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广西壮族自治区南宁市第三十六中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．120 B．105 C．210 D．240
2．已知数列是等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
5．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有（ ）
A．72 B．48 C．36 D．24
8．已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．集合的子集共有32个
B．若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
C．3封信投入5个信箱，不同方法数有种
D．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种
10．已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．函数存在极大值和极小值
B．
C．函数存在最小值
D．对于任意实数k，方程最多有4个实数解
三、填空题
12．数列的前项和，则的通项公式___________.
13．若直线是曲线的一条切线，则_________.
14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）
四、解答题
15．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的最大值与最小值.
17．已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
试卷第1页，共3页
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《广西壮族自治区南宁市第三十六中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B D C C ABD AB
题号 11
答案 BCD
12． 13． 14．72
15．【详解】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有种；
（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有种；
（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有种；
（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有种，
（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，种
16．【详解】（1）因为，所以.则所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.
（2）因为，，所以.
令，得（舍去），则在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为.又，，
所以的最大值为2，最小值为.
17．【详解】（1）设等差数列的公差为，数列的等比为，
依题意，，，，，
即且，解得，，
所以和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，则，，
因此，
所以.
18．
【详解】（1）证明：

连接如上图，在中，、分别为、的中点，所以.又因为平面，平面，∴平面.
（2）解：因为平面，平面，
所以，.又，所以.
以为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系.

则，，，，
，.则，.
设平面的一个法向量为，
则，即，令，解得，.
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，所以
由图可知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
（3）解：假设存在点，设，则
.
由（2）知，平面的一个法向量为.则，
即，所以.
故存在满足题意的点，此时.
19．【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
答案第1页，共2页
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