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广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一个圆锥的底面半径为3，母线长，则该圆锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．5
4．已知复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．或3 B． C．3 D．6
5．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．已知，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（ ）
A． B． C． D．
8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的共轭复数的虚部是
B．是方程的一个根
C．
D．表示的点在第一象限
10．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．，或 B．若，，则
C．， D．，
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．的取值可能是
三、填空题
12．某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人.
13．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________.
14．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若，求.
16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积.
17．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得.
(1)求的长度；
(2)求，之间的距离.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角所成角的余弦值.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求；
(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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《广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B D B B A ACD ABC
题号 11
答案 BCD
12． 13． 14．
15．【详解】（1）当时，，则，所以.
（2）因为，所以，又，所以，解得：.
（3）因为，所以，
又，所以，解得：.
16．(1)取的中点，连接，由，得四边形为平行四边形，所以.由， ，
得四边形为平行四边形，所以 .因为平面，平面，
所以平面.同理可得， 平面.因为平面，
所以平面平面.又平面，所以平面；
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，，，
，所以，所以.所以，即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.三棱锥的体积.
17．【详解】（1）在中，由题意可知，，
所以． 由正弦定理得， 即． 故的长度为．
（2）在中， 因为点测得的俯角为，所以，
则．
由正弦定理得， 即．
在中，，
由余弦定理得 ，所以． 故之间的距离为．
18．(1)证明：因为，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面.
(2)证明：因为，所以，
又，所以在中，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）由（2）平面，平面，所以，又，所以为二面角所成角，因为平面，平面，所以，
在中，由，则，
所以.
19．【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得.
结合余弦定理，可得，又，故.
（2）由三角形面积公式，代入、，得，解得.
由，得.
结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）.
（3）由正弦定理，，故，.
由，得.
因为锐角三角形，故，解得.
则，展开并化简得.
由，得，故，因此.
答案第1页，共2页
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