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江苏省淮安市淮安区2024-2025学年度第二学期期末学业监测七年级数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.下列命题是真命题的是（）
A. 同位角相等 B. 两个锐角的和是钝角
C. 等角的补角相等 D. 两直线平行，同旁内角相等
4.下列判断正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.下列图形中，能确定的是（ ）
A. B.
C. D.
6.《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．人与车各几何？其意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．人与车各多少？若设有x人，车y辆，则可列方程组是（　　）
A. B. C. D.
7.若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
8.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”如（，，即8，16均为“美好数”），在不超过525的正整数中，所有的“美好数”之和为（ ）
A. 17160 B. 17170 C. 17180 D. 17190
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.月季被誉为“花中皇后”，月季也是淮安市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000314米，则数据0.0000314用科学记数法表示为 ．
10.若，，则的值为 ．
11.若是关于x,y的二元一次方程ax-y=1的解，则a的值为 .
12.如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是 ．
13.若，则 ．
14.若x-m与3-x的乘积中不含x的一次项，则有理数m的值为 .
15.正多边形纸片的缺失如图，正边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则的值为 ．
16.如图，在四边形中，，，是的中点，，则长的最大值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算．
(1)
(2)
18.解方程与不等式．
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
先化简，再求值：，其中．
20.(本小题4分)
如图，点分别在上，．求证：．
21.(本小题8分)
定义一种幂的新运算：．如：请利用这种运算规则解决下列问题：
(1) 求的值；
(2) ，，，求的值．
22.(本小题12分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、、四个点均在格点上．现将绕点逆时针旋转，点、、的对应点分别是点、、．请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
(1) 画出旋转后的；
(2) 在上找一点，使；
(3) 的面积 ．
23.(本小题4分)
已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，．请比较与的大小关系，并说明理由．
24.(本小题8分)
某校餐厅为学生们准备了，两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下：
品牌 营养成分表 品牌 营养成分表
项目 每 项目 每
能量 能量
蛋白质 蛋白质
脂肪 脂肪
碳水化合物 碳水化合物
钠 钠
(1) 若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用，两种品牌的酸奶各多少盒？
(2) 已知品牌酸奶的价格是元／盒，品牌酸奶的价格是元／盒．某班级计划用不超过元从餐厅购买两种酸奶共盒，经与餐厅沟通，每盒品牌酸奶售价不变，品牌酸奶的售价打九折．求最多能购买品牌酸奶多少盒？
25.(本小题12分)
当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为．
(1) 不等式组的“解集长度”是 ；
(2) 已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则 ；
(3) 已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围．
26.(本小题12分)
【阅读理解】一般地，如果正整数，，满足，那么，，称为一组“和谐数”．例如，，则称3，4，5是一组“和谐数”．
【问题解决】：
(1) 下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是一组“和谐数”的有 （直接填序号）；
(2) “和谐数”有很多的构造方法．求证：如果，为任意正整数，且，那么，，一定是一组“和谐数”；
(3) 若按（2）中的方法构造出的一组“和谐数”中最大数是（是任意正整数），则这组“和谐数”中的最小数为 （用含的代数式表示）
27.(本小题12分)
按要求解答问题：
(1) 如图（1），在中，，点在线段上（点不与端点、重合），连接，作，交线段于点．
①当时， ， ；
②当点在线段上（点不与端点、重合）运动时，与相等吗，请说明理由；
(2) 如图（2），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，设，．则与的数量关系为 ．
(3) 如图（3），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，请直接写出此时与之间的数量关系．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-3
15.【答案】10
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
解：，
①，得③，
②③，得，解得，
把代入①，得，解得，
这个方程组的解是；
【小题2】
解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集为．

19.【答案】解：原式


当时，
原式．

20.【答案】证明：，
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（同角的补角相等）．
（同位角相等，两直线平行）．

21.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：当时．
．

22.【答案】【小题1】
所作如图所示：
【小题2】
所作点如图所示：
【小题3】
5

23.【答案】解：，理由如下：
根据矩形的面积公式可得： ，，
，
为正整数，
，
，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：设应饮用A品牌酸奶盒， B品牌酸奶盒；
根据题意，得
解得
答：应饮用A品牌酸奶2盒，B品牌酸奶3盒．
【小题2】
设购买A品牌酸奶盒，则购买 B品牌酸奶盒，
根据题意，得
化简得
整理得
移项得
解得
为非负整数
的最大值为
答：最多能购买A品牌酸奶146盒．

25.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：，
①化简得，移项得，解得，
解②得，
故原不等式组的解集为，
其“解集长度”小于3，
，
①化简得，解得，
②化简得，解得，
．

26.【答案】【小题1】
③
【小题2】
证明：∵，
∴，
∴是“和谐数”；
【小题3】


27.【答案】【小题1】
解：①30；30；
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴；
②与相等，理由如下：
∵，且，
∴．
【小题2】
或
【小题3】
解：由题意可分：当点E在的下方时，如图所示：
设，，
∴在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点E在的上方时，如图所示：
设，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．

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