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3　简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征(重点)。2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。
一、简谐运动的回复力
如图所示为水平方向的弹簧振子模型。
(1)当小球离开O点后，是什么力使其回到平衡位置的？
(2)使小球回到平衡位置的力与小球离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案　(1)弹簧的弹力使小球回到平衡位置。
(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1.回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。
(2)方向：总是指向平衡位置。
(3)表达式：F=-kx。式中“-”号表示F与x方向相反。
2.简谐运动
理论上可以证明，如果物体所受的力具有F=-kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
1.在劲度系数为k、原长为L0的固定于一点的轻质弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球将做简谐运动，弹簧始终没有超出弹性限度。试分析小球做简谐运动的回复力来源并证明小球做简谐运动。
答案　弹簧弹力和重力的合力充当回复力。规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg=kx0，小球在c点受到的弹力大小为F'=k(x+x0)，小球在c点的回复力F=mg-F'=mg-k(x+x0)=mg-kx-kx0=-kx，回复力满足F=-kx，同理可知在b点上方回复力也满足F=-kx，小球做简谐运动。
2.如图所示，质量为m的木块随质量为M的滑块在光滑地面上一起做简谐运动，水平轻质弹簧的劲度系数为k，试分析木块的回复力来源并写出木块回复力F木的表达式。
答案　木块的回复力由静摩擦力提供。由牛顿第二定律，对整体有F=(m+M)a，对木块有F木=ma，弹簧弹力提供整体做简谐运动的回复力，即F=-kx，则F木=-kx。
1.回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
2.简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。
(1)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　×　)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　×　)
例1　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
答案　AD
解析　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。
例2　(多选)如图所示，物体m系在两水平轻质弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，现向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计摩擦和空气阻力)，O为平衡位置，x为物体相对O的位移，则下列判断正确的是(　　)
A.m做简谐运动，OC=OB
B.m做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
答案　AD
解析　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受回复力：F=-(k1x+k2x)=-3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB，故A、D正确。
　判断振动物体是否做简谐运动的方法
1.振动物体的回复力满足F=-kx；
2.振动物体的位移x与时间t满足x=Asin(t+φ)函数关系；
3.振动物体的振动图像是正弦曲线。
二、简谐运动的能量
如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间做往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
答案　(1)小球的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。
(2)小球回到平衡位置的动能增大；振动系统的机械能增大；振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。
1.简谐运动的能量：简谐运动的能量是指弹簧振子经过某一位置时系统所具有的动能和势能之和。
2.能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
3.能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
4.对于弹簧的劲度系数和小球的质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
例3　(2025·哈尔滨市高二期中)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它以O为平衡位置在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)
A.小球在O位置时，动能最小，加速度最大
B.小球在A、B位置时，动能最小，回复力最大
C.小球从A经O的过程中，加速度变小，振幅变小
D.小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量变小
答案　B
解析　小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能最小，动能最大，位移为零，加速度为零，故A错误；小球在最大位移处A、B位置时，速度为零，动能为零，回复力最大，则加速度最大，故B正确；小球从A到O的过程中，位移减小，加速度减小，振幅为偏离平衡位置的最大距离，不随运动过程变化，故C错误；小球从B到O的过程中，速度增大，动能增大，势能减小，但总能量不变，故D错误。
拓展　如图所示，A、B两个物体与水平轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？振幅有什么变化？
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？振幅有什么变化？
答案　(1)在M点时，系统的动能为零，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的最大弹性势能不变，总能量不变，最大动能不发生变化，振幅也不发生变化。
(2)在O点时弹簧弹性势能为零，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能将减小，振幅将变小。
三、简谐运动中各物理量的变化
小球在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，根据简谐运动中各物理量变化的特点，填写表格。
物理量 A A→O O O→B B
x 向左、 最大 向左 减小 0 向右 增大 向右、 最大
v
F(a)
动能
弹性 势能
答案
物理量 A A→O O O→B B
x 向左、 最大 向左 减小 0 向右 增大 向右、 最大
v 0 向右 增大 向右 最大 向右 减小 0
F(a) 向右、 最大 向右 减小 0 向左 增大 向左、 最大
动能 0 增大 最大 减小 0
弹性 势能 最大 减小 0 增大 最大
例4　(多选)如图为某质点做简谐运动的图像，则由图线可知(　　)
A.t=0.5 s时质点的回复力沿正方向
B.t=2.5 s时质点的速度与加速度同向
C.t=3.5 s时正处在动能向势能转化的过程之中
D.从第1 s末到第2 s末质点的位移增大，质点在做加速度减小的减速运动
答案　BC
解析　由题图可知，t=0.5 s时的位移方向沿正方向，则此时的回复力沿负方向，故A错误；由题图可知，t=2.5 s时质点的速度与加速度同向，均沿正方向，故B正确；由题图可知，t=3.5 s时质点处于从平衡位置向正向最大位移处振动的过程中，正处在动能向势能转化的过程之中，故C正确；由题图可知，从第1 s末到第2 s末质点的位移增大，根据牛顿第二定律，质点的加速度a=-，可知质点在做加速度增大的减速运动，故D错误。
　分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时，以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
课时对点练
[分值：65分]
[1、2、4~7题，每题4分]
考点一　简谐运动的回复力
1.关于简谐运动的回复力F=-kx的含义，下列说法正确的是(　　)
A.k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B.k是回复力与位移的比值，x是做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移
C.根据k=-，可以认为k与F成正比
D.表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动
答案　B
解析　回复力F=-kx是所有简谐运动都必须满足的关系式，其中F是回复力，k是回复力与位移的比值(即公式中的比例关系)，x是做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移，A错误，B正确； k是回复力跟位移的比值(即公式中的比例关系)，与F无关，C错误；“-”号表示F的方向始终与物体位移方向相反，有时使物体加速，有时阻碍物体的运动，D错误。
2.(2025·黔西南州高二检测)对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　)
答案　C
解析　根据简谐运动的特征F=-kx，由数学知识可知F的大小与x的大小成正比，方向相反。故选C。
3.(10分)如图甲所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成，拆下其中单个浮筒如图乙所示。单个浮筒的横截面积一定，在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动，浮筒的质量为m，浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g，求：
(1)(5分)浮筒做简谐运动时回复力的最大值Fm。
(2)(5分)浮筒做简谐运动时回复力大小与位移大小的比例系数k。
答案　(1)0.2mg　(2)
解析　(1)浮筒静止时，设排水体积为V，
可知mg=ρgV
排水体积最大时，回复力为Fm=1.2ρgV-mg
解得Fm=0.2mg
(2)根据回复力大小与位移大小的关系可知
Fm=kA
解得k=。
考点二　简谐运动的能量
4.(2026·南京市第一中学高二检测)如图所示，质量为M的物块系在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A。在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面(有机械能损失)，第二次是当M运动到最大位移处C时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则(　　)
A.A1=A2=A B.A1C.A1=A2答案　B
解析　振子运动到C点时速度恰为0，此时放上小物块，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能不变，故振幅不变，即A2=A；振子运动到平衡位置时速度最大，弹簧的弹性势能为零，放上小物块后，系统的机械能减小，根据能量守恒定律可得机械能转化为弹性势能的总量减小，故弹簧的最大伸长(压缩)量减小，即振幅减小，所以A15.如图所示，光滑的斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的A、B两点之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A.滑块运动到O点时，弹性势能为零
B.滑块运动到O点时，动能最大
C.滑块由 A 向O 运动过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D.滑块由O向 B 运动过程中，滑块的机械能一直不变
答案　B
解析　滑块运动到O点时，弹簧处于伸长状态，弹性势能不为零，此时速度最大，动能最大，选项A错误，B正确；滑块由A向O运动过程中，弹簧伸长量一直减小，则弹性势能一直减小，选项C错误；滑块由O向B运动过程中，弹簧的弹力对滑块做功，则滑块的机械能会发生变化，选项D错误。
考点三　简谐运动中各物理量的变化
6.(2025·安康市高二期中)如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于水平桌面上，此时轻弹簧竖直，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座始终未离开桌面，不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是(　　)
A.头部在上下振动的过程中受到重力、弹力和回复力
B.头部从O点向A点运动过程中，速度逐渐减小
C.头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐减小
D.头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒
答案　B
解析　头部在上下振动时，做简谐运动，重力和弹力的合力提供回复力，故A错误；头部从O点向A点运动过程中，是从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，加速度增大，故B正确，C错误；在整个运动过程中，头部和弹簧组成的系统机械能守恒，头部的机械能不守恒，故D错误。
7.(2025·嘉兴市高二期中)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，规定向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
A.0.4 s时振子加速度从O指向N
B.0.4~0.8 s内振子的动能转化为弹性势能
C.0.8 s和1.6 s时振子的速度相同
D.0.4~1.2 s内振子通过的路程为24 cm
答案　D
解析　0.4 s时振子位移为正，可知振子此时在O点右侧，故弹力从N指向O，则加速度从N指向O，故A错误；由题图可知0.4~0.8 s内振子向平衡位置运动，则动能增加，弹性势能减少，即弹性势能转化为动能，故B错误；x-t图像的斜率表示速度，由对称性可知，0.8 s和1.6 s时图像斜率绝对值大小相等，但斜率一正一负，即速度大小相等、方向不同，故C错误；由题图可知0.4~1.2 s内振子通过的路程s=12 cm+12 cm=24 cm，故D正确。
[8~10题，每题6分]
8.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供的
B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C.物体A的回复力大小跟位移大小之比为k
D.若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
答案　AD
解析　物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B整体的回复力满足F=-kx，由牛顿第二定律F=(m+M)a，FA=ma=-kx，则物体A的回复力大小跟位移大小之比为k，故C错误；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA=(m+M)a'，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg=ma'，联立解得A=，故D正确。
9.(2026·惠州市第八中学高二检测)装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是(　　)
A.位移满足函数式 x=4sin cm
B.回复力是浮力
C.在 t1~t2时间内，位移减小，速度减小，加速度增大
D.振动过程中玻璃管的机械能守恒
答案　A
解析　振动周期为0.5 s，则圆频率为 ω==4π rad/s，依题意，A=4 cm，t=0时，x0=-A=Asin φ，结合t=0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0=-π，则玻璃管的振动方程为x=4sin cm，故A正确；回复力由浮力和重力的合力提供，故B错误；由题图乙可知，在t1~t2时间内，位移减小，根据a=-易知加速度减小，该段时间内玻璃管向平衡位置做加速运动，所以速度增大，故C错误；玻璃管在做简谐运动过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以玻璃管的机械能不守恒，故D错误。
10.(2025·浙江省A9协作体高二期中)小明将手机系在轻弹簧下方制作了一个振动装置。在一次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.1 s时，手机位于平衡位置上方且速度在增大
C.从t=0.4 s至t=0.6 s，手机的动能减小
D.从t=0.4 s至t=0.6 s，手机的机械能先增加后减少
答案　C
解析　由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律可知，此时手机所受合力为0，弹簧弹力大小等于手机的重力大小，故A错误；由题图乙知，t=0.1 s时，手机加速度为正，且正在增大，则手机在平衡位置下方，向负向最大位移处运动，速度减小，故B错误；由题图乙知，从t=0.4 s至t=0.6 s，手机的加速度由0变为负向最大，则手机由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，动能减小，此过程中手机与弹簧组成的系统机械能守恒，由手机的最大加速度为4 m/s2可知，弹簧此过程中一直处于拉伸状态，则从t=0.4 s至t=0.6 s，弹簧伸长量一直减小，弹簧弹性势能一直减小，则手机的机械能一直增加，故C正确，D错误。
11.(13分)如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA=mB=0.1 kg，弹簧的劲度系数为k=40 N/m，剪断A、B间的轻质细绳后，A做简谐运动，不计空气等阻力，弹簧始终没有超过弹性限度，g取10 m/s2。求：
(1)(3分)剪断细绳瞬间的回复力大小。
(2)(6分)A做简谐运动的振幅。
(3)(4分)A在最高点时的弹簧弹力大小。
答案　(1)1 N　(2)0.025 m　(3)0
解析　(1)剪断细绳前，弹簧弹力大小为
F弹=mAg+mBg
剪断细绳的瞬间，A做简谐运动的回复力为
F回=F弹-mAg=mBg=0.1×10 N=1 N
(2)由题意，可得剪断细绳瞬间弹簧的形变量为
x1=== m
=0.05 m，
剪断细绳后，A处于平衡位置时，弹簧的形变量为x2== m=0.025 m
根据简谐运动的特点，则A做简谐运动的振幅为
A=x1-x2=0.025 m
(3)根据对称性可知，A在最高点时回复力大小等于最低点时回复力大小，设A在最高点时的弹簧弹力大小为F弹'，
则有F弹'+mAg=F回=1 N，
解得F弹'=0。(共57张PPT)
第
二
章
简谐运动的回复力和能量
3
1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征(重点)。
2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。
3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。
学习目标
内容索引
课时对点练
一、简谐运动的回复力
二、简谐运动的能量
三、简谐运动中各物理量的变化
< 一 >
简谐运动的回复力
如图所示为水平方向的弹簧振子模型。
(1)当小球离开O点后，是什么力使其回到平衡位置的？
答案　弹簧的弹力使小球回到平衡位置。
(2)使小球回到平衡位置的力与小球离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案　弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1.回复力
(1)定义：使振动物体回到 的力。
(2)方向：总是指向 。
(3)表达式：F= 。式中“-”号表示F与x方向相反。
2.简谐运动
理论上可以证明，如果物体所受的力具有 的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置______
的大小成 ，并且总是指向 ，物体的运动就是简谐运动。
平衡位置
平衡位置
-kx
F=-kx
位移
正比
平衡位置
1.在劲度系数为k、原长为L0的固定于一点的轻质弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球将做简谐运动，弹簧始终没有超出弹性限度。试分析小球做简谐运动的回复力来源并证明小球做简谐运动。
答案　弹簧弹力和重力的合力充当回复力。规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg=kx0，小球在c点受到的弹力大小为F'=k(x+x0)，小球在c点的回复力F=mg-F'=mg-k(x+x0)=mg-kx-kx0=-kx，回复力满足F=-kx，同理可知在b点上方回复力也满足F=-kx，小球做简谐运动。
2.如图所示，质量为m的木块随质量为M的滑块在光滑地面上一起做简谐运动，水平轻质弹簧的劲度系数为k，试分析木块的回复力来源并写出木块回复力F木的表达式。
答案　木块的回复力由静摩擦力提供。由牛顿第二定律，对整体有F=(m+M)a，对木块有F木=ma，弹簧弹力提供整体做简谐运动的回复力，
即F=-kx，则F木=-kx。
1.回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
2.简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。
(1)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　　)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　　)
×
×
(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧
弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
例1
√
√
弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；
回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；
回复力总是指向平衡位置，故D正确。
(多选)如图所示，物体m系在两水平轻质弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，现向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计摩擦和空气阻力)，O为平衡位置，x为物体相对O的位移，则下列判断正确的是
A.m做简谐运动，OC=OB
B.m做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
例2
√
√
以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受回复力：F=-(k1x+k2x)=-3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB，故A、D正确。
总结提升
判断振动物体是否做简谐运动的方法
1.振动物体的回复力满足F=-kx；
2.振动物体的位移x与时间t满足x=Asin(t+φ)函数关系；
3.振动物体的振动图像是正弦曲线。
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< 二 >
简谐运动的能量
如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间做往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧
弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
答案　小球的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。
(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
答案　小球回到平衡位置的动能增大；振动系统的机械能增大；振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。
1.简谐运动的能量：简谐运动的能量是指弹簧振子经过某一位置时系统所具有的 和 之和。
2.能量转化
弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程。
(1)在最大位移处， 最大， 为零。
(2)在平衡位置处， 最大， 最小。
动能
势能
动能
势能
势能
动能
动能
势能
3.能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。
4.对于弹簧的劲度系数和小球的质量都一定的系统， 越大，机械能越大。
守恒
理想化
振幅
(2025·哈尔滨市高二期中)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它以O为平衡位置在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是
A.小球在O位置时，动能最小，加速度最大
B.小球在A、B位置时，动能最小，回复力最大
C.小球从A经O的过程中，加速度变小，振幅变小
D.小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量变小
例3
√
小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能最小，动能最大，位移为零，加速度为零，故A错误；
小球在最大位移处A、B位置时，速度为零，动能为零，回复力最大，则加速度最大，故B正确；
小球从A到O的过程中，位移减小，加速度减小，振幅为偏离平衡位置的最大距离，不随运动过程变化，故C错误；
小球从B到O的过程中，速度增大，动能增大，势能减小，但总能量不变，故D错误。
拓展　如图所示，A、B两个物体与水平轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？振幅有什么变化？
答案　在M点时，系统的动能为零，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的最大弹性势能不变，总能量不变，最大动能不发生变化，振幅也不发生变化。
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？振幅有什么变化？
答案　在O点时弹簧弹性势能为零，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能将减小，振幅将变小。
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< 三 >
简谐运动中各物理量的变化
小球在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，根据简谐运动中各物理量变化的特点，填写表格。
物理量 A A→O O O→B B
x 向左、最大 向左减小 0 向右增大 向右、最大
v
F(a)
动能
弹性势能
答案
物理量 A A→O O O→B B
x 向左、最大 向左减小 0 向右增大 向右、最大
v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0
F(a) 向右、最大 向右减小 0 向左增大 向左、最大
动能 0 增大 最大 减小 0
弹性势能 最大 减小 0 增大 最大
(多选)如图为某质点做简谐运动的图像，则由图线可知
A.t=0.5 s时质点的回复力沿正方向
B.t=2.5 s时质点的速度与加速度同向
C.t=3.5 s时正处在动能向势能转化的过程之中
D.从第1 s末到第2 s末质点的位移增大，质点在做加速度减小的减速运动
例4
√
√
由题图可知，t=0.5 s时的位移方向沿正方向，则此时的回复力沿负方向，故A错误；
由题图可知，t=2.5 s时质点的速度与加速度同向，均沿正方向，故B正确；
由题图可知，t=3.5 s时质点处于从平衡位置向正向最大位移处振动的过程中，正处在动能向势能转化的过程之中，故C正确；
由题图可知，从第1 s末到第2 s末质点的位移增大，根据牛顿第二定律，
质点的加速度a=-，可知质点在做加速度增大的减速运动，故D错误。
总结提升
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时，以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
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< 四 >
课时对点练
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C (1)0.2mg　(2) B B B
题号 7 8 9 10 11
答案 D AD A C (1)1 N　(2)0.025 m　(3)0
对一对
答案
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3
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考点一　简谐运动的回复力
1.关于简谐运动的回复力F=-kx的含义，下列说法正确的是
A.k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B.k是回复力与位移的比值，x是做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移
C.根据k=-，可以认为k与F成正比
D.表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动
基础对点练
√
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答案
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答案
回复力F=-kx是所有简谐运动都必须满足的关系式，其中F是回复力，k是回复力与位移的比值(即公式中的比例关系)，x是做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移，A错误，B正确；
k是回复力跟位移的比值(即公式中的比例关系)，与F无关，C错误；
“-”号表示F的方向始终与物体位移方向相反，有时使物体加速，有时阻碍物体的运动，D错误。
11
2.(2025·黔西南州高二检测)对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是
1
2
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答案
11
√
根据简谐运动的特征F=-kx，由数学知识可知F的大小与x的大小成正比，方向相反。故选C。
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答案
11
3.如图甲所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成，拆下其中单个浮筒如图乙所示。单个浮筒的横截面积一定，在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动，浮筒的质量为m，浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g，求：
(1)浮筒做简谐运动时回复力的最大值Fm。
答案　0.2mg
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答案
11
浮筒静止时，设排水体积为V，
可知mg=ρgV
排水体积最大时，回复力为Fm=1.2ρgV-mg
解得Fm=0.2mg
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答案
11
(2)浮筒做简谐运动时回复力大小与位移大小的比例系数k。
答案　
根据回复力大小与位移大小的关系可知
Fm=kA
解得k=。
考点二　简谐运动的能量
4.(2026·南京市第一中学高二检测)如图所示，质量为M的物块系在水平放置的左端固定的轻质弹簧的右端，构成一弹簧振子，物块可沿光滑水平面在BC间做简谐运动，振幅为A。在运动过程中将一质量为m的小物块轻轻地放在M上，第一次是当M运动到平衡位置O处时放在上面(有机械能损失)，第二次是当M运动到最大位移处C时放在上面，观察到第一次放后的振幅为A1，第二次放后的振幅为A2，则
A.A1=A2=A B.A1C.A1=A2√
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答案
11
振子运动到C点时速度恰为0，此时放上小物块，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能不变，故振幅不变，即A2=A；振子运动到平衡位置时速度最大，弹簧的弹性势能为零，放上小物块后，系统的机械能减小，根据能量守恒定律可得机械能转化为弹性势能的总量减小，故弹簧的最大伸长(压缩)量减小，即振幅减小，所以A11
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答案
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答案
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5.如图所示，光滑的斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的A、B两点之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是
A.滑块运动到O点时，弹性势能为零
B.滑块运动到O点时，动能最大
C.滑块由 A 向O 运动过程中，弹簧弹性势能先
减小后增大
D.滑块由O向 B 运动过程中，滑块的机械能一直不变
√
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答案
11
滑块运动到O点时，弹簧处于伸长状态，弹性势能不为零，此时速度最大，动能最大，选项A错误，B正确；
滑块由A向O运动过程中，弹簧伸长量一直减小，则弹性势能一直减小，选项C错误；
滑块由O向B运动过程中，弹簧的弹力对滑块做功，则滑块的机械能会发生变化，选项D错误。
考点三　简谐运动中各物理量的变化
6.(2025·安康市高二期中)如图甲所示，“笑脸弹簧小人”由头部、轻弹簧及底座组成，将弹簧小人静置于水平桌面上，此时轻弹簧竖直，其简化模型如图乙所示，头部在O点时刚好静止。现将头部压到B点由静止释放，头部在AB之间上下振动，底座始终未离开桌面，不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是
A.头部在上下振动的过程中受到重力、弹力和回复力
B.头部从O点向A点运动过程中，速度逐渐减小
C.头部从O点向A点运动过程中，加速度逐渐减小
D.头部在上下振动过程中，头部的机械能守恒
√
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答案
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答案
11
头部在上下振动时，做简谐运动，重力和弹力的合力提供回复力，故A错误；
头部从O点向A点运动过程中，是从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，加速度增大，故B正确，C错误；
在整个运动过程中，头部和弹簧组成的系统机械能守恒，头部的机械能不守恒，故D错误。
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答案
11
7.(2025·嘉兴市高二期中)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，规定向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是
A.0.4 s时振子加速度从O指向N
B.0.4~0.8 s内振子的动能转化为
弹性势能
C.0.8 s和1.6 s时振子的速度相同
D.0.4~1.2 s内振子通过的路程为24 cm
√
0.4 s时振子位移为正，可知振子此时在O点右侧，故弹力从N指向O，则加速度从N指向O，故A错误；
由题图可知0.4~0.8 s内振子向平衡位置运动，则动能增加，弹性势能减少，即弹性势能转化为动能，故B错误；
x-t图像的斜率表示速度，由对称性可知，0.8 s和1.6 s时图像斜率绝对值大小相等，但斜率一正一负，即速度大小相等、方向不同，故C错误；
由题图可知0.4~1.2 s内振子通过的路程s=12 cm+12 cm=24 cm，故D正确。
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答案
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8.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供的
B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C.物体A的回复力大小跟位移大小之比为k
D.若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
√
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答案
11
能力综合练
√
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答案
物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供的，故A正确；
滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误；
物体A与滑块B整体的回复力满足F=-kx，由牛顿第二定律F=(m+M)a，
FA=ma=-kx，则物体A的回复力大小跟位移大小之比为k，故C
错误；
11
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答案
当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA=(m+M)a'，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律
得μmg=ma'，联立解得A=，故D正确。
11
9.(2026·惠州市第八中学高二检测)装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5 s。以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是
A.位移满足函数式 x=4sin cm
B.回复力是浮力
C.在 t1~t2时间内，位移减小，速度减小，
加速度增大
D.振动过程中玻璃管的机械能守恒
√
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答案
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振动周期为0.5 s，则圆频率为 ω==4π rad/s，依题意，A=4 cm，t=0时，
x0=-A=Asin φ，结合t=0时刻玻璃管振动的方向向下，可知φ0=-π，则
玻璃管的振动方程为x=4sin cm，故A正确；
回复力由浮力和重力的合力提供，故B错误；
由题图乙可知，在t1~t2时间内，位移减小，根据a=-易知加速度减小，
该段时间内玻璃管向平衡位置做加速运动，所以速度增大，故C错误；
玻璃管在做简谐运动过程中，水的浮力对玻璃管做功，所以玻璃管的机械能不守恒，故D错误。
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10.(2025·浙江省A9协作体高二期中)小明将手机系在轻弹簧下方制作了一个振动装置。在一次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.1 s时，手机位于平衡位置上方且
速度在增大
C.从t=0.4 s至t=0.6 s，手机的动能减小
D.从t=0.4 s至t=0.6 s，手机的机械能先增加后减少
√
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答案
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由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律可知，此时手机所受合力为0，弹簧弹力大小等于手机的重力大小，故A错误；
由题图乙知，t=0.1 s时，手机加速度为正，且正在增大，则手机在平衡位置下方，向负向最大位移处运动，速度减小，故B错误；
由题图乙知，从t=0.4 s至t=0.6 s，手机的加速度由0变为负向最大，则手机由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，动能减小，此过程中手机与弹簧组成的系统机械能守恒，由手机的最大加速度为4 m/s2可知，弹簧此过程中一直处于拉伸状态，则从t=0.4 s至t=0.6 s，弹簧伸长量一直减小，弹簧弹性势能一直减小，则手机的机械能一直增加，故C正确，D错误。
11.如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体，mA=mB=0.1 kg，弹簧的劲度系数为k=40 N/m，剪断A、B间的轻质细绳后，A做简谐运动，不计空气等阻力，弹簧始终没有超过弹性限度，g取10 m/s2。求：
(1)剪断细绳瞬间的回复力大小。
答案　1 N
剪断细绳前，弹簧弹力大小为
F弹=mAg+mBg
剪断细绳的瞬间，A做简谐运动的回复力为
F回=F弹-mAg=mBg=0.1×10 N=1 N
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答案
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(2)A做简谐运动的振幅。
答案　0.025 m
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答案
11
由题意，可得剪断细绳瞬间弹簧的形变量为
x1=== m
=0.05 m，
剪断细绳后，A处于平衡位置时，弹簧的形变量为x2== m=
0.025 m
根据简谐运动的特点，则A做简谐运动的振幅为
A=x1-x2=0.025 m
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(3)A在最高点时的弹簧弹力大小。
答案　0
根据对称性可知，A在最高点时回复力大小等于最低点时回复力大小，设A在最高点时的弹簧弹力大小为F弹'，
则有F弹'+mAg=F回=1 N，
解得F弹'=0。
返回
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第
二
章

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