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第2节　交变电流的描述
学习目标　1.知道交变电流的周期、频率的概念,掌握 T、f、ω之间的关系。2.理解交变电流的峰值、有效值的概念,会根据电流的热效应计算电流的有效值。3.理解正弦式交变电流的公式和图像。
知识点一　周期和频率
1.周期:交变电流完成一次周期性变化所需的时间,通常用 T表示,单位是秒。
2.频率:交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比叫作它的频率。数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数。通常用f表示,单位是赫兹。
3.T、f、ω三者之间的关系
(1)周期与频率的关系:f＝ 或T＝。
(2)角速度与频率的关系:ω＝2πf。
【思考】
1.我国民用交变电流的周期T＝0.02 s,频率是多少 电流方向每秒钟改变多少次
提示　50 Hz,100次
2.如图所示的交变电流的周期是多少
提示　0.02 s
例1 关于交变电流的周期和频率,下列说法正确的是(　　)
A.正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B.1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C.交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D.频率为50 Hz的交变电流,其周期等于0.05 s
答案　C
解析　在一个周期的时间内,交变电流会出现正向和负向最大值各一次,相邻两个峰值的时间间隔为半个周期,所以交变电流在一个周期内方向改变两次,即方向变化的频率为交变电流频率的2倍,选项A、B错误,C正确;周期T＝ s＝0.02 s,选项D错误。
训练1 (多选)矩形金属线圈共10匝,绕垂直于磁场方向的轴在匀强磁场中匀速转动,线圈中产生的感应电动势e随时间t变化的情况如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.此交变电流的频率为0.2 Hz
B.1 s内电流方向变化10次
C.t＝0.1 s时,线圈平面与磁场方向平行
D.1 s内线圈转5圈
答案　BD
解析　由题图可知T＝0.2 s,故f＝ Hz＝5 Hz,即1 s内线圈转5圈,每转1圈电流方向改变2次,则1 s内电流方向变化10次,故A错误,B、D正确;在t＝0.1 s时,e＝0,所以线圈平面与磁场方向垂直,故C错误。
知识点二　峰值和有效值
　　　　　　　　　　 　　　　
如图所示是通过电阻R＝1 Ω的电流i随时间t变化的图像。
(1)试计算0~0.5 s和0.5~1 s内电阻R中产生的热量及1 s内产生的总热量;
(2)如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻R,也能在1 s内产生同样的热量,这个电流是多大
提示　(1)0~0.5 s内电阻R中产生的热量
Q1＝Rt1＝42×1×0.5 J＝8 J
0.5~1 s内电阻R中产生的热量
Q2＝Rt2＝22×1×0.5 J＝2 J
1 s内产生的总热量
Q＝Q1+Q2＝8 J+2 J＝10 J。
(2)由题意知,I2Rt＝Q,解得I＝ A。
1.峰值:交变电流或电压的最大值。峰值Im或Um,用来表示电流的强弱或电压的高低。
2.有效值:让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻,如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等,则这个恒定电流的电流与电压分别为I、U,我们把I、U叫作这一交变电流的有效值。
3.交变电流有效值的理解
(1)交变电流的有效值是根据电流的热效应定义的。
(2)等效是指恒定电流和交变电流在相同的时间内,在相同的电阻上产生的热量相同。
(3)通常所说的交变电流的电压、电流,用电表测量的交变电流的电压、电流,以及用电器的额定电压、额定电流,还有保险丝的熔断电流,都指其有效值。
4.交变电流有效值的计算
(1)若是正弦式交变电流,有
E＝,U＝,I＝。
(2)若不是正弦式交变电流,则必须根据焦耳定律来求解其有效值,且时间取一个周期。
求解思路:假设让交变电流通过电阻R,计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算),有Q＝I2Rt或Q＝,则I或U为交变电流相应的有效值。
5.正弦式交变电流“四值”比较及应用
名称 物理含义 重要关系 适用情况
瞬时值 交变电流某一时刻的值 e＝Emsin ωt i＝Imsin ωt 分析交变电流在某一时刻的情况
最大值 最大的 瞬时值 Em＝NBSω Im＝ 确定电容器的耐压值
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电动势、电压或电流值 E＝ U＝ I＝ (1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量) (2)交流电表的测量值 (3)电气设备标注的额定电压、额定电流 (4)保险丝的熔断电流
平均值 交变电流图像中图线与时间轴所夹“面积”与时间的比值 ＝n 计算通过电路横截面的电荷量q＝Δt＝·Δt＝n
注意:(1)交变电流的平均值既不等于有效值,也不是初、末状态瞬时值的平均值。
(2)交变电流的平均值与交变电流的方向及所取时间的长短均有关。
(3)计算通过导体某一截面的电荷量时,只能用交变电流的平均值。
【思考判断】
(1)交变电流的峰值可以用来表示电流的大小或电压的高低。(√)
(2)有效值为10 V的交变电流和10 V的恒定电流有区别。(√)
(3)交流电路中,交流电压表、交流电流表的测量值都是有效值。(√)
(4)只要交变电流的有效值不高于电容器的耐压值就是安全的。(×)
角度1　交变电流有效值的计算
例2 通过某用电器的电流和时间的关系图像如图所示,则该交变电流的有效值为(　　)
A.5 A B. A
C.4 A D. A
答案　A
解析　前半个周期正弦式交变电流的有效值为I1＝＝4 A,后半个周期电流恒定,为I2＝3 A,根据交变电流有效值的定义可知Q＝RT＝R·+R·,解得该交变电流的有效值为I有＝5 A,故A正确。
总结提升　几种典型电流的有效值
电流名称 电流图像 有效值
正弦式交 变电流 I＝
正弦半波 电流 I＝
正弦单向 脉冲电流 I＝
矩形脉 冲电流 I＝Im
非对称性 交变电流 I＝
角度2　正弦式交变电流“四值”的计算
例3 (2026·江苏扬州期中)共享单车内小型发电机发电原理可简化为图乙所示,矩形线圈abcd的面积为S＝2×10－3 m2,共有N＝50匝,线圈处于磁感应强度大小为B＝4 T的匀强磁场中,线圈总电阻r＝5 Ω,外电阻R＝15 Ω,不计交流电流表的内阻。在外力作用下线圈以角速度ω＝10 rad/s绕轴OO'匀速转动时,求:
(1)线圈转动过程中产生感应电动势的最大值;
(2)线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电荷量;
(3)线圈转一圈的过程中,电阻R上产生的焦耳热。
答案　(1)4 V　(2)0.02 C　(3)0.06π J
解析　(1)感应电动势的最大值Em＝NωBS＝4 V。
(2)通过电阻R的电荷量q＝t＝t＝N＝0.02 C。
(3)电动势的有效值E有＝
根据欧姆定律有I有＝
周期为T＝
根据焦耳定律有QR＝RT
联立解得QR＝0.06π J。
1.求电荷量时要用电流的平均值,解题思路如下:
平均电动势→平均电流→根据q＝Δt求电荷量→得出q＝。
2.求解热量时用有效值,解题思路如下:
电动势最大值Em→电流最大值Im→电流有效值I→焦耳定律Q＝I2Rt。
3.计算功率、电功以及确定保险丝的熔断电流时要用有效值。
4.交流电表显示的是有效值。
5.判断电容器是否能被击穿,应看电压的峰值。
训练2 交流发电机线圈电阻r＝1 Ω,用电器电阻R＝9 Ω,电压表示数为9 V,如图所示,那么该交流发电机(　　)
A.电动势的峰值为10 V
B.电动势的有效值为9 V
C.交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10 V
D.交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为 V
答案　D
解析　因电压表示数为9 V,所以电路中的电流I＝＝1 A,电动势的有效值E＝I(r+R)＝10 V,其最大值Em＝E＝10 V,故A、B错误;线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0,故C错误;转过90°的过程中的平均感应电动势,＝n＝n＝n,又nBSω＝10 V,故 V,故D正确。
知识点三　正弦式交变电流的公式和图像
　　　　　　　　　　 　　　　
1.正弦式交变电流的公式和图像可以详细描述交变电流的情况。若线圈通过中性面时开始计时,交变电流的图像是正弦曲线。
2.若已知电压、
电流最大值分别是Um、Im,周期为T,则正弦式交变电流电压、电流表达式分别为u＝Umsin t,
i＝Imsin t。
3.分析正弦式交变电流图像问题的几个要点
(1)注意分析横、纵坐标表示的物理量,以及图像上的特殊位置、周期、峰值等信息。
(2)注意把图像和线圈的转动过程联系起来。
(3)注意把图像和表达式结合起来。
例4 (多选)如图甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图,其矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO'匀速转动,线圈的两端与滑动变阻器R连接,当R＝10 Ω时,交流电压表示数为10 V。图乙是穿过矩形线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像,线圈电阻不能忽略,下列说法正确的是(　　)
A.0.02 s时,R两端的电压瞬时值为零
B.电阻R上的电功率为10 W
C.R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝10cos(100πt)V
D.当滑动变阻器触头向下滑动时,电压表示数变小
答案　BC
解析　0.02 s时穿过线圈的磁通量为零,磁通量变化率最大,感应电动势最大,此时R两端的电压瞬时值不为零,故A错误;电压表的示数为R两端电压的有效值,电阻R上的电功率P＝ W＝10 W,故B正确;根据图乙可知,线圈从平行于磁场方向开始转动,R两端的电压u随时间t变化的关系为余弦函数,R两端电压的最大值Um＝U＝10 V,角速度ω＝＝100π rad/s,R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝10cos(100πt)V,故C正确;当滑动变阻器触头向下滑动时,R接入电路的阻值增大,总电流减小,内电压减小,路端电压增大,电压表示数增大,故D错误。
从交变电流图像中可得以下信息
(1)交变电流的最大值Im、Em、Um、周期T。
(2)因线圈在中性面时感应电动势、感应电流均为零,磁通量最大,所以可确定线圈位于中性面的时刻及线圈平行于磁感线的时刻。
(3)判断线圈中磁通量的变化情况。
(4)分析判断e、i、u随时间的变化规律。
(5)根据最大值求有效值等。
训练3 (2026·河南郑州高二期中)在匀强磁场中,一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动,如图甲所示,产生的电动势随时间变化的规律如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A.t＝4.5×10－2 s时,金属线框位于中性面
B.该交变电流的电动势的有效值为 V
C.矩形金属线框平面与中性面的夹角为30°时,电动势的瞬时值为11 V
D.该交变电流的电动势的瞬时值表达式为e＝22sinV
答案　C
解析　当t＝4.5×10－2 s时,金属线框产生的感应电动势最大,则金属线框平面与磁感线平行,与中性面垂直,故A错误;该交变电流的电动势的有效值为E＝ V＝22 V,故B错误;根据图乙可知ω＝π rad/s,则交变电流的电动势的瞬时值表达式为e＝Emsin ωt＝22sin(πt)V,当矩形金属线框平面与中性面的夹角为30°时,有e＝Emsin 30°＝22× V＝11 V,故C正确,D错误。
随堂对点自测
1.(对周期和频率的理解)(多选)一只矩形线圈在匀强磁场中转动产生的交流电动势为e＝10sin(4πt)V,则(　　)
A.交变电流的频率是4π Hz
B.当t＝0时线圈平面跟磁感线垂直
C.当t＝0.5 s时,e有最大值
D.交变电流的周期是0.5 s
答案　BD
解析　交流电动势e＝10sin(4πt)V,交变电流的频率f＝ Hz＝2 Hz,周期T＝＝0.5 s,故A错误,D正确;当t＝0时e＝0,此时线圈处在中性面上,即线圈平面跟磁感线垂直,故B正确;当t＝0.5 s时,e＝0,故C错误。
2.(交变电流有效值的计算)(2026·四川绵阳期末)已知三角脉冲电压(锯齿波)的峰值是有效值的倍。现测得一个阻值为1 000 Ω的电阻的两端电压变化如图所示,其中U0＝6 V,则该电阻上的电流有效值约为(　　)
A.3.0 mA B.4.5 mA
C.5.0 mA D.6.0 mA
答案　B
解析　电压的有效值满足T＝·+·,该电阻上的电流有效值为I＝,代入数据解得I≈4.5 mA,故B正确。
3.(正弦式交变电流“四值”及应用)(多选)如图所示,一矩形金属线圈面积为S、匝数为N,在磁感应强度为B的匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴匀速转动,则(　　)
A.感应电动势的峰值是NBSω
B.感应电动势的有效值是NBSω
C.从中性面开始转过30°时,感应电动势的瞬时值是NBSω
D.从中性面开始转过90°的过程中,感应电动势的平均值是
答案　AC
解析　感应电动势的峰值Em＝NBSω,故A正确;正弦式交变电流的有效值E＝NBSω,故B错误;当线圈转到中性面位置开始计时,线圈中感应电动势随时间变化的表达式为e＝Emsin ωt＝NBSωsin ωt,当ωt＝时,e＝NBSω,故C正确;根据法拉第电磁感应定律可知,在线圈转过90°的过程中,线圈中感应电动势的平均值＝N,故D错误。
基础对点练
　　　　　　　　　　 　　　　
题组一　周期和频率
1.关于交变电流的周期和频率,下列说法中正确的是(　　)
A.正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B.1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C.交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D.50 Hz的交变电流,其周期等于0.05 s
答案　C
解析　正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于半个周期,交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数叫作它的频率,A、B错误;交变电流在一个周期内方向改变两次,即方向变化的频率为交变电流频率的2倍,C正确;周期T＝ s＝0.02 s,D错误。
2.(多选)某正弦式交变电流i随时间t变化的图像如图所示。关于此交变电流,下列说法正确的是(　　)
A.频率为100 Hz
B.周期为0.02 s
C.电流的有效值为14.1 A
D.电流的最大值为14.1 A
答案　BD
解析　由图可知周期为T＝0.02 s,频率为f＝ Hz＝50 Hz,故A错误,B正确;由图可知电流的最大值为Im＝10 A≈14.1 A,电流的有效值为I＝＝10 A,故C错误,D正确。
题组二　峰值和有效值
3.通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流如图所示,其周期为1 s。电阻两端的电压的有效值为(　　)
A.12 V B.4 V
C.15 V D.8 V
答案　B
解析　根据电流的热效应有(0.1 A)2R×0.4 s×2+(0.2 A)2R×0.1 s×2＝I2R×(1 s),可得流过电阻的电流的有效值I＝ A,则电阻两端的电压的有效值为U＝IR＝4 V,故B正确。
4.(2024·广东卷,1)将阻值为50 Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.通过电阻电流的峰值为0.2 A
C.电阻在1 s内消耗的电能为1 J
D.电阻两端电压表达式为u＝10sin(100πt) V
答案　D
解析　由题图可知交流电的周期为0.02 s,则频率为f＝＝50 Hz,故A错误;根据图像可知电压的峰值为10 V,根据欧姆定律可知电流的峰值Im＝ A＝0.2 A,故B错误;电流的有效值为I＝＝0.2 A,所以电阻在1 s内消耗的电能为W＝I2Rt＝0.22×50×1 J＝2 J,故C错误;根据图像可知电阻两端电压表达式为u＝Umsin ωt＝10sin(100πt)V,故D正确。
5.如图甲所示,标有“220 V　40 W”的灯泡和标有“20 μF　300 V”的电容器并联到交流电源上,为理想交流电压表,交流电源的输出电压如图乙所示,下列判断正确的是(　　)
A.断开开关,t＝时刻,的示数为零
B.断开开关时灯泡恰好正常发光
C.开关闭合时电容器不可能被击穿
D.断开开关,的示数保持220 V不变
答案　B
解析　的示数应是电压的有效值220 V,选项A、D错误;电源输出电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压,灯泡正常发光,选项B正确;电压的峰值Um＝220 V≈311 V,大于电容器的额定电压,故开关闭合时电容器可能被击穿,选项C错误。
题组三　正弦式交变电流的公式和图像
6.一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴位于线圈平面内,并与磁场方向垂直,产生的交变电流i随时间t变化关系如图所示,则(　　)
A.该交变电流频率是0.4 Hz
B.该交变电流有效值是0.8 A
C.t＝0.1 s时,穿过线圈平面的磁通量最小
D.该交变电流瞬时值表达式是i＝0.8 sin(5πt) A
答案　C
解析　由题图可知,该交变电流的周期T＝0.4 s,则频率为f＝＝2.5 Hz,故A错误;该交变电流的最大值Im＝0.8 A,则有效值I＝＝0.4 A,故B错误;t＝0.1 s时,电流最大,说明线圈与磁场方向平行,穿过线圈的磁通量为零,故C正确;线圈转动的角速度ω＝＝5π rad/s,该交变电流的瞬时值表达式为i＝0.8sin(5πt) A,故D错误。
7.某一电子设备所加正弦式交变电流的电压随时间变化规律如图所示,则(　　)
A.交变电流的频率为50 Hz
B.交流电压的有效值为100 V
C.交流电压瞬时值表达式为u＝100cos(25t)V
D.此交流电压不可以直接加在耐压值为80 V的电容器两端
答案　D
解析　由题图可知交变电流的周期T＝0.04 s,频率f＝＝25 Hz,故A错误;由题图可知交流电压的最大值为Um＝100 V,有效值为U＝ V＝50 V,故B错误;角速度为ω＝ rad/s＝50π rad/s,交流电压瞬时值表达式为u＝100 sin(50πt)V,故C错误;由题图可知交流电压的最大值为100 V,电容器的耐压值要高于交流电压的最大值,才不会被击穿,此交流电压不可以直接加在耐压值为80 V的电容器两端,故D正确。
综合提升练
8.(多选)(2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,9)如图,“”形导线框置于磁感应强度大小为B、水平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均为互相垂直,各边长均为l。线框绕b、e所在直线以角速度ω顺时针匀速转动。be与磁场方向垂直。t＝0时,abef与水平面平行,则(　　)
A.t＝0时,电流方向为abcdefa
B.t＝0时,感应电动势为Bl2ω
C.t＝时,感应电动势为0
D.t＝0到t＝过程中,感应电动势平均值为0
答案　AB
解析　t＝0时,线框中能切割磁感线的边只有af边,由右手定则可知af边的电流方向为f到a,则线框中的电流方向为abcdefa,A正确;t＝0时,af边的速度方向与磁场方向垂直,速度大小为v＝ωl,感应电动势的大小为E＝Blv,解得E＝Bl2ω,B正确;线框的转动周期为T＝,则t＝时,线框转动了180°,此时线框中能切割磁感线的边仍只有af边,且af边的速度方向与磁场方向垂直,所以线框中产生的感应电动势的大小仍为Bl2ω,C错误;从t＝0到t＝过程中,穿过线框abef的磁通量变化量为零,穿过线框bcde的磁通量的变化量ΔΦ＝2BS＝2Bl2,由法拉第电磁感应定律知感应电动势平均值为,D错误。
9.(2026·山东临沂高二期中)如图所示,N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L,总电阻为R,线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO'以角速度ω匀速转动,ab边距转轴。下列说法正确的是(　　)
A.线圈中感应电动势有效值为NBL2ω
B.从图示位置转过90°过程中,通过线圈的电荷量为
C.从图示位置转过90°时,磁通量最大,线圈中感应电流也最大
D.在转动一周的过程中,线圈的发热量是
答案　D
解析　感应电动势的最大值为Em＝NBSω＝NBL2ω,则有效值为E＝,A错误;线圈转过90°的过程中,通过线圈的电荷量q＝t＝t＝N,B错误;线圈从图示位置转过90°时,磁通量最大,但磁通量变化率为0,感应电动势为0,感应电流也为0,C错误;在线圈转过一周的时间内线圈产生的热量Q＝T＝·,D正确。
10.如图所示电路,电阻R1与电阻R2阻值相同,和R1并联的D为理想二极管,在A、B间加一正弦式交变电压u＝40sin(100πt)V,则加在R2上的电压有效值为(　　)
A.20 V B.20 V
C.10 V D.10 V
答案　D
解析　当电源交变电压在正半周时A点电势高于B点电势,二极管导通,即R1被短路,R2两端电压等于电源电压,为U2＝ V＝20 V;电源交流电压在负半周时,B点电势高于A点电势,二极管截止,R1、R2串联分压,则R2分得的电压为U2'＝＝10 V,根据电流的热效应,有T＝·+·,解得U＝10 V,故D正确。
培优加强练
11.(2026·陕西西安高二期中)如图所示,abcd为小型交流发电机的矩形线圈,其面积为S＝ m2,匝数为N＝50,线圈内阻为r＝2 Ω,外电阻为R＝8 Ω。线圈在磁感应强度大小为B＝0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴OO'匀速转动,角速度为ω＝50 rad/s。图中的电流表为理想交流电表,求:
(1)交流电流表的示数;
(2)从图示位置转过45°,通过电流表的电荷量;
(3)线圈转一周,外电阻R产生的焦耳热。
答案　(1)5 A　(2)0.1 C　(3)8π J
解析　(1)交变电压的峰值为
Em＝NBSω＝50 V
交变电压的有效值为E＝＝50 V
根据欧姆定律知,电流表示数为I＝＝5 A。
(2)从图示位置开始,线圈转过45°过程中,磁通量的变化量为ΔΦ＝B·Ssin 45°－0＝0.02 Wb
根据法拉第电磁感应定律,有＝N
根据闭合电路欧姆定律,有
所以通过电流表的电荷量
q＝Δt＝N＝0.1 C
(3)线圈转一圈所用时间为T＝ s
则外电阻R产生的焦耳热为Q＝I2RT＝8π J。(共61张PPT)
第2节　交变电流的描述
第三章　交变电流
1.知道交变电流的周期、频率的概念,掌握 T、f、ω之间的关系。
2.理解交变电流的峰值、有效值的概念,会根据电流的热效应计算电流的有效值。
3.理解正弦式交变电流的公式和图像。
学习目标
目 录
00ONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　峰值和有效值
知识点一　周期和频率
知识点三　正弦式交变电流的公式和图像
知识点一　周期和频率
1.周期:交变电流完成一次_________变化所需的时间,通常用 ___表示,单位是___。
2.频率:交变电流完成周期性变化的______与所用时间之比叫作它的频率。数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的______。通常用___表示,单位是______。
3.T、f、ω三者之间的关系
(1)周期与频率的关系:f＝____ 或T＝。
(2)角速度与频率的关系:ω＝______。
周期性
T
秒
次数
次数
f
赫兹
2πf
【思考】
1.我国民用交变电流的周期T＝0.02 s,频率是多少 电流方向每秒钟改变多少次
提示　50 Hz,100次
2.如图所示的交变电流的周期是多少
提示　0.02 s
例1 关于交变电流的周期和频率,下列说法正确的是(　　)
A.正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B.1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C.交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D.频率为50 Hz的交变电流,其周期等于0.05 s
解析　在一个周期的时间内,交变电流会出现正向和负向最大值各一次,相邻两个峰值的时间间隔为半个周期,所以交变电流在一个周期内方向改变两次,即方向变化的频率为交变电流频率的2倍,选项A、B错误,C正确;周期T＝ s＝0.02 s,选项D错误。
C
训练1 (多选)矩形金属线圈共10匝,绕垂直于磁场方向的轴在匀强磁场中匀速转动,线圈中产生的感应电动势e随时间t变化的情况如图所示。下列说法正确的是(　　)
BD
A.此交变电流的频率为0.2 Hz
B.1 s内电流方向变化10次
C.t＝0.1 s时,线圈平面与磁场方向平行
D.1 s内线圈转5圈
解析　由题图可知T＝0.2 s,故f＝ Hz＝5 Hz,即1 s内线圈转5圈,每转1圈电流方向改变2次,则1 s内电流方向变化10次,故A错误,B、D正确;在t＝0.1 s时,e＝0,所以线圈平面与磁场方向垂直,故C错误。
知识点二　峰值和有效值
如图所示是通过电阻R＝1 Ω的电流i随时间t变化的图像。
(1)试计算0~0.5 s和0.5~1 s内电阻R中产生的热量及
1 s内产生的总热量;
(2)如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻R,也能在1 s内产生同样的热量,这个电流是多大
提示　0~0.5 s内电阻R中产生的热量Q1＝Rt1＝42×1×0.5 J＝8 J
0.5~1 s内电阻R中产生的热量Q2＝Rt2＝22×1×0.5 J＝2 J
1 s内产生的总热量Q＝Q1+Q2＝8 J+2 J＝10 J。
(2)由题意知,I2Rt＝Q,解得I＝ A。
1.峰值:交变电流或电压的______值。峰值Im或Um,用来表示电流的强弱或电压的高低。
2.有效值:让交变电流与恒定电流分别通过大小______的电阻,如果在交变电流的一个周期内它们产生的______相等,则这个恒定电流的电流与电压分别为I、U,我们把I、U叫作这一交变电流的有效值。
最大
相同
热量
3.交变电流有效值的理解
(1)交变电流的有效值是根据电流的_________定义的。
(2)等效是指恒定电流和交变电流在相同的时间内,在相同的电阻上产生的______相同。
(3)通常所说的交变电流的电压、电流,用电表测量的交变电流的电压、电流,以及用电器的额定电压、额定电流,还有保险丝的熔断电流,都指其_________。
热效应
热量
有效值
4.交变电流有效值的计算
(1)若是正弦式交变电流,有E＝______,U＝_____,I＝_______。
(2)若不是正弦式交变电流,则必须根据焦耳定律来求解其有效值,且时间取一个周期。
求解思路:假设让交变电流通过电阻R,计算交变电流在一个周期内产生的热量Q(可分段计算),有Q＝I2Rt或Q＝,则I或U为交变电流相应的有效值。
5.正弦式交变电流“四值”比较及应用
名称 物理含义 重要关系 适用情况
瞬时值 交变电流某一时刻的值 e＝Emsin ωt i＝Imsin ωt 分析交变电流在某一时刻的情况
最大值 最大的瞬时值 Em＝NBSω Im＝ 确定电容器的耐压值
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电动势、电压或电流值 E＝ U＝ I＝ (1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)
(2)交流电表的测量值
(3)电气设备标注的额定电压、额定电流
(4)保险丝的熔断电流
名称 物理含义 重要关系 适用情况
平均值 交变电流图像中图线与时间轴所夹“面积”与时间的比值 ＝n 计算通过电路横截面的电荷量q＝Δt＝·Δt＝n
注意:(1)交变电流的平均值既不等于有效值,也不是初、末状态瞬时值的平均值。
(2)交变电流的平均值与交变电流的方向及所取时间的长短均有关。
(3)计算通过导体某一截面的电荷量时,只能用交变电流的平均值。
【思考判断】
(1)交变电流的峰值可以用来表示电流的大小或电压的高低。(　 　)
(2)有效值为10 V的交变电流和10 V的恒定电流有区别。(　 　)
(3)交流电路中,交流电压表、交流电流表的测量值都是有效值。(　 　)
(4)只要交变电流的有效值不高于电容器的耐压值就是安全的。(　 　)
√
√
√
×
角度1　交变电流有效值的计算
例2 通过某用电器的电流和时间的关系图像如图所示,
则该交变电流的有效值为(　　)
A
A.5 A B. A C.4 A D. A
解析　前半个周期正弦式交变电流的有效值为I1＝＝4 A,后半个周期电流恒定,为I2＝3 A,根据交变电流有效值的定义可知Q＝RT＝R·+R·,解得该交变电流的有效值为I有＝5 A,故A正确。
总结提升　几种典型电流的有效值
电流名称 电流图像 有效值
正弦式交变电流 I＝
正弦半波电流 I＝
电流名称 电流图像 有效值
正弦单向脉冲电流 I＝
矩形脉冲电流 I＝Im
非对称性交变电流 I＝
角度2　正弦式交变电流“四值”的计算
例3 (2026·江苏扬州期中)共享单车内小型发电机发电原理可简化为图乙所示,矩形线圈abcd的面积为S＝2×10－3 m2,共有N＝50匝,线圈处于磁感应强度大小为B＝4 T的匀强磁场中,线圈总电阻r＝5 Ω,外电阻R＝15 Ω,不计交流电流表的内阻。在外力作用下线圈以角速度ω＝10 rad/s绕轴OO'匀速转动时,求:
(1)线圈转动过程中产生感应电动势的最大值;
解析　感应电动势的最大值Em＝NωBS＝4 V。
答案　4 V
(2)线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电荷量;
解析　通过电阻R的电荷量
q＝t＝t＝N＝0.02 C。
答案　0.02 C
(3)线圈转一圈的过程中,电阻R上产生的焦耳热。
解析　电动势的有效值E有＝
根据欧姆定律有I有＝
周期为T＝
根据焦耳定律有QR＝RT
联立解得QR＝0.06π J。
答案　0.06π J
1.求电荷量时要用电流的平均值,解题思路如下:
平均电动势→平均电流→根据q＝Δt求电荷量→得出q＝。
2.求解热量时用有效值,解题思路如下:
电动势最大值Em→电流最大值Im→电流有效值I→焦耳定律Q＝I2Rt。
3.计算功率、电功以及确定保险丝的熔断电流时要用有效值。
4.交流电表显示的是有效值。
5.判断电容器是否能被击穿,应看电压的峰值。
训练2 交流发电机线圈电阻r＝1 Ω,用电器电阻R＝9 Ω,电压表示数为9 V,如图所示,那么该交流发电机(　　)
D
A.电动势的峰值为10 V
B.电动势的有效值为9 V
C.交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10 V
D.交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为 V
解析　因电压表示数为9 V,所以电路中的电流I＝＝1 A,电动势的有效值E＝I(r+R)＝10 V,其最大值Em＝E＝10 V,故A、B错误;线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0,故C错误;转过90°的过程中的平均感应电动势,＝n＝n＝n,又nBSω＝10 V,故 V,故D正确。
知识点三　正弦式交变电流的公式和图像
1.正弦式交变电流的公式和图像可以详细描述交变电流的情况。若线圈通过中性面时开始计时,交变电流的图像是______曲线。
2.若已知电压、
电流最大值分别是Um、Im,周期为T,则正弦式交变电流电压、电流表达式分别为
u＝______________, i＝___________。
正弦
Umsin t
Imsin t
3.分析正弦式交变电流图像问题的几个要点
(1)注意分析横、纵坐标表示的物理量,以及图像上的特殊位置、周期、峰值等信息。
(2)注意把图像和线圈的转动过程联系起来。
(3)注意把图像和表达式结合起来。
例4 (多选)如图甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图,其矩形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO'匀速转动,线圈的两端与滑动变阻器R连接,当R＝10 Ω时,交流电压表示数为10 V。图乙是穿过矩形线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像,线圈电阻不能忽略,下列说法正确的是(　　)
BC
A.0.02 s时,R两端的电压瞬时值为零
B.电阻R上的电功率为10 W
C.R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝10cos(100πt)V
D.当滑动变阻器触头向下滑动时,电压表示数变小
解析　0.02 s时穿过线圈的磁通量为零,磁通量变化率最大,感应电动势最大,此时R两端的电压瞬时值不为零,故A错误;电压表的示数为R两端电压的有效值,电阻R上的电功率P＝ W＝10 W,故B正确;根据图乙可知,线圈从平行于磁场方向开始转动,R两端的电压u随时间t变化的关系为余弦函数,R两端电压的最大值Um＝U＝10 V,角速度ω＝＝100π rad/s,R两端的电压u随时间t变化的规律是u＝10cos(100πt)V,故C正确;当滑动变阻器触头向下滑动时,R接入电路的阻值增大,总电流减小,内电压减小,路端电压增大,电压表示数增大,故D错误。
从交变电流图像中可得以下信息
(1)交变电流的最大值Im、Em、Um、周期T。
(2)因线圈在中性面时感应电动势、感应电流均为零,磁通量最大,所以可确定线圈位于中性面的时刻及线圈平行于磁感线的时刻。
(3)判断线圈中磁通量的变化情况。
(4)分析判断e、i、u随时间的变化规律。
(5)根据最大值求有效值等。
训练3 (2026·河南郑州高二期中)在匀强磁场中,一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动,如图甲所示,产生的电动势随时间变化的规律如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)
C
A.t＝4.5×10－2 s时,金属线框位于中性面
B.该交变电流的电动势的有效值为 V
C.矩形金属线框平面与中性面的夹角为30°时,电动势的瞬时值为11 V
D.该交变电流的电动势的瞬时值表达式为e＝22sinV
解析　当t＝4.5×10－2 s时,金属线框产生的感应电动势最大,则金属线框平面与磁感线平行,与中性面垂直,故A错误;该交变电流的电动势的有效值为E＝ V＝22 V,故B错误;根据图乙可知ω＝π rad/s,则交变电流的电动势的瞬时值表达式为e＝Emsin ωt＝22sin(πt)V,当矩形金属线框平面与中性面的夹角为30°时,有e＝Emsin 30°＝22× V＝11 V,故C正确,D错误。
随堂对点自测
2
BD
1.(对周期和频率的理解)(多选)一只矩形线圈在匀强磁场中转动产生的交流电动势为e＝10sin(4πt)V,则(　　)
A.交变电流的频率是4π Hz B.当t＝0时线圈平面跟磁感线垂直
C.当t＝0.5 s时,e有最大值 D.交变电流的周期是0.5 s
解析　交流电动势e＝10sin(4πt)V,交变电流的频率f＝ Hz＝2 Hz,周期T＝＝0.5 s,故A错误,D正确;当t＝0时e＝0,此时线圈处在中性面上,即线圈平面跟磁感线垂直,故B正确;当t＝0.5 s时,e＝0,故C错误。
B
2.(交变电流有效值的计算)(2026·四川绵阳期末)已知三角脉冲电压(锯齿波)的峰值是有效值的倍。现测得一个阻值为1 000 Ω的电阻的两端电压变化如图所示,其中U0＝6 V,则该电阻上的电流有效值约为(　　)
A.3.0 mA B.4.5 mA
C.5.0 mA D.6.0 mA
解析　电压的有效值满足T＝·
+·,该电阻上的电流有效值为I＝,代入数据解得I≈4.5 mA,故B正确。
AC
3.(正弦式交变电流“四值”及应用)(多选)如图所示,一矩形金属线圈面积为S、匝数为N,在磁感应强度为B的匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴匀速转动,则(　　)
A.感应电动势的峰值是NBSω
B.感应电动势的有效值是NBSω
C.从中性面开始转过30°时,感应电动势的瞬时值是NBSω
D.从中性面开始转过90°的过程中,感应电动势的平均值是
解析　感应电动势的峰值Em＝NBSω,故A正确;正弦式交变电流的有效值E＝NBSω,故B错误;当线圈转到中性面位置开始计时,线圈中感应电动势随时间变化的表达式为e＝Emsin ωt＝NBSωsin ωt,当ωt＝时,e＝NBSω,故C正确;根据法拉第电磁感应定律可知,在线圈转过90°的过程中,线圈中感应电动势的平均值＝N,故D错误。
课后巩固训练
3
C
基础对点练
题组一　周期和频率
1.关于交变电流的周期和频率,下列说法中正确的是(　　)
A.正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期
B.1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率
C.交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
D.50 Hz的交变电流,其周期等于0.05 s
解析　正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于半个周期,交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数叫作它的频率,A、B错误;交变电流在一个周期内方向改变两次,即方向变化的频率为交变电流频率的2倍,C正确;周期T＝ s＝0.02 s,D错误。
BD
2.(多选)某正弦式交变电流i随时间t变化的图像如图所示。关于此交变电流,下列说法正确的是(　　)
A.频率为100 Hz B.周期为0.02 s
C.电流的有效值为14.1 A D.电流的最大值为14.1 A
解析　由图可知周期为T＝0.02 s,频率为f＝ Hz＝50 Hz,故A错误,B正确;由图可知电流的最大值为Im＝10 A≈14.1 A,电流的有效值为I＝＝10 A,故C错误,D正确。
B
题组二　峰值和有效值
3.通过一阻值R＝100 Ω的电阻的交变电流如图所示,其周期为1 s。电阻两端的电压的有效值为(　　)
A.12 V B.4 V C.15 V D.8 V
解析　根据电流的热效应有(0.1 A)2R×0.4 s×2+(0.2 A)2R×0.1 s×2＝I2R×
(1 s),可得流过电阻的电流的有效值I＝ A,则电阻两端的电压的有效值为U＝IR＝4 V,故B正确。
D
4.(2024·广东卷,1)将阻值为50 Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律如图所示。下列说法正确的是(　　)
A.该交流电的频率为100 Hz
B.通过电阻电流的峰值为0.2 A
C.电阻在1 s内消耗的电能为1 J
D.电阻两端电压表达式为u＝10sin(100πt) V
解析　由题图可知交流电的周期为0.02 s,则频率为f＝＝50 Hz,故A错误;根据图像可知电压的峰值为10 V,根据欧姆定律可知电流的峰值Im＝ A＝0.2 A,故B错误;电流的有效值为I＝＝0.2 A,所以电阻在1 s内消耗的电能为W＝I2Rt＝0.22×50×1 J＝2 J,故C错误;根据图像可知电阻两端电压表达式为u＝Umsin ωt＝10sin(100πt)V,故D正确。
B
C
题组三　正弦式交变电流的公式和图像
6.一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴位于线圈平面内,并与磁场方向垂直,产生的交变电流i随时间t变化关系如图所示,则(　　)
A.该交变电流频率是0.4 Hz
B.该交变电流有效值是0.8 A
C.t＝0.1 s时,穿过线圈平面的磁通量最小
D.该交变电流瞬时值表达式是i＝0.8 sin(5πt) A
解析　由题图可知,该交变电流的周期T＝0.4 s,则频率为f＝＝2.5 Hz,故A错误;该交变电流的最大值Im＝0.8 A,则有效值I＝＝0.4 A,故B错误;t＝0.1 s时,电流最大,说明线圈与磁场方向平行,穿过线圈的磁通量为零,故C正确;线圈转动的角速度ω＝＝5π rad/s,该交变电流的瞬时值表达式为i＝0.8sin(5πt) A,故D错误。
D
7.某一电子设备所加正弦式交变电流的电压随时间变化规律如图所示,则(　　)
A.交变电流的频率为50 Hz
B.交流电压的有效值为100 V
C.交流电压瞬时值表达式为u＝100cos(25t)V
D.此交流电压不可以直接加在耐压值为80 V的电容器两端
解析　由题图可知交变电流的周期T＝0.04 s,频率f＝＝25 Hz,故A错误;由题图可知交流电压的最大值为Um＝100 V,有效值为U＝ V＝50 V,故B错误;角速度为ω＝ rad/s＝50π rad/s,交流电压瞬时值表达式为u＝100 sin(50πt)V,故C错误;由题图可知交流电压的最大值为100 V,电容器的耐压值要高于交流电压的最大值,才不会被击穿,此交流电压不可以直接加在耐压值为80 V的电容器两端,故D正确。
AB
A.t＝0时,电流方向为abcdefa
B.t＝0时,感应电动势为Bl2ω
C.t＝时,感应电动势为0
D.t＝0到t＝过程中,感应电动势平均值为0
解析　t＝0时,线框中能切割磁感线的边只有af边,由右手定则可知af边的电流方向为f到a,则线框中的电流方向为abcdefa,A正确;t＝0时,af边的速度方向与磁场方向垂直,速度大小为v＝ωl,感应电动势的大小为E＝Blv,解得E＝Bl2ω,B正确;线框的转动周期为T＝,则t＝时,线框转动了180°,此时线框中能切割磁感线的边仍只有af边,且af边的速度方向与磁场方向垂直,所以线框中产生的感应电动势的大小仍为Bl2ω,C错误;从t＝0到t＝过程中,穿过线框abef的磁通量变化量为零,穿过线框bcde的磁通量的变化量ΔΦ＝2BS＝2Bl2,由法拉第电磁感应定律知感应电动势平均值为,D错误。
D
9.(2026·山东临沂高二期中)如图所示,N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L,总电阻为R,线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO'以角速度ω匀速转动,ab边距转轴。下列说法正确的是(　　)
A.线圈中感应电动势有效值为NBL2ω
B.从图示位置转过90°过程中,通过线圈的电荷量为
C.从图示位置转过90°时,磁通量最大,线圈中感应电流也最大
D.在转动一周的过程中,线圈的发热量是
解析　感应电动势的最大值为Em＝NBSω＝NBL2ω,则有效值为E＝,A错误;线圈转过90°的过程中,通过线圈的电荷量q＝t＝t＝N,B错误;线圈从图示位置转过90°时,磁通量最大,但磁通量变化率为0,感应电动势为0,感应电流也为0,C错误;在线圈转过一周的时间内线圈产生的热量Q＝T＝·,D正确。
D
10.如图所示电路,电阻R1与电阻R2阻值相同,和R1并联的D为理想二极管,在A、B间加一正弦式交变电压u＝40sin(100πt)V,则加在R2上的电压有效值为(　　)
A.20 V B.20 V
C.10 V D.10 V
解析　当电源交变电压在正半周时A点电势高于B点电势,二极管导通,即R1被短路,R2两端电压等于电源电压,为U2＝ V＝20 V;电源交流电压在负半周时,B点电势高于A点电势,二极管截止,R1、R2串联分压,则R2分得的电压为U2'＝＝10 V,根据电流的热效应,有T＝·+·,解得U＝10 V,故D正确。
培优加强练
11.(2026·陕西西安高二期中)如图所示,abcd为小型交流发电机的矩形线圈,其面积为S＝ m2,匝数为N＝50,线圈内阻为r＝2 Ω,外电阻为R＝8 Ω。线圈在磁感应强度大小为B＝0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场的转轴OO'匀速转动,角速度为ω＝50 rad/s。图中的电流表为理想交流电表,求:
(1)交流电流表的示数;
(2)从图示位置转过45°,通过电流表的电荷量;
(3)线圈转一周,外电阻R产生的焦耳热。
答案　(1)5 A　(2)0.1 C　(3)8π J
解析　(1)交变电压的峰值为
Em＝NBSω＝50 V
交变电压的有效值为E＝＝50 V
根据欧姆定律知,电流表示数为I＝＝5 A。
(2)从图示位置开始,线圈转过45°过程中,磁通量的变化量为ΔΦ＝B·Ssin 45°－0＝0.02 Wb
根据法拉第电磁感应定律,有＝N
根据闭合电路欧姆定律,有
所以通过电流表的电荷量q＝Δt＝N＝0.1 C
(3)线圈转一圈所用时间为T＝ s
则外电阻R产生的焦耳热为Q＝I2RT＝8π J。
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