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2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（　　）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
2.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
3.已知两条直线m,n及平面α，β，下列条件中，一定能得到α∥β的是（　　）
A. m α，n β，m∥β，n∥α B. m⊥n,m⊥α，n∥β
C. m α，n α，m∥β，n∥β D. m⊥α，m⊥β
4.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M=“第一枚反面向上”，事件N=“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（　　）
A. M与N互斥 B. P（M）≠P（N） C. M与N对立 D. M与N相互独立
5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则AE与平面BCC1B1所成的角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a,b,c,若，，则b+c的取值范围是（　　）
A. （0，2] B. C. D. （3，6]
7.已知数据 x1，x2，x3…， xn的平均数为，方差为s2，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为′，方差为s′2，则（　　）
A. ′＞ B. s'2＞s2 C. ′＜ D. s′2＜s2
8.如图，正方形ABCD的边长为2，P，Q分别为边AB，DA上的动点，若∠PCQ=45°，则的取值范围（　　）
A.
B.
C. [2，4]
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.复数的共轭复数= .
10.已知点A（-1，-1），B（1，3），C（2，m），若A，B，C三点共线，则m= ；若，则m= .
11.某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据a= .
12.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为 .
13.《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼阁式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已800余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点44m的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为 m（结果精确到整数，参考数据：）
14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面BCC1B1内（包含边界）的动点.记E、C、B1三点所在的平面为α.给出下列四个结论：
①直线EC1与平面BCC1B1所成角的正切值为；
②已知平面EC1D1∩α=l,若P∈l,则；
③若点P满足AP∥α，则必有△PB1C的面积为1；
④若点P满足EP⊥BC1，则必有AP∥α.
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）若a=7，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC最长边上高线的长.
条件①：；
条件②：△ABC的面积为；
条件③：b=10.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
16.(本小题12分)
某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a,b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和60%分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人.然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为棱BC的中点，且PB⊥AM，PD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为45°.
（Ⅰ）证明：AM⊥BD.
（Ⅱ）在棱PD上是否存在一点E，使得直线CE∥平面PAM？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.
（Ⅲ）求直线PB与平面PAM所成角的正切值.
18.(本小题14分)
已知集合S={1，2，3，4，5，6}，|x|表示有限集X的元素个数.对于n∈N*，n≥2，若集合S的一组子集A1，A2，…，An满足：
①|A1|+|A2|+…+|An|=m；
② 1≤i＜j≤n,|Ai∩Aj|≤2；
③ 1≤i＜j＜k≤n,|Ai∩Aj∩Ak|≤1.
则称集合组A1，A2，…，An具有性质P（m）.
（Ⅰ）判断下列两个集合组是否具有性质P（12），请直接写出你的结论.
集合组1：A1={1，2，3}，A2={4，5，6}，A3={1，3，5}，A4={2，4，6}.
集合组2：A1={1，2}，A2={2，3，5}，A3={3，5，6}，A4={1，3，4，5}.
（Ⅱ）若集合组A1，A2，…，An具有性质P（24）.
（i）求证：n≥6.
（ii）求n的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】-2+i
10.【答案】5
-

11.【答案】0.01
12.【答案】7：18
13.【答案】36
14.【答案】①③④
15.【答案】 最长边上高线长，
16.【答案】a=0.005；b=0.025 众数约为70；60%分位数约为71.7
17.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，；（Ⅲ）．
18.【答案】集合组1具有性质P（12），集合组2不具有性质P（12） （i）若n≤5，由抽屉原理，至少有一个集合中含有个元素，
不妨设|A1|≥5，由于 1≤i＜j≤n，|Ai∩Aj|≤2， 1≤i＜j＜k≤n，，
故 2≤i≤n，|Ai|≤3．
因此，24=|A1|+|A2|+…+|An|≤6+3（n-1）=3n+3≤3×5+3=18，矛盾．
故n≥6．
（ii）7
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