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广西南宁沛鸿民族中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷
一、单选题
1．已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．公比不为零的等比数列中，，，（ ）
A．2 B．4 C．9 D．8
4．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量的分布如下：若，则（ ）
0 1 2
A． B．7 C． D．22
6．对于事件，，，，，（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线C交于P、Q两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．若在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共项 B．含的项的系数为
C．只有第项的二项式系数最大 D．展开式的各项系数的和为1
10．已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种
B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
C．两次都取到2号球的概率要比两次都取到1号球的概率更小
D．第二次抽到2号球的概率为
11．已知函数，则（ ）
A．存在实数，使得的图象关于点对称
B．当时，的极值之和为
C．存在实数，，使得有三个零点
D．当时，有两个零点
三、填空题
12．已知向量，向量，若，则_____
13．一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答）
14．已知直线与圆相交于M，N两点，则的最小值为___________.
四、解答题
15．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求其前n项和为．
16．树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲 乙 丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求从甲 乙 丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；
(2)记甲 乙 丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.
17．如图，在三棱柱中，平面 ，， ，分别为棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面的夹角的大小.
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
19．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左 右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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《广西南宁沛鸿民族中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A C D C B BCD AC
题号 11
答案 AC
12． 13．432 14．8
15．【详解】（1）设等差数列的通项公式为：，由题意：，解得.所以：.
（2）由（1）可得：，所以：，
故：.
16．【详解】（1）记随机选择甲 乙 丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为，
则，由题意得，
所以
.
（2）记甲 乙 丙通过第二轮的事件分别为
则
由题意得的所有可能取值为
则
.
.
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的数学期望为.
17．【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以，且，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，则，
又，易得，
则，所以，
又，平面，所以平面.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，则，
则，由（1）知平面的一个法向量为，
又，设平面的法向量为，
则，取，
设平面与平面的夹角为，
则，又，所以，
则平面与平面的夹角的大小．
18．【详解】（1）由题知：，若，，在上单调递增；
若，令解得：， 当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，
当，的递增区间是，没有单调递减区间，
若，的递增区间是，递减区间是；
（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，
令 ，则 = ，
令，由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则有，即，
即当时，则，当时，则，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取最小值，于是得，
所以的取值范围为.
19．（1）由题意得，又，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，
令得，即，
联立，得，
所以，
则，，
若在x轴上存在定点，对于任意的都有，
则，即，
解得，
所以存在定点.
答案第1页，共2页
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