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浙江嘉兴一实学校等校2025-2026学年第二学期八年级期末抽测数学素养试题卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
2.下列图形中，成中心对称的是（）
A. B. C. D.
3.若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
4.某班第一组8名同学在某次学科抽测中，成绩统计如表所示，
组员 1 2 3 4 5 6 7 8 平均分
成绩 94 86 ☆ 88 96 95 78 79 88
则这八位同学的成绩的中位数与众数分别是（ ）
A. 92，88 B. 88，88 C. 86，88 D. 88，86
5.把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
7.平行四边形的三个顶点坐标依次为、、，则第四个顶点的坐标不可能为（ ）
A. B. C. D.
8.迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法：
①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则；
②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值．
则下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风预警，台风中心正以的速度由南向北移动．已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风预警时，测得，．如果轮船不改变航向，则下列说法正确的是（ ）
A. 若轮船经过小时恰好进入台风影响区，则满足
B. 若轮船处于台风影响区的时间为小时，则
C. 若轮船接到台风预警后加速前进，则当轮船速度时，轮船能避开台风影响区
D. 若轮船接到台风预警后减速前进，则当轮船速度时，轮船能避开台风影响区
10.八年级某次数学练习甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 三个班级中，甲班学生得分两极分化最小
B. 三个班级中，乙班学生得分的方差最大
C. 三个班级中，丙班学生得分的中位数最大
D. 若每个班级都有48名学生，则三个班级的学生得分按从高到低排列的第36名中，丙班学生的得分最高
11.如图，菱形的形状和大小保持不变，连结，，将绕点顺时针旋转角度得到，边与，交于点，（，，不重合），连接，．在旋转过程中，下列判断正确的是（ ）
A. B. 平分
C. 的周长是一个定值 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.计算： ．
13.如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接，则的长为 ．
14.关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是 ．
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题16分)
按要求解答问题：
(1) 已知，求的值；
(2) 解方程：．
16.(本小题16分)
小丽与小明一起研究一个尺规作图问题：
已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上．
小丽：如图1，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小丽：小明，你的作法有问题．
小明：哦……我明白了！
(1) 给出小丽作法中四边形是菱形的证明；
(2) 指出小明作法中存在的问题．
17.(本小题16分)
为了激发学生的数学学习兴趣，某班举办了一次数学趣味挑战活动，活动共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目满分都是100分，每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在80分以上（含80分）设为一等奖．下表为该班甲、乙、丙三位同学已比项目的得分情况（单位：分）．
项目得分学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分
甲
乙
丙
根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为30分．
(1) 请问甲参加“数学应用”项目至少获得多少分时，他才能获得活动一等奖；
(2) 如果甲的“数学应用”项目得分为72分，请你在甲、乙、丙这三位同学推荐一位同学代表班级去参加校级比赛，并说明你的推荐理由．
18.(本小题15分)
定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．
(1) 已知关于的方程是理想方程，求的值；
(2) 当，满足什么条件时，方程是理想方程；
(3) 关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．
19.(本小题15分)
已知在矩形中，，，点是射线上的一个动点，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段．
(1) 当点在线段上时，
①如图1，点为对角线，的交点，若，连接，求证：；
②如图2，连接，，，若为等腰三角形，求的面积；
(2) 如图3，连接，，在点的运动过程中，求的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ABC
12.【答案】14
13.【答案】
14.【答案】-3
15.【答案】【小题1】
解：当时，
．
【小题2】
解：，
方程两边同乘，得，
整理，得，
∴，
∴或，
解得，，
检验：当时，，则是原分式方程的解；
当时，，则不是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．

16.【答案】【小题1】
由作图可知，，
，

四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
【小题2】
小明的作法中以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行，即如下图形：

17.【答案】【小题1】
解：设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为和，甲同学的“数学应用”项目得分为．
由题意得，
解得，
由表格可知甲同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和为30分．
因为甲要获得大赛一等奖，所以甲的总分在80分以上（含80分），
根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分分别为折算后的分数之和均为30分
则甲同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和也为30分
即，
解得，
所以甲的“数学应用”项目得分至少为62分．
【小题2】
推荐丙同学代表班级参加校级数学趣味挑战活动．推荐理由如下：
记甲、乙、丙三位同学的平均分分别是，，；离差平方和分别是，，．
由（1）可知，七巧拼图和魔方复原的折算百分比均为，趣题巧解的折算百分比为，数学应用的折算百分比为，
当甲的数学应用项目得分为72分时其四个项目的得分分别为78，94，72，72
则甲同学的折算后总分为分
所以甲、丙两位同学的总分得分相同，均为82分，且高于乙同学的74分，所以乙同学不推荐．
下面分析甲、丙两位同学的得分稳定情况：
则，，
所以
所以，综上所述，甲、丙两位同学在折算后总分相同的情况下，丙同学的得分离差平方和较小，他的得分更稳定，所以推荐丙同学参加校级数学趣味挑战活动．

18.【答案】【小题1】
解：∵是理想方程，
∴是方程的解，
∴，
解得或；
【小题2】
解：∵方程是理想方程，
∴，
∴或，
即当或时，方程是理想方程；
【小题3】
解：∵方程有两个实数根，
∴，
由理想方程的定义知是方程的解，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
，
这个不等式对于所有非0实数a都成立，
由根与系数关系得（其中），
又由理想方程定义知有一根为，
不妨设，则，
∴，
①当时，；
②当时，；
综上所述，的取值范围是或．

19.【答案】【小题1】
①过点作，
由旋转知，，，
∵矩形，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴点，，共线，
∴；
②由题意知，构成等腰三角形有三种情况，
而当时，点，，共线；
∴只有当和时，构成三角形，
当时，
∵，，，
∴，
∴，
过点作交延长线于点，交延长线于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
同理，
∴，
过点作交延长线于点，交延长线于点，
同理，
∴，
∴，
∴；
综上，的面积为或；
【小题2】
解：设，，
过点作交延长线于点，交延长线于点，
同理得，
∴，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴当且仅当时，和同时取到最小值，0
此时，取到最小值为．

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