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2026年河南平顶山市鲁山县第十二教研区中考考前模拟数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在数轴上点表示的数可能是（　　）
A. B. C. D.
2.2026年春晚舞台上，国产人形机器人完成了精准的武术动作表演，引发广泛关注．相关统计显示，国内人形机器人头部企业合计订单金额已突破311亿元．数据“311亿”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.如图所示的几何体的左视图是（）
A. B. C. D.
4.如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.某市中招体育考试采用“必考+选考”的模式，且选考项目包括素质类项目和运动健康技能类项目，其中素质类项目有1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远，共4项．考生需从素质类项目中选考2项．若小红从中随机选择2项，则她同时选中50米跑和掷实心球的概率是（）
A. B. C. D.
9.如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.如图1，在矩形中，，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.不等式组的解集为 ．
12.某市6月份前十天每天的平均气温（单位：）如下：25，24，23，25，25，28，30，32，30，29，则这十天每天平均气温的众数为 ．
13.如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为 ．
14.如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为 ．
15.如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，保持不动，将绕点A旋转一周，则在旋转过程中，线段的最大值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算、化简
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
据气象部门预测，2026年高温天气不仅强度升级，而且持续时间显著延长，部分地区甚至在10月份仍可能出现高温天气，很多商场从4月份就进入了空调的热卖期．如下是某商场根据甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表．
型号 平均数 中位数 众数 方差
甲 m 135 b 133.3
乙 n a 130 33.3
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空：a= ，b= ；
(2) 求甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量的平均数m，n；
(3) 若该商场2026年计划从甲、乙两种型号的空调中选择一种进行销售，请你结合上述图表帮助该商场分析应选择哪种型号的空调进行销售，并说明理由（一条即可）．
18.(本小题10分)
如图，三个顶点的坐标分别为，，，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到．
(1) 请在图中画出．若将看成是由经过一次平移得到的，请直接写出平移的方向和距离．
(2) 设点关于x轴对称的点为点，若反比例函数的图象经过点，求反比例函数的表达式．
19.(本小题10分)
如图，在中，．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，并直接写出线段，的数量关系；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 在（1）的基础上，过点A作交直线于点D，连接，求证：四边形是菱形．
20.(本小题10分)
如图，为的直径，切于点C，连接，过点A作切线的垂线，垂足为D．
(1) 求证：平分；
(2) 若，，求的半径．
21.(本小题10分)
随着人工智能技术的发展，智能机器人的应用越来越广泛．智能机器人主要用于家庭助手、娱乐、安防、工业生产等方面．某公司为了提高生产效率，计划购买若干台某款智能机器人，现从甲、乙两个商场了解到该款智能机器人每台报价均为10万元，并且都有一定的优惠，优惠方案如下：
甲商场：第一台按原报价收费，其余每台优惠；
乙商场：每台优惠．
已知该公司最终只选择其中一家商场购买，且购买该款智能机器人台，用，分别表示在甲、乙商场购买所需支付的费用．
(1) 请分别求出，与之间的函数关系式；
(2) 如果你是负责此次采购智能机器人的工作人员，请通过计算说明选择哪家商场购买更优惠．
22.(本小题15分)
为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1) 求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2) 若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分；
(3) 小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
23.(本小题15分)
综合与实践
定义：若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”，并称这两个角的公共边为“底边”．如：在中，，则为以边为“底边”的“倍角三角形”．
(1) 【观察判断】
已知为“倍角三角形”，且．
①如图1，若为的角平分线，则图中相等的线段为 ，相似三角形为 ；
②如图2，若的垂直平分线交边于点E，连接，则图中等腰三角形为 ．（注：全部写出来）
(2) 【问题解决】
如图3，四边形为梯形，，，，，，小明同学想用这块板材裁出一个，使得点P在梯形的边上，且为以为“底边”的“倍角三角形”．小明在这块板材上的作法如下：
①作边的垂直平分线l交于点E；
②在直线l位于上方的部分截取，连接并延长，交于点P；
③连接，得．
若按上述作法，小明裁得的是否为以为“底边”的“倍角三角形” 请判断并给出证明．
(3) 【拓展应用】在（2）的条件下，若点P在梯形除边的其他边上时，请直接写出的长．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】25
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
130
140
【小题2】
由折线统计图可知，甲型号空调2025年3～8月份在该商场的销售量分别为110，120，140，140，130，140，乙型号空调2025年3～8月份在该商场的销售量分别为120，130，130，130，140，130，
，
．
【小题3】
建议该商场选择乙型号的空调进行销售．
理由：甲、乙两种型号空调销售量的平均数相同，但乙型号空调销售量的方差较小，销售量较稳定，
建议该商场选择乙型号的空调进行销售．（答案不唯一）

18.【答案】【小题1】
如图，即为所求
平移方向是由点A到点（或由点到点或由点到点），平移距离是个单位长度
【小题2】
解：将点先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点，
．
点与点关于轴对称，
．
将代入，得，
解得，
反比例函数的表达式为．

19.【答案】【小题1】
解：如图，直线即为所求．
．
【小题2】
证明：如图．
直线是线段的垂直平分线，
，，．
，
，，
，
，
，
四边形是菱形．

20.【答案】【小题1】
证明：如图，连接．
切于点C，
．
又，
，
．
，
，
，即平分．
【小题2】
解：如图，连接．
为的直径，
，
又，
，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
的半径为．

21.【答案】【小题1】
解：由题意得：
，
；
【小题2】
解：当，即时，
解得，
，此时在乙商场购买更优惠；
当，即时，
解得，此时在甲、乙商场购买费用一样；
当，即时，
解得，此时在甲商场购买更优惠．
综上，当购买数量不低于1台且小于5台时，在乙商场购买更优惠；当购买数量为5台时，在甲、乙商场购买费用一样；当购买数量大于5台时，在甲商场购买更优惠．

22.【答案】【小题1】
解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为
设抛物线的顶点式为：，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为：．
【小题2】
由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离，
当时，，
解得，，
点坐标为或，
∵点在轴正半轴，
∴（不符合题意，舍去），
，
，
，
，
小明此次练习能得满分．
【小题3】
由题意可知，抛物线的对称轴为直线，
，
点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，
∵同学身高，为了保证安全，此时，
此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为．

23.【答案】【小题1】

和
和
【小题2】
是以为“底边”的“倍角三角形”
证明：如图1，设直线l与的交点为N，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即，
，
，．
在中，由勾股定理，得，
，
．
连接，过点F作交的延长线于点K．
，即，
∴，
又，，
平分，
．
垂直平分线段，
，
，
，
小明裁得的是以为“底边”的“倍角三角形”．
【小题3】
解：分两种情况讨论：
①当点P在边上时，
∵，
∴，
∴，
∴在边上不存在满足要求的点P．
②当点P在边上时，如图2，作边的垂直平分线，分别交于点L，交于点R，作的平分线交于点O，连接并延长交于点P，
此时有，
即为以为“底边”的“倍角三角形”．
作边的垂直平分线交于点G，连接，则，
，
，
，
．
过点P作于点H，则．
设，则，
，
．
过点D作于点Q，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
，
即的长为．

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