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广西南宁市第二中学2026届高三下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
7．设函数，其中，若存在常数使对任意的实数x都有，则的最小值为（ ）
A．2π B． C．π D．
8．若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在一次比赛中，10位评委给某选手的评分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的有（ ）
A．用简单随机抽样的方法从10个评分中随机去掉2个，则每个评分被去掉的概率是
B．这10个评分的第60百分位数为90
C．这10个评分的平均数小于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，评分的平均数会变大，方差会变小
10．记，分别为函数，的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”，则下列说法正确的有（ ）
A．函数与存在唯一“S点”
B．函数与存在两个“S点”
C．函数与不存在“S点”
D．若函数与存在“S点”，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．点N到平面的距离为定值
B．若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
C．若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为
D．若CN与平面所成的角为θ，则
三、填空题
12．函数在区间上的最大值是___________.
13．已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______．
14．已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为______．
四、解答题
15．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，，点E是棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．云计算技术已成为全世界各国战略发展的核心技术与关键基础，2026年我国《政府工作报告》首次明确提出“支持公共云发展”，并将其纳入“打造智能经济新形态”的核心部署.在某个云计算数据中心，某时刻同时接到不同的三个数据任务甲、乙、丙，系统需将三个任务随机分配到四个计算节点A，B，C，D上执行.假设每个任务仅被分配到其中一个计算节点执行，且每个计算节点可以同时执行多个任务，假设不同任务的分配相互独立.
(1)记节点A分配到的任务个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)对于两个不相互独立的事件M，N，，．若，称事件M与事件N正相关；若，称事件M与事件N负相关.
定义为事件M与事件N的相关系数．
（ⅰ）若，求证：事件M与事件N正相关；
（ⅱ）若事件M为“节点A恰好分配到一个任务”，事件N为“任务甲分配到节点A”．求，并判断事件M与事件N的相关情况．
18．设动点到点的距离与到直线的距离相等．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线l交轨迹于A，B两点．直线上有一动点D，其横坐标为．
（i）若且直线FD经过的内心，求直线l的方程；
（ii）是否存在点D，使得对任意直线l满足FD经过的内心且满足DA，DB同时与相切？若存在，则加以证明；若不存在，请说明理由．
19．已知函数，．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当，时，证明：存在唯一的极值点；
(3)若在上有零点，求证：．
试卷第1页，共3页
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《广西南宁市第二中学2026届高三下学期5月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D A B C D ACD AC
题号 11
答案 ABD
12．2 13． 14．
15【详解】（1）已知，即，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，故，因此，.
（2），两边同乘3，
可得，
相减得：
，故.
16．(1)证明：因为底面为矩形，
，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）取的中点为，的中点，连接，， 侧面是等边三角形，则，由（1）知平面，平面，，又平面，平面，故以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．【详解】（1）解：由题意得，将甲乙丙三人随机分配到四个计算节点上执行，
共有种不同的分配方法，
随机变量的可能的取值为，
可得，
，
所以变量的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为.
（2）（i）证明：由，
因为，所以，
即，
又因为，所以，
因为，可得，根据定义，可得事件和正相关.
（ii）由（1）知：，则，
因为事件为“节点恰好分配到一个任务”，事件为“任务甲分配到节点”，
则，，且，
所以，
因为，所以事件与正相关.
18．【详解】（1）解：由动点到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
所以，解得，所以动点的轨迹的方程为.
（2）解：（i）当时，可得且，设点，
若直线的斜率不存在，此时直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，且，
因为直线经过的内心，所以平分，
所以与共线，且，其中，
所以，同理可得，
所以，
因为与共线，所以，
整理得，
即，解得，
所以直线的方程为.
（ii）证明：存在满足题设条件的点.
证明如下：先求平分线的的坐标，
由点，可得，
因为与共线，所以，
所以，
即点，
再求两切线的交点的坐标，
对于函数，可得，则，
所以切线的方程为，即，
同理可得，切线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以与重合，所以存在满足题设条件的.
19．【详解】（1）当时，函数，其定义域为，求导得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，解得，
当时，，即在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)当，时，，
设，，则，
①当时，，恒成立，
所以在上单调递减，
又，，所以在内存在唯一零点，
在单调递增，在单调递减，
即在内存在唯一极值点；
②当时，，所以，
则，故在上单调递减，无极值；
③当时，，则，
故在上单调递减，无极值.
综上所述，当，时，存在唯一的极值点.
(3)在上有零点，所以，
即有实数根，
设在上的零点为，则，
则点为直线上一点，
所以表示点到原点的距离，
显然，该距离不小于原点到直线的距离，
即，即，
不妨设，，则，
所以函数在上单调递减，则，
即，又，则，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即.
答案第1页，共2页
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