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4　单摆
[学习目标]　1.知道单摆的概念和单摆振动时回复力的来源(重点)。2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式(重难点)。
一、单摆及其回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A'间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
答案　(1)小球受重力和细线的拉力作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过平衡位置时还有向心力，其合外力不为零。
1.单摆
(1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)单摆是实际摆的理想化模型。
2.单摆的回复力
来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F=mgsin θ。
1.单摆的振动是否为简谐运动，可通过回复力与位移是否成正比并且方向相反分析。请结合回复力的来源进行探究。(在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等)
答案　单摆的回复力大小为F=mgsin θ，由数学知识可知sin θ≈θ≈，其中x表示摆球偏离平衡位置的位移(圆弧近似看成直线)，l表示单摆的摆长，且回复力F指向平衡位置，与位移x反向，那么单摆的回复力可表示为F=-x，若比例系数用常量k表示，则可写为F=-kx，说明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
2.如图，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。你能得出什么结论？
答案　匀速拖动木板，观察到墨汁呈现正弦式图样，可说明单摆位移与时间的关系满足正弦关系，单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
1.当摆角小于5°时，单摆的运动可看成为简谐运动。
2.单摆在平衡位置时，回复力为零，速度最大，但合外力(加速度)并不为零。
3.采用双线悬挂小球，更易控制小球在同一平面上做简谐运动。
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(　×　)
(2)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。(　×　)
(3)摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比。(　×　)
例1　(2025·遂宁市高二检测)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是(　　)
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大
C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大
D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
答案　C
解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误；单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误；摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。
二、单摆的周期
1.单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。
2.单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是惠更斯首先提出的。
(2)公式：T=2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
说明：①单摆的周期公式在摆角很小时成立。
②公式中的l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l=l线+，d为摆球的直径。
③公式中的g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
例2　(2025·上海市育才中学高二期中)摆长为l的单摆在竖直平面内做小角度(小于5°)摆动，振动周期为T，为使该单摆的周期变为2T，正确的做法是(　　)
A.将单摆的振幅增大为原来的2倍
B.将单摆的摆长调整为l
C.将单摆的摆长调整为4l
D.将摆球的质量增大为原来的2倍
答案　C
解析　由单摆周期公式T=2π可知，使单摆周期变为原来的2倍，应将摆长调整为原来的4倍，与振幅和摆球质量无关。故A、B、D错误，C正确。
例3　周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
答案　1 m　175 s
解析　根据单摆周期公式T=2π可得l=
代入数据解得l= m=1 m
秒摆拿到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为=
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t=50T'=50T=50×2× s=175 s。
三、单摆模型的拓展
1.等效摆长及等效重力加速度
(1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T=2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
2.几种常见的类单摆模型
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
双线摆 不变，lsin α+r 不变，g T=2π
折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T=π+π
圆弧摆 不变，R-r 不变，g T=2π
斜面摆 不变，l+r 不变， gsin α T=2π
说明：若小球可视为质点，以上各式中的r为0。
例4　(2025·汨罗市第一中学高二检测)下列图中的几个相同的单摆处在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是(　　)
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁
D.T甲答案　C
解析　根据单摆的周期公式T=2π可知，单摆的周期与摆球质量无关，与摆长和等效重力加速度有关；甲中沿斜面的加速度为a=gsin θ，即等效重力加速度为gsin θ，所以周期为T甲=2π，乙中加速度为a=g，所以周期为T乙=2π，丙中的周期为T丙=2π，丁中的等效重力加速度为a'=g+a，所以周期为T丁=2π，故T甲>T乙=T丙>T丁，故选C。
课时对点练
[分值：65分]
[1~6题，每题4分]
考点一　单摆及单摆的回复力
1.单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是(　　)
A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零
D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
答案　C
解析　由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误；橡皮筋摆动过程中长度会发生变化，不能看成单摆，故B错误；当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是合力提供向心力，所受合力不为零，故C正确；单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简谐运动的规律，故D错误。
2.(多选)一单摆做小角度(小于5°)摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)
A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
答案　CD
解析　由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误，D正确；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确。
考点二　单摆的周期公式
3.(2025·江门市新会第一中学高二检测)惠更斯利用单摆的等时性原理制成了第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动，摆钟的摆动可看作是单摆，下列说法正确的是(　　)
A.在山脚走时准的摆钟，在山顶仍能走准
B.若将摆钟的摆角由3°增加到5°(不计空气阻力)，单摆的周期不变
C.走时准确的摆钟，调节螺母向下移动，摆钟仍能走准
D.将摆钟由北极移到赤道，单摆的周期减小
答案　B
解析　根据T=2π，在山脚走时准的摆钟，在山顶g变小，周期T变大，摆钟变慢，A错误；单摆的周期与摆角无关，若将摆钟的摆角由3°增加到5°(不计空气阻力)，单摆的周期不变，B正确；走时准确的摆钟，调节螺母向下移动，摆长l变大，周期T变大，摆钟变慢，C错误；将摆钟由北极移到赤道，g变小，单摆的周期T变大，D错误。
4.(2025·临沂市高二期末)已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长la与lb分别为(　　)
A.la=4.0 m，lb=2.4 m
B.la=2.4 m，lb=4.0 m
C.la=0.9 m，lb=2.5 m
D.la=2.5 m，lb=0.9 m
答案　C
解析　设单摆a完成10次全振动的时间为t，则单摆a的周期Ta=，单摆b的周期为Tb=，根据单摆周期公式T=2π可知a、b单摆的周期分别为Ta=2π=，Tb=2π=，又因为lb-la=1.6 m，联立解得la=0.9 m，lb=2.5 m，故选C。
考点三　单摆模型的拓展
5.如图所示，500米口径的球面射电望远镜(FAST)位于贵州省，是我国重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法：假设FAST内表面是光滑的球面，他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放，用秒表测出它完成n次全振动的时间t，如果当地重力加速度为g，将小球的运动视为简谐运动，小球可视为质点，则FAST的球面半径R为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　小球做简谐运动的周期为T=，由单摆周期公式可知T=2π，联立解得FAST的球面半径为R=，故选A。
6.(2025·河南省部分名校高二期中)如图所示，倾角为30°的斜面上平行于斜面固定着一内壁光滑、半径为R的圆形管道，O为其圆心，A点为其最低点，管道处于一平行于斜面底边的匀强电场中(未画出)，一带电小球(可视为质点)静止于管道内的B点，∠BOA=60°，现将小球置于离B点较近的位置由静止释放(释放点与圆心连线和OB夹角小于5°)，从释放到第一次经过B点的时间为(重力加速度为g)(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　画出小球静止于B点时在斜面方向的受力分析图，如图所示
由图可知，小球受到的重力沿斜面的分力与静电力的合力大小为F合==mg
等效重力加速度为g，则小球的运动可看成单摆模型，从释放到第一次经过B点的时间为t==×2π=，故选B。
7.(10分)(2025·北京市日坛中学高二期中)如图，半径为R光滑且绝缘的圆弧面上有一个质量为m的小球(半径很小可忽略)，把它从最低点移开一小段距离，距最低点的高度为h(h远小于R)。放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，重力加速度为g，求：
(1)(5分)小球从释放到最低点的时间t。
(2)(5分)若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，分析小球运动的周期如何变化。
答案　(1)　(2)变小
解析　(1)小球做类单摆运动，则周期T=2π
则小球从释放到最低点的时间t=T=
(2)若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，将叠加场等效为重力场，则等效重力加速度大于原重力加速度，根据T=2π可知，小球的运动周期将变小。
[8、9题，每题6分]
8.(多选)(2026·惠州市第一中学高二检测)摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，重力加速度为g，则该单摆(　　)
A.摆长为
B.摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量大小为2mgt0
C.摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做的功为E0
D.单摆的周期为4t0
答案　CD
解析　单摆做简谐运动，动能变化的周期是单摆周期的一半。由题图可知，动能变化周期为2t0，则单摆周期T为4t0，根据T=2π，解得摆长l=，故A错误，D正确；摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量大小为I=mg×=mgt0，故B错误；回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，在摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做功等于动能的变化量，即E0，故C正确。
9.(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　)
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为4∶9
答案　BC
解析　根据题图可知1.5T甲=T乙，f=，所以甲和乙两单摆振动的周期之比为2∶3、频率之比是3∶2，故B、C正确；根据单摆的周期公式T=2π，可知同一地点重力加速度相同，则摆长和周期的平方成正比，即甲、乙两单摆摆长之比为4∶9，故A错误；若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4，故D错误。
10.(11分)(2025·重庆市第十八中学高二期中)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时40 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，当地重力加速度g取π2 m/s2；根据以上数据，求：
(1)(4分)小球运动的周期T。
(2)(7分)房顶到窗上沿的高度h。
答案　(1)4 s　(2)8 m
解析　(1)由题意小球全振动的次数为
n==10(次)
小球运动的周期T== s=4 s
(2)设小球在最低点B时球心到窗上沿的距离为l，
由题意知l=1 m，
小球在B、C间振动时的周期为T1=2π
小球在B、A间振动时的周期为T2=2π
故T=+
联立解得h=8 m
　[8分]
11.(2025·杭州市高二期末)“双线摆”如图甲所示，双线长均为L，两线夹角为θ，摆球(可视为质点)质量为m，给摆球一个垂直于两线平面方向的较小速度，使得摆球以较小摆角(小于5°)摆动。“杆线摆”结构如图乙所示，长为L的轻杆一端通过活动铰链与立柱OO'垂直连接，另一端安装质量为m的摆球(可视为质点)，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A点，给摆球一垂直于纸面的较小速度，使轻杆垂直于立柱来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾角为θ的平面内。已知θ=30°，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.图甲中摆球的周期为T=2π
B.图乙中摆球的摆动周期为T=2π
C.图乙中摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为mg
D.若增大细线长度使A点上移，则摆球运动周期增大
答案　C
解析　题图甲中“双线摆”的摆长为Lcos，结合单摆的周期公式有T=2π，代入角度，可得T=2π，故A错误；题图乙中摆球在平衡位置静止时，在垂直于倾角为θ的平面方向上的合力为零，对题图乙中摆球进行受力分析，如图所示，由图可知：FAsin θ=mgcos θ，即可得细线的拉力为FA=mg，故C正确；结合该等效单摆的摆长和加速度关系，可知题图乙“杆线摆”的周期为T=2π，解得：T=2π，故B错误；由“杆线摆”的周期公式可知细线长度对摆球的运动周期无影响，故D错误。(共53张PPT)
单摆
4
第
二
章
1.知道单摆的概念和单摆振动时回复力的来源(重点)。
2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式(重难点)。
学习目标
内容索引
课时对点练
一、单摆及其回复力
二、单摆的周期
三、单摆模型的拓展
< 一 >
单摆及其回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A'间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
答案　小球受重力和细线的拉力作用。
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
答案　细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
答案　小球经过平衡位置时还有向心力，其合外力不为零。
1.单摆
(1)定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的长度不可改变，细线的 与小球相比可以忽略，球的 与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)单摆是实际摆的理想化模型。
2.单摆的回复力
来源：摆球的重力沿 方向的分力，即F= 。
质量
直径
圆弧切线
mgsin θ
1.单摆的振动是否为简谐运动，可通过回复力与位移是否成正比并且方向相反分析。请结合回复力的来源进行探究。(在摆角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等)
答案　单摆的回复力大小为F=mgsin θ，由数学知识可知sin θ≈θ≈，其中x表示摆球偏离平衡位置的位移(圆弧近似看成直线)，l表示单摆的摆长，且回复力F指向平衡位置，与位移x反向，那么单摆的回复力可表示为F=-x，若比例系数用常量k表示，则可写为F=-kx，说明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
2.如图，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样。你能得出什么结论？
答案　匀速拖动木板，观察到墨汁呈现正弦式图样，可说明单摆位移与时间的关系满足正弦关系，单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。
1.当摆角小于5°时，单摆的运动可看成为简谐运动。
2.单摆在平衡位置时，回复力为零，速度最大，但合外力(加速度)并不为零。
3.采用双线悬挂小球，更易控制小球在同一平面上做简谐运动。
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。(　　)
(2)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。(　　)
(3)摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比。
(　　)
×
×
×
(2025·遂宁市高二检测)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是
A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大
C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，
但回复力最大
D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
例1
√
摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误；
单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误；
摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；
摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。
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< 二 >
单摆的周期
1.单摆振动的周期与摆球质量 (选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅 (选填“有关”或“无关”)，但与摆长 (选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期 (选填“越大”“越小”或“不变”)。
2.单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是 首先提出的。
(2)公式：T= ，即周期T与 成正比，与_______
成反比，而与振幅、摆球质量 。
无关
无关
有关
越大
惠更斯
2π
摆长l的二次方根
重力加
速度g的二次方根
无关
说明：①单摆的周期公式在摆角很小时成立。
②公式中的l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，l=l线+，d为摆球的直径。
③公式中的g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(2025·上海市育才中学高二期中)摆长为l的单摆在竖直平面内做小角度(小于5°)摆动，振动周期为T，为使该单摆的周期变为2T，正确的做法是
A.将单摆的振幅增大为原来的2倍
B.将单摆的摆长调整为l
C.将单摆的摆长调整为4l
D.将摆球的质量增大为原来的2倍
例2
√
由单摆周期公式T=2π可知，使单摆周期变为原来的2倍，应将摆长调整为原来的4倍，与振幅和摆球质量无关。故A、B、D错误，C正确。
周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
例3
答案　1 m　175 s
根据单摆周期公式T=2π可得l=
代入数据解得l= m=1 m
秒摆拿到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为=
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t=50T'=50T=50×2× s=175 s。
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< 三 >
单摆模型的拓展
1.等效摆长及等效重力加速度
(1)等效摆长：图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，
甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T=2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向
摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
2.几种常见的类单摆模型
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
双线摆 不变，lsin α+r 不变，g T=2π
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
折线摆 碰到钉子后变小 不变，g T=π+π
模型 图示(l、l1、l2为摆线长，R为圆弧半径，r为摆球半径) 摆长 等效重力加速度 周期T
圆弧摆 不变，R-r 不变，g T=2π
斜面摆 不变，l+r 不变，gsin α T=2π
说明：若小球可视为质点，以上各式中的r为0。
(2025·汨罗市第一中学高二检测)右列图中的几个相同的单摆处在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是
A.T甲>T乙>T丙>T丁
B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁
D.T甲例4
√
根据单摆的周期公式T=2π可知，单摆的周期与摆球质量无关，与摆长和等效重力加速度有关；甲中沿斜面的加速度为a=gsin θ，即等效重力
加速度为gsin θ，所以周期为T甲=2π，乙中加速度为a=g，所以周期
为T乙=2π，丙中的周期为T丙=2π，丁中的等效重力加速度为a'=g+a，
所以周期为T丁=2π，故T甲>T乙=T丙>T丁，故选C。
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< 四 >
课时对点练
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C CD B C A B (1)
(2)变小
题号 8 9 10 11
答案 CD BC (1)4 s　(2)8 m C
对一对
答案
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考点一　单摆及单摆的回复力
1.单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是
A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零
D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
基础对点练
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答案
由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误；
橡皮筋摆动过程中长度会发生变化，不能看成单摆，故B错误；
当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是合力提供向心力，所受合力不为零，故C正确；
单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简谐运动的规律，故D错误。
11
2.(多选)一单摆做小角度(小于5°)摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是
A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零
B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
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答案
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答案
由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；
t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误，D正确；
t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确。
11
考点二　单摆的周期公式
3.(2025·江门市新会第一中学高二检测)惠更斯利用单摆的等时性原理制成了第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动，摆钟的摆动可看作是单摆，下列说法正确的是
A.在山脚走时准的摆钟，在山顶仍能走准
B.若将摆钟的摆角由3°增加到5°(不计空气阻力)，
单摆的周期不变
C.走时准确的摆钟，调节螺母向下移动，摆钟仍能走准
D.将摆钟由北极移到赤道，单摆的周期减小
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根据T=2π，在山脚走时准的摆钟，在山顶g变小，周期T变大，摆钟变慢，A错误；
单摆的周期与摆角无关，若将摆钟的摆角由3°增加到5°(不计空气阻力)，单摆的周期不变，B正确；
走时准确的摆钟，调节螺母向下移动，摆长l变大，周期T变大，摆钟变慢，C错误；
将摆钟由北极移到赤道，g变小，单摆的周期T变大，D错误。
11
4.(2025·临沂市高二期末)已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长la与lb分别为
A.la=4.0 m，lb=2.4 m
B.la=2.4 m，lb=4.0 m
C.la=0.9 m，lb=2.5 m
D.la=2.5 m，lb=0.9 m
√
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答案
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设单摆a完成10次全振动的时间为t，则单摆a的周期Ta=，单摆b的周期为
Tb=，根据单摆周期公式T=2π可知a、b单摆的周期分别为Ta=2π=
，Tb=2π=，又因为lb-la=1.6 m，联立解得la=0.9 m，lb=2.5 m，故
选C。
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考点三　单摆模型的拓展
5.如图所示，500米口径的球面射电望远镜(FAST)位于贵州省，是我国重大科技基础设施建设项目之一。某同学设计了一种测量该球面半径R的方法：假设FAST内表面是光滑的球面，他猜想将小球自球面最低点附近由静止释放，用秒表测出它完成n次全振动的时间t，如果当地重力加速度为g，将小球的运动视为简谐运动，小球可视为质点，则FAST的球面半径R为
A. B.
C. D.
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答案
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小球做简谐运动的周期为T=，由单摆周期公式可知T=2π，联立解得
FAST的球面半径为R=，故选A。
6.(2025·河南省部分名校高二期中)如图所示，倾角为30°的斜面上平行于斜面固定着一内壁光滑、半径为R的圆形管道，O为其圆心，A点为其最低点，管道处于一平行于斜面底边的匀强电场中(未画出)，一带电小球(可视为质点)静止于管道内的B点，∠BOA=60°，现将小球置于离B点较近的位置由静止释放(释放点与圆心连线和OB夹角小于5°)，从释放到第一次经过B点的时间为(重力加速度为g)
A. B.
C. D.
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答案
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画出小球静止于B点时在斜面方向的受力分析图，如图所示
由图可知，小球受到的重力沿斜面的分力与静电力的合力大小为F合==mg
等效重力加速度为g，则小球的运动可看成单摆模型，从释放到第一次
经过B点的时间为t==×2π=，故选B。
7.(2025·北京市日坛中学高二期中)如图，半径为R光滑且绝缘的圆弧面上有一个质量为m的小球(半径很小可忽略)，把它从最低点移开一小段距离，距最低点的高度为h(h远小于R)。放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，重力加速度为g，求：
(1)小球从释放到最低点的时间t。
答案　
小球做类单摆运动，则周期T=2π
则小球从释放到最低点的时间t=T=
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(2)若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，分析小球运动的周期如何变化。
答案　变小
若使小球带正电，并加上竖直向下的匀强电场，将叠加场等效为重力场，
则等效重力加速度大于原重力加速度，根据T=2π可知，小球的运动
周期将变小。
8.(多选)(2026·惠州市第一中学高二检测)摆球质量为m的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t的变化关系如图所示，重力加速度为g，则该单摆
A.摆长为
B.摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量
大小为2mgt0
C.摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做的
功为E0
D.单摆的周期为4t0
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能力综合练
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答案
单摆做简谐运动，动能变化的周期是单摆周期的一半。由题图可知，
动能变化周期为2t0，则单摆周期T为4t0，根据T=2π，解得摆长l=
，故A错误，D正确；
摆球从最高点到最低点的过程中，重力的冲量大小为I=mg×=mgt0，
故B错误；
回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，在摆球从最高点到最低点的过程中，回复力做功等于动能的变化量，即E0，故C正确。
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答案
9.(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，
则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为
4∶9
√
√
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根据题图可知1.5T甲=T乙，f=，所以甲和乙两单摆振动的周期之比为2∶3、频率之比是3∶2，故B、C正确；
根据单摆的周期公式T=2π，可知同一地点重力加速度相同，则摆长
和周期的平方成正比，即甲、乙两单摆摆长之比为4∶9，故A错误；
若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4，故D错误。
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10.(2025·重庆市第十八中学高二期中)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时40 s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1 m，
当地重力加速度g取π2 m/s2；根据以上数据，求：
(1)小球运动的周期T。
答案　4 s
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由题意小球全振动的次数为
n==10(次)
小球运动的周期T== s=4 s
(2)房顶到窗上沿的高度h。
答案　8 m
设小球在最低点B时球心到窗上沿的距离为l，
由题意知l=1 m，
小球在B、C间振动时的周期为T1=2π
小球在B、A间振动时的周期为T2=2π
故T=+
联立解得h=8 m
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尖子生选练
11.(2025·杭州市高二期末)“双线摆”如图甲所示，双线长均为L，两线夹角为θ，摆球(可视为质点)质量为m，给摆球一个垂直于两线平面方向的较小速度，使得摆球以较小摆角(小于5°)摆动。“杆线摆”结构如图乙所示，长为L的轻杆一端通过活动铰链与立柱OO'垂直连接，另一端安装质量为m的摆球(可视为质点)，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A点，给摆球一垂直于纸面的较小速度，使轻杆垂直于立柱来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾角为θ的平面内。已知θ=30°，重力加速度为g。下列说法正确的是
A.图甲中摆球的周期为T=2π
B.图乙中摆球的摆动周期为T=2π
C.图乙中摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为mg
D.若增大细线长度使A点上移，则摆球运动周期增大
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答案
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答案
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题图甲中“双线摆”的摆长为Lcos，结合单摆的周期
公式有T=2π，代入角度，可得T=2π，
故A错误；
题图乙中摆球在平衡位置静止时，在垂直于倾角为θ
的平面方向上的合力为零，对题图乙中摆球进行受力分析，如图所示，由图可知：FAsin θ=mgcos θ，即可得细线的拉力为FA=mg，故C正确；
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答案
11
结合该等效单摆的摆长和加速度关系，可知题图乙
“杆线摆”的周期为T=2π，解得：T=2π，
故B错误；
由“杆线摆”的周期公式可知细线长度对摆球的运动周期无影响，故D错误。
本课结束
第
二
章

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