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2　简谐运动的描述
[学习目标]　1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义(难点)。3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。5.能利用简谐运动的周期性和对称性解决相应问题(重点)。
一、简谐运动的振幅、周期和频率
1.振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。
说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。
②一个给定的简谐运动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
2.周期和频率
(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
(4)周期和频率的关系：f=。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω=，ω=2πf。
(6)简谐运动的周期是由振动系统本身的性质决定的，与振幅无关(填“有关”或“无关”)。
做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
答案　无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。
例1　(2025·北京市高二期中)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10 cm。振子经过B点时开始计时，0.5 s后首次到达C点，下列说法正确的是(　　)
A.振子的振动周期是0.5 s，振幅是10 cm
B.B→O→C过程振子完成一次全振动
C.从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是100 cm
D.振子每次经过O点时速度都相同
答案　C
解析　振子从B首次运动到C的时间0.5 s等于半个周期，所以周期T=2×0.5 s=1 s，振幅A是振子离开平衡位置的最大距离，且B、C相距10 cm，则振幅A= cm=5 cm，故A错误；一次全振动是振子完成一次完整的往复运动，从B→O→C→O→B才是一次全振动，故B错误；一个周期振子运动4A路程，故从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是s=×4A=100 cm，故C正确；振子每次经过O点时，速度大小相等，但方向可能不同(从B到C经过O点时速度方向向右，从C到B经过O点时速度方向向左)，所以速度不一定相同，故D错误。
例2　一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm
C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t=3 s时，质点的振幅为零
答案　C
解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t=0时质点在正向最大位移处，0~3 s为T，则质点通过的路程为3A=6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t=3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
拓展　质点在0.5~1.5 s内路程　　　　2 cm，在1.5~2.5 s内路程　　　　2 cm。(均选填“大于”“等于”或“小于”)
答案　大于　小于
　个周期内路程与振幅的关系
1.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。
2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于振幅A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于振幅A。
二、简谐运动的相位、表达式
1.相位及相位差
(1)相位：物理学中把(ωt+φ)叫作相位，其中φ是t=0时的相位，叫初相位，或初相。它描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。
(2)相同频率的简谐运动的相位差：Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2(φ1>φ2)，常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
说明：若Δφ=0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ=π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
2.简谐运动的表达式
x=Asin(ωt+φ0)=Asin，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。
说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)从表达式x=Asin(ωt+φ0)体会简谐运动的周期性。当Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=ω·Δt=2nπ(n=1，2，3…)时，Δt==nT(n=1，2，3…)，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
例3　(多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则(　　)
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时，振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B的位移y随时间t变化的关系式为y=0.2sin，则A的相位落后B的相位
答案　CD
解析　由振动方程为y=0.1sin(2.5πt)，可读出振幅A=0.1 m，圆频率ω=2.5π rad/s，故周期T== s=0.8 s，故A、B错误；在t=0.2 s时，振子的位移最大，故运动速度为零，故C正确；两振动的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+-2.5πt=，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位落后B的相位，故D正确。
拓展　若一个弹簧振子的振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有正方向的最大加速度，请写出该弹簧振子的振动方程。
答案　x=8×10-3sin m
解析　设振动方程为x=Asin (ωt+φ)，A=0.8 cm，ω==4π rad/s，初始时具有正方向的最大加速度，可知t=0时x=-A，代入表达式-A=Asin φ，则φ=-，故该弹簧振子的振动方程是x=8×10-3sin m。
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC=OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB=tBD=tCA=tAC，tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
例4　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)
A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s
答案　AC
解析　假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T=×4 s= s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t= s-0.2 s= s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T'=4× s=1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t'=1.6 s-0.2 s=1.4 s，A、C正确。
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
课时对点练
[分值：70分]
[1~4、6题，每题4分]
考点一　简谐运动的振幅、周期和频率
1.(2025·大庆市高二检测)关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是(　　)
A.振幅等于周期内物体通过的路程
B.周期是指物体从任一位置出发又回到该位置所用的时间
C.从平衡位置出发，一次全振动过程中，物体的位移大小等于振幅的四倍
D.若物体振动的频率是50 Hz，1 s内物体的速度方向改变100次
答案　D
解析　振动物体在平衡位置附近速度较大，因此周期内物体通过的路程并不一定等于振幅，故A错误；周期是指做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，故B错误；从平衡位置出发，一次全振动过程中，物体的位移大小等于零，故C错误；振动物体一个周期内速度方向改变2次，频率是50 Hz，1 s内物体的速度方向改变100次，故D正确。
2.(2025·潮州市高二期末)一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.质点的振幅是4 cm
B.0~10 s内质点经过的路程是24 cm
C.在t=4 s时质点的速度为0
D.在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移不相同
答案　D
解析　由题图可知，质点的振幅是2 cm，故A错误；每个周期质点的路程为4A，该质点做简谐运动的周期为4 s，而10 s=2.5T，可知0~10 s内质点经过的路程为s=2.5×4A=10A=20 cm，故B错误；在t=4 s时，质点位于平衡位置，速度最大，不为0，故C错误；在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，即位移不相同，故D正确。
考点二　简谐运动的相位、表达式
3.(多选)(2025·南阳市高二期末)如图所示，一小球固定在半径为R的竖直圆盘边缘，并随圆盘以角速度ω逆时针做匀速圆周运动。现用竖直平行光线照射小球，以圆盘中心的投影点为坐标原点O，沿水平方向建立x轴，从图示位置开始计时，小球在水平面上的投影点做简谐运动的(　　)
A.振幅为2R
B.周期为
C.位移—时间关系为x=Rsin ωt
D.位移—时间关系为x=Rsin(ωt-π)
答案　BD
解析　根据题意可知，小球在水平面上的投影点距离坐标原点O的最大距离为R，即简谐运动的振幅为R，故A错误；因为小球随圆盘转动的角速度为ω，所以周期为，故B正确；从题图所示位置开始计时，小球从坐标原点向x轴负方向运动，根据选项A、B的分析可得小球在水平面上的投影点做简谐运动的位移—时间关系为x=Rsin(ωt-π)，故C错误，D正确。
4.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=3sin cm，则(　　)
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
答案　D
解析　根据位移随时间变化的关系式x=3sin cm，可知质点的振幅为A=3 cm，质点的振动周期为T== s=3 s，故A、B错误；t=0.75 s时，质点的位移为x1=3sin cm=0，可知此时质点刚好到达平衡位置，故C错误；t=0时，质点的位移为x0=3sin cm=3 cm，t=2 s时，质点的位移为x2=3sin cm=-1.5 cm，则质点前2 s内的位移为Δx=x2-x0=-4.5 cm，故D正确。
5.(10分)(2025·湖北省荆州中学高二检测)如图所示为一弹簧振子的振动图像，完成以下问题：
(1)(5分)写出该振子的振幅和周期，写出简谐运动的表达式。
(2)(5分)该振子在前20 s的总位移是多少，路程是多少。
答案　(1)5 cm　4 s　x=5sin cm
(2)0　100 cm
解析　(1)由题图可得A=5 cm，T=4 s，φ=0，则ω== rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x=5sin cm
(2)前20 s经过了N个周期，N==5
则总位移为x=0
路程s=N×4A=100 cm
考点三　简谐运动的周期性和对称性
6.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是(　　)
A.3 s，6 cm B.4 s，6 cm
C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm
答案　B
解析　简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等，那么从平衡位置O到B点的时间t1=0.5 s，因过B点后再经过t=1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2=0.5 s，因此，质点振动的周期是T=4(t1+t2)=4 s，由题意可知质点总路程的一半即为振幅，所以振幅A==6 cm，故选B。
[7~9题，每题6分]
7.(2025·安徽省A10联盟高二期中)简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.t= s和t= s时，振子的加速度相同
B.从t= s到t= s的过程中振子的速度先增大后减小
C.振子在周期内，运动的路程一定为10 cm
D.振子做简谐运动的方程为y=10sin cm
答案　D
解析　由题图可知t= s时振子处于正向最大位移处(加速度沿y轴负方向)，t= s时振子处于负向最大位移处(加速度沿y轴正方向)，则振子的加速度方向相反，故A错误；从t= s到t= s的过程中，振子从平衡位置运动到负向最大位移处，振子的速度一直减小，故B错误；振子做简谐运动的振幅是A=10 cm，周期内，如果初始位置是平衡位置或者最大位移处，则振子运动的路程是10 cm，如果初始位置不是平衡位置或者最大位移处，则振子运动的路程不是10 cm，故C错误；由振动图像可知振幅是10 cm，振子做简谐运动的周期为1 s，振子做简谐运动的振动方程为y=Asin =10sin (2πt+φ0) cm，由振动图像可知t=0时刻，振子向上振动，且满足y0=10sin φ0 cm=5 cm，可得φ0=，则振子的振动方程为y=10sin cm，故D正确。
8.一位游客在栈桥边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.6 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)
A.0.6 s B.0.9 s C.1.2 s D.1.8 s
答案　C
解析　把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y=Asin，代入数据得y=30sin cm，当y=15 cm时，可解得t1=，t1=0.6 s，所以在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t1=1.2 s，C正确。
9.(多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是(　　)
A.，3t B.，4t
C.，t D.，t
答案　BC
解析　当A、B两点在平衡位置的同侧时有A=Asin φA，A=Asin φB，可得φA=或π(由图中运动方向知应舍去)，φB=或，因此可知第二次经过B点时φB=，则T=t，解得T=4t，此时位移关系为A-A=L，解得A=，故A错误，B正确；当A、B两点在平衡位置两侧时有-A=Asin φA，A=Asin φB，解得φA=-或-(由图中运动方向知应舍去)，φB=或，当第二次经过B点时φB=，则T=t，解得T=t，此时位移关系为A+A=L，解得A=，C正确，D错误。
10.(14分)(2025·眉山市高二期中)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t=0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t=0.2 s时，振子速度第一次变为-v；在t=0.5 s时，振子速度第二次变为-v。
(1)(3分)求弹簧振子振动周期T。
(2)(4分)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程。
(3)(7分)若B、C之间的距离为25 cm，从振子经过平衡位置向B点运动开始计时，写出弹簧振子位移随时间变化的表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
答案　(1)1 s　(2)200 cm　(3)x=12.5sin (2πt) cm　见解析图
解析　(1)由对称性可得T=0.5×2 s=1 s
(2)若B、C之间的距离为25 cm，
则振幅A=×25 cm=12.5 cm
振子4 s内通过的路程
s=×4×12.5 cm=200 cm
(3)根据x=Asin ωt，A=12.5 cm，
ω==2π rad/s，
得x=12.5sin (2πt) cm
振动图像如图所示
　[8分]
11.(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin (2.5πt) m，t=0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t=0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　)
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时，物块与小球运动方向相反
答案　AB
解析　简谐运动的周期是T== s=0.8 s，选项B正确；t=0.6 s时，物块的位移为x=0.1sin (2.5π×0.6) m=-0.1 m，则对小球h+|x|=gt2，解得h=1.7 m，选项A正确；t=0.6 s=T，t=0时刻物块位于平衡位置，则0.6 s内物块运动的路程是3A=0.3 m，选项C错误；t=0.4 s=，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。(共55张PPT)
简谐运动的描述
2
第
二
章
1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。
2.了解初相和相位差的概念以及相位的物理意义(难点)。
3.知道简谐运动的表达式及各物理量的物理意义(重点)。
4.能依据简谐运动的表达式描绘振动图像，会根据简谐运动图像写出其表达式(重难点)。
5.能利用简谐运动的周期性和对称性解决相应问题(重点)。
学习目标
内容索引
课时对点练
一、简谐运动的振幅、周期和频率
二、简谐运动的相位、表达式
三、简谐运动的周期性与对称性
< 一 >
简谐运动的振幅、周期和频率
1.振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的 距离。
(2)意义：振幅是表示 大小的物理量，常用字母 表示。振动物体运动的范围是振幅的 。
说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。
②一个给定的简谐运动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
最大
振动幅度
A
两倍
2.周期和频率
(1)全振动：一个 的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是 。
(3)频率：物体完成全振动的 与 之比，数值等于_________
的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。
(4)周期和频率的关系：f= 。周期和频率都是表示物体 的物理量，
周期越小，频率越 ，表示振动越 。
完整
相同
全振动
秒(s)
次数
所用时间
单位时间
内完成全振动
赫兹
赫
Hz
振动快慢
大
快
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成 、与频率成 ，
它们间的关系式为ω= ，ω= 。
(6)简谐运动的周期是由振动系统本身的性质决定的，与振幅 (填“有关”或“无关”)。
反比
正比
2πf
无关
做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
答案　无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。
(2025·北京市高二期中)如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10 cm。振子经过B点时开始计时，0.5 s后首次到达C点，下列说法正确的是
A.振子的振动周期是0.5 s，振幅是10 cm
B.B→O→C过程振子完成一次全振动
C.从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是100 cm
D.振子每次经过O点时速度都相同
例1
√
振子从B首次运动到C的时间0.5 s等于半个周期，所以周期T=2×0.5 s=1 s，振幅A是振子离开平衡位置的最大距离，且B、C相距10 cm，则振幅A=
cm=5 cm，故A错误；
一次全振动是振子完成一次完整的往复运动，从B→O→C→O→B才是一次全振动，故B错误；
一个周期振子运动4A路程，故从B开始运动经过5 s，振子通过的路程是
s=×4A=100 cm，故C正确；
振子每次经过O点时，速度大小相等，但方向可能不同(从B到C经过O点时速度方向向右，从C到B经过O点时速度方向向左)，所以速度不一定相同，故D错误。
一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm
C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t=3 s时，质点的振幅为零
例2
√
由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；
质点在1 s内即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；
t=0时质点在正向最大位移处，0~3 s为T，则质点通过的路程为3A=6 cm，
故C正确；
振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t=3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
拓展　质点在0.5~1.5 s内路程　　　2 cm，在1.5~2.5 s内路程　 　2 cm。(均选填“大于”“等于”或“小于”)
大于
小于
总结提升
个周期内路程与振幅的关系
1.振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始
时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于
一个振幅。
2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于振幅A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于振幅A。
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< 二 >
简谐运动的相位、表达式
1.相位及相位差
(1)相位：物理学中把( )叫作相位，其中φ是t= 时的相位，叫初相位，或初相。它描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。
(2)相同频率的简谐运动的相位差：Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)= (φ1>φ2)，常说1的相位比2 Δφ，或者说2的相位比1 Δφ。
说明：若Δφ=0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ=π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
ωt+φ
0
φ1-φ2
超前
落后
2.简谐运动的表达式
x= = ，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。
说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)从表达式x=Asin(ωt+φ0)体会简谐运动的周期性。当Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)
=ω·Δt=2nπ(n=1，2，3…)时，Δt==nT(n=1，2，3…)，振子位移相同，
每经过一个周期T完成一次全振动。
Asin(ωt+φ0)
Asin
(多选)一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时，振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B的位移y随时间t变化的关系式为y=0.2sin，
则A的相位落后B的相位
例3
√
√
由振动方程为y=0.1sin(2.5πt)，可读出振幅A=0.1 m，圆频率ω=2.5π rad/s，
故周期T== s=0.8 s，故A、B错误；
在t=0.2 s时，振子的位移最大，故运动速度为零，故C正确；
两振动的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+-2.5πt=，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位落后B的相位，故D正确。
拓展　若一个弹簧振子的振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有正方向的最大加速度，请写出该弹簧振子的振动方程。
答案　x=8×10-3sin m
设振动方程为x=Asin (ωt+φ)，A=0.8 cm，ω==4π rad/s，初始时具有正方向的最大加速度，可知t=0时x=-A，代入表达式-A=Asin φ，则φ=-，
故该弹簧振子的振动方程是x=8×10-3sin m。
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< 三 >
简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC=OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB=tBD=tCA=tAC，tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是
A. s　　　B. s　　　C.1.4 s　　　D.1.6 s
例4
√
√
假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开
始先向左振动，小球的振动周期为T=×4 s= s，则小球第三次通
过M点还要经过的时间是t= s-0.2 s= s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T'=4× s=1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t'=1.6 s-0.2 s=1.4 s，A、C正确。
总结提升
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
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< 四 >
课时对点练
题号 1 2 3 4 5
答案 D D BD D (1)5 cm　4 s　x=5sin cm (2)0　100 cm
题号 6 7 8 9 10 11
答案 B D C BC (1)1 s　(2)200 cm　(3)x=12.5sin (2πt) cm　见解析图 AB
对一对
答案
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考点一　简谐运动的振幅、周期和频率
1.(2025·大庆市高二检测)关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是
A.振幅等于周期内物体通过的路程
B.周期是指物体从任一位置出发又回到该位置所用的时间
C.从平衡位置出发，一次全振动过程中，物体的位移大小等于振幅的四倍
D.若物体振动的频率是50 Hz，1 s内物体的速度方向改变100次
基础对点练
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答案
振动物体在平衡位置附近速度较大，因此周期内物体通过的路程并不
一定等于振幅，故A错误；
周期是指做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，故B错误；
从平衡位置出发，一次全振动过程中，物体的位移大小等于零，故C错误；
振动物体一个周期内速度方向改变2次，频率是50 Hz，1 s内物体的速度方向改变100次，故D正确。
11
2.(2025·潮州市高二期末)一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是
A.质点的振幅是4 cm
B.0~10 s内质点经过的路程是24 cm
C.在t=4 s时质点的速度为0
D.在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移不相同
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答案
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答案
由题图可知，质点的振幅是2 cm，故A错误；
每个周期质点的路程为4A，该质点做简谐运动的周期为4 s，而10 s=2.5T，可知0~10 s内质点经过的路程为s=2.5×4A=10A=20 cm，故B错误；
在t=4 s时，质点位于平衡位置，速度最大，不为0，故C错误；
在t=1 s和t=3 s两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，即位移不相同，故D正确。
11
考点二　简谐运动的相位、表达式
3.(多选)(2025·南阳市高二期末)如图所示，一小球固定在半径为R的竖直圆盘边缘，并随圆盘以角速度ω逆时针做匀速圆周运动。现用竖直平行光线照射小球，以圆盘中心的投影点为坐标原点O，沿水平方向建立x轴，从图示位置开始计时，小球在水平面上的投影点做简谐运动的
A.振幅为2R
B.周期为
C.位移—时间关系为x=Rsin ωt
D.位移—时间关系为x=Rsin(ωt-π)
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答案
根据题意可知，小球在水平面上的投影点距离坐标原点O的最大距离为R，即简谐运动的振幅为R，故A错误；
因为小球随圆盘转动的角速度为ω，所以周期为，故B正确；
从题图所示位置开始计时，小球从坐标原点向x轴负方向运动，根据选项A、B的分析可得小球在水平面上的投影点做简谐运动的位移—时间关系为x=Rsin(ωt-π)，故C错误，D正确。
11
4.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=3sin cm，则
A.质点的振幅为3 m
B.质点的振动周期为 s
C.t=0.75 s时，质点到达距平衡位置最远处
D.质点前2 s内的位移为-4.5 cm
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答案
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根据位移随时间变化的关系式x=3sin cm，可知质点的振幅为
A=3 cm，质点的振动周期为T== s=3 s，故A、B错误；
t=0.75 s时，质点的位移为x1=3sin cm=0，可知此时质点
刚好到达平衡位置，故C错误；
t=0时，质点的位移为x0=3sin cm=3 cm，t=2 s时，质点的
位移为x2=3sin cm=-1.5 cm，则质点前2 s内的位移为Δx=x2-
x0=-4.5 cm，故D正确。
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5.(2025·湖北省荆州中学高二检测)如图所示为一弹簧振子的振动图像，完成以下问题：
(1)写出该振子的振幅和周期，写出简谐运动的表达式。
答案　5 cm　4 s　x=5sin cm
由题图可得A=5 cm，T=4 s，φ=0，则ω== rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x=5sin cm
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答案
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(2)该振子在前20 s的总位移是多少，路程是多少。
答案　0　100 cm
前20 s经过了N个周期，N==5
则总位移为x=0
路程s=N×4A=100 cm
考点三　简谐运动的周期性和对称性
6.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是
A.3 s，6 cm B.4 s，6 cm
C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm
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简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等，那么从平衡位置O到B点的时间t1=0.5 s，因过B点后再经过t=1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2=0.5 s，因此，质点振动的周期是T=4(t1+t2)=4 s，由题意可知质点
总路程的一半即为振幅，所以振幅A==6 cm，故选B。
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能力综合练
7.(2025·安徽省A10联盟高二期中)简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是
A.t= s和t= s时，振子的加速度相同
B.从t= s到t= s的过程中振子的速度先增大后减小
C.振子在周期内，运动的路程一定为10 cm
D.振子做简谐运动的方程为y=10sin cm
√
由题图可知t= s时振子处于正向最大位移处(加速度沿y轴负方向)，t= s时振子处于负向最大位移处(加速度沿y轴正方向)，则振子的加速度方向相反，故A错误；
从t= s到t= s的过程中，振子从平衡位置运动到负向最大位移处，振子
的速度一直减小，故B错误；
振子做简谐运动的振幅是A=10 cm，周期内，如果初始位置是平衡位置
或者最大位移处，则振子运动的路程是10 cm，如果初始位置不是平衡位置或者最大位移处，则振子运动的路程不是10 cm，故C错误；
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答案
由振动图像可知振幅是10 cm，振子做简谐运动的周期为1 s，振子做简谐运动的振动方程为y=Asin =10sin (2πt+φ0) cm，由振动图像可知t=0时刻，振子向上振动，且满足y0=10sin φ0 cm=5 cm，可得φ0=，
则振子的振动方程为y=10sin cm，故D正确。
11
8.一位游客在栈桥边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.6 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是
A.0.6 s B.0.9 s
C.1.2 s D.1.8 s
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把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y=Asin，代入数据得y=30sin cm，当y=15 cm时，可解得t1=，t1=0.6 s，所以在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t1=1.2 s，C正确。
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9.(多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是
A.，3t B.，4t
C.，t D.，t
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当A、B两点在平衡位置的同侧时有A=Asin φA，A=Asin φB，可得φA=或π(由图中运动方向知应舍去)，φB=或，因此可知第二次经过B点时φB=，则T=t，解得T=4t，此时位移关系为A-A=L，解得A=，故A错误，B正确；
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当A、B两点在平衡位置两侧时有-A=Asin φA，A=Asin φB，解得φA=-或-(由图中运动方向知应舍去)，φB=或，当第二次经过B点时φB=，则T=t，解得T=t，此时位移关系为A+A=L，解得A=，C正确，D错误。
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10.(2025·眉山市高二期中)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t=0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t=0.2 s时，振子速度第一次变为-v；在t=0.5 s时，振子速度第二次变为-v。
(1)求弹簧振子振动周期T。
答案　1 s
由对称性可得T=0.5×2 s=1 s
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(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程。
答案　200 cm
若B、C之间的距离为25 cm，
则振幅A=×25 cm=12.5 cm
振子4 s内通过的路程
s=×4×12.5 cm=200 cm
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(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振子经过平衡位置向B点运动开始计时，写出弹簧振子位移随时间变化的表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
答案　x=12.5sin (2πt) cm　见解析图
根据x=Asin ωt，A=12.5 cm，
ω==2π rad/s，
得x=12.5sin (2πt) cm
振动图像如图所示
尖子生选练
11.(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin (2.5πt) m，t=0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t=0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时，物块与小球运动方向相反
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简谐运动的周期是T== s=0.8 s，选项B正确；
t=0.6 s时，物块的位移为x=0.1sin (2.5π×0.6) m=-0.1 m，则对小球h+|x|=
gt2，解得h=1.7 m，选项A正确；
t=0.6 s=T，t=0时刻物块位于平衡位置，则0.6 s内物块运动的路程是3A
=0.3 m，选项C错误；
t=0.4 s=，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向
相同，选项D错误。
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本课结束
第
二
章

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