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(共25张PPT)
11.3.1 两数和乘以这两个数的差
温故知新
想一想：多项式乘以多项式的法则是什么？如何用字母来表示？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加.
符号语言：
探究新知
计算下面题目：
解：
思考：两个相乘的多项式具备怎样的特征？计算的结果有怎样的规律？
都是两个数的和乘以两个数的差的形式，结果都为这两个数的平方差。
代数推导
用多项式的乘法法则计算：.
结论：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，简称平方差公式.
(a+b)(a b)
=a2 ab+ab b2
=a2 b2.
a
a
b
b
b
(a+b)(a b)
a2
b2
=
-
=
-
几何角度证明.
观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算：
几何解释
知识归纳
平方差公式
文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.
符号语言：
典例精析
例1 填空：
方法小结
1.必须是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.结果是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
典例精析
例2 计算：
解：1 998×2 002
=(2 000-2)×(2 000+2)
=4 000 000-4
=3 999 996.
=2 000 -2
典例精析
例3 如图，街心花园有一块边长为m的正方形草坪()，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪.求这块长方形草坪的面积.
解:.
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)m2.
能力提升
类型一： 利用平方差公式化简
1.计算：
解：
能力提升
类型一： 利用平方差公式化简
变式1：
解：
能力提升
类型一： 利用平方差公式化简
变式2：
解：
能力提升
方法归纳：
运用平方差公式计算时，关键是要找出“相同项”和“相反项”。当有些式子不能直接应用平方差公式计算时，可适当变形，再运用公式进行化简、计算。在计算过程中，有时也可以反复的使用公式。
能力提升
2.先化简，再求值：
，其中.
解：
能力提升
类型二： 逆用平方差公式
1.已知，且，则
解：
又∵
能力提升
2.若满足，则
解：
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) =
(2) (m-2)(m+2) =
(3) (2x+1)(2x-1) =
(4)(a+b)(a-b)= .
x2 - 1
m2 - 4
4x2 - 1
x2 - 12
m2-22
(2x)2 - 12
动手算一算
a2 - b2
课堂练习
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是( )
A.(2a 3b)( 2a+3b) B.( 3a+4b)( 4b 3a)
C.(a b)(b a) D.(a b c)( a+b+c)
B
方法总结：紧紧抓住 “一同一反”这一公式特征。
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 3)(x - 3) = x2 - 3；
(2) ( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a2 - 4.
不对
改正：x2 - 9
不对
（2）改正方法：
原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a)
= ( - 2)2 - (3a)2
= 4 - 9a2.
3.计算：
（1）(a+3b)(a 3b)；
（2）51×49；
=a2 (3b)2
=a2 9b2
=(50+1)×(50 1)
=502 12
=2499
课堂练习
4.计算：
(x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1).
(x－1)(x + 1)=？
原式= (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1)
= (x8－1)(x8 + 1)
= x16－1
解：
练一练
课堂练习
5.计算：
(a b+c)(a+b+c).
=[(a+c)+b][(a+c) b]
=(a+c)2 b2
=(a+c)(a+c) b2
=a2+2ac+c2 b2
整 体思 想
这里蕴含另一个乘法公式，我们下节课继续探索.......
课堂练习
课堂小结
平
方
差
公
式
符号语言：
文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.
注意：应用公式时，注意分清公式中的对应的数或代数式，即分清相同项和相反项。
数学思想：数形结合、整体思想、换元思想
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Thank you

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