件，此时丁3个题都有错误选项，得0分；
假设第11题正确答案为，则甲、丙第11题均不得分，此时甲、丙的得分不可能都是10分，故不满足题意，
综上可得：丁的得分为0或12．
故答案为：0或12．
三、解答题(共6题，合计78分)
19.(1)计算：．
(2)先化简，再求代数式的值：；其中
【答案】(1)；(2)，
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
(1)先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得解；
(2)括号内先通分，再将除法转化为乘法约分即可化简，最后代入的值计算即可得解．
【详解】解：(1)
；
(2)
，
当时，原式．
20.为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座．为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图
(1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中、、，的值：
统计量 平均数 众数 中位数 方差
七年级 8 8
八年级 8 1.56
直接写出： ， ， ， ．
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定．
【答案】(1)6 (2)8，9，8，
(3)七年级的成绩更稳定，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形的统计图，加权平均数、众数、中位数和方差的求解，
(1)先根据扇形统计图求出测试成绩为分的人数所占的百分比，再乘以即可；
(2)根据加权平均数、众数、中位数和方差的定义即可求解；
(3)结合方差的意义即可作出判断；
掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
【小问1详解】
解：∵测试成绩为分的人数所占的百分比：，
∴(人)，
∴抽取的八年级学生中测试成绩为分的人数为人；
【小问2详解】
∵八年级学生中测试成绩为分的人数为：(人)，
测试成绩为分的人数为：(人)，
测试成绩为分的人数为：(人)，
测试成绩为分的人数为：(人)，
∴八年级学生中测试成绩的平均数：，
测试成绩为分的人数最多，
∴众数是，
∵七年级抽取的学生测试成绩排在第、名的成绩都是分，
∴七年级抽取的学生测试成绩的中位数为：，
∵七年级学生中测试成绩的平均数：，
∴七年级学生中测试成绩的方差：
∴，，，；
【小问3详解】
从表格中数据可知：
七年级抽取的学生测试成绩方差为，八年级抽取的学生测试成绩方差为，
且，
∴七年级的成绩更稳定．
21.综合与实践
数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】
(1)如图①，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证得．请写出证明过程．
【深入思考】
(2)在(1)的条件下，如图②，延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，
对于(1)，根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质得，进而得出，然后说明；
对于(2)，先说明四边形是正方形，可得，进而得出答案．
【详解】(1)解：∵四边形是正方形，
∴．
根据旋转的性质得，
∴，
∴，
∴；
(2)．
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
22.某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为(即)，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键．
(1)根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解；
(2)根据题意，当时，(米)，再与护栏高度进行比较，即可求解；
(3)根据坡比得到(米)，则点到原点的水平距离为(米)，即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可．
【小问1详解】
解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，
∴抛物线的顶点坐标为，
以O为原点建立平面直角坐标系，
∴点，
设抛物线解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴水柱所在抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
【小问3详解】
解：河道坝高米，坝面的坡比为(其中)，
，即，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设的解析式为，
，解得，
，
，
解得(不合题意，舍去)，，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上．
23.如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接．
(1)若，则___________；
(2)如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线；
(3)如图3，连接，若于点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
证明：如图，过作于E ，
，
，
；
由(1)，
平分；
，
，
是的切线；
(3)
【解析】
【分析】(1)根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结果；
(2)连接，证明平分即可；过作于E，由角平分线性质可，即可得出结论；
(3)过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形；设，，由，得出，，，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，，由面积法可得，由此求出比值即可．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，即；
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：过点作于点，过点作于点，
则，，
设，，
由(1)得，，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、角平分线的判定、相似三角形的性质和判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形 转化线段关系是解题的关键．
24.如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值；
(3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)的最小值为；
【解析】
【分析】(1)根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解；
(2)过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可；
(3)先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴，解得：，
把代入，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
设，
过点Q作于G，过点A作于H， 如图1，
当与面积相等时，则，
∴，
∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，与直线l交于点M．
∴，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，，
∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，
∴，
∴或．
【小问3详解】
解：把代入，得，
∴，
设直线解析式为，把代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
把代入 ，得，
∴，
∴，
把向下移动4个单位，得到，连接，如图2，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为2；
设直线解析式为，
把、分别 代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
把代入，得
，
解得：．
【点睛】本题考查等定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，一次函数图象性质，直线的平移，两点间线段最短，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键．
四、附加题(20分)
25.阅读：中，分别是的对边，的边角有如下性质：
①正弦定理：．
②余弦定理：．
③，其中表示的面积．
请你根据上述结论求解下列问题：
(1)在锐角中，分别是的对边，若，求的大小及的面积．
(2)在四边形中，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了正弦定理与余弦定理，灵活运用正弦定理与余弦定理是解题的关键．
(1)由得到，结合正弦定理 得的值，即可确定、，结合余弦定理可求得,用公式即可求得面积；
(2)先根据已知证明，在确定当过点时最大，进而利用余弦定理求解即可．
【小问1详解】
解： ，
，
，
为锐角，
，
又，，，
，
．
【小问2详解】
在中，，，
，
,
点在以为直径的圆上．
设的中点为，当过点时取得最大值，如图所示:
在中，，
,
(负值已舍)。
又，
的最大值为。

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