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第22章 相似形
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．已知线段a＝4 cm，线段b＝7 cm，则a∶b的值是（C）
A．1∶4 B．1∶7 C．4∶7 D．7∶4
2．若＝，则下列等式中正确的是（C）
A．3a＝4b B．a∶4＝b∶3 C．a∶3＝b∶4 D．b＝a
3．已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（C）
A．2∶3 B．3∶2 C．5∶3 D．3∶5
4．如图，两条直线被平行线l1，l2，l3所截，点A，B，C，D，E，F为截点，且AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（C）
A．2 B. C. D．4
5．下列各组图形中一定相似的是（B）
A．所有等腰三角形 B．所有等边三角形
C．所有菱形 D．所有矩形
6．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形．若PA1＝PA.则AB∶A1B1的值为（B）
A. B. C. D.
7．如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上，测得人和竹竿的水平距离为1.2 m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.5 m，竹竿的高度为3 m，则楼房的高度是（B）
A．25 m B．26.5 m C．50 m D．51.5 m
8．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（D）
A．(40－40)cm B．(80－40)cm
C．(120－40)cm D．(80－160)cm
9．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G，若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，则S△CEG的值为（B）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，点E是线段BC中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（D）
A．∠AEB＝∠CDE
B．△ABE∽△ECD
C.＝
D．∠BAE＝∠ADE
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．线段1 cm、4 cm的比例中项为2cm.
12．如图，已知AC，BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是∠A＝∠D(答案不唯一)．
13．两个相似三角形的对应高线的比为2∶3，且这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为8.
14．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B，C重合，连接AE，过点E作EN⊥AE交CD于点N.
(1)若BE＝1，则CN的长为；
(2)将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长为2或 .
【解析】(2)过点E作EF⊥AD于点F，∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF＝2，AF＝BE.由折叠的性质得CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°.易得△EC′F∽△C′ND，∴＝＝＝.∵＝，∴＝，∴＝＝，∴C′D＝BE，设BE＝x，∴C′D＝AF＝x，C′F＝4－2x，C′E＝4－x，EF2＋C′F2＝C′E2，即22＋(4－2x)2＝(4－x)2，解得x＝2或x＝，∴BE＝2或BE＝.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．已知＝＝，a＋b＋c＝27，求a的值．
解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k.
∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27.解得k＝3，
∴a＝2k＝6.
16．如图，在 ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A.求证：△DCF∽△CEB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A＋∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC.
∵∠DFC＋∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，
∴∠DFC＝∠B，∴△DCF∽△CEB.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)．
(1)①以点M(2，2)为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，相似比为2∶1；
②点D的坐标为(4，6)；
(2)△DEF的面积为4个平方单位．
解：(1)①如图，△DEF即为所求．
18．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB.
解：过点C作CM⊥OD于点C，交AD于点M，
∵△EGF∽△MDC，∴＝，
即 ＝，
∴CM＝3，即AB＝CM＝3 m，
答：旗杆的高AB是3 m.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)已知CD2＝AC·AB，求证：△ACP∽△PDB；
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
(1)证明：∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝CD＝PD，∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵CD2＝AC·DB，即＝，即＝，∴△ACP∽△PDB.
(2)解：∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB，
∵∠PCD＝∠A＋∠APC＝60°，∴∠DPB＋∠APC＝60°，
∵∠CPD＝60°，∴∠APB＝120°.
20．如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝.
(1)若BD＝20，求BG的长；
(2)求 的值．
解：(1)∵GF∥BC，∴＝，∵BD＝20，＝，∴BG＝BD＝8.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴＝＝，∴＝，∴＝.
六、(本题满分12分)
21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P，Q分别在边AB，BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B 同时出发，点P沿线段AB沿A→B方向向终点B运动，点Q 沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，运动时间为t s，请解答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ∥AC；
(2)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
解：(1)由题意得，AP＝t，BQ＝2t，
∴BP＝AB－AP＝10－t，
∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BAC，
∴＝，即 ＝，解得t＝，
∴当t＝ 时，PQ∥AC.
(2)当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝；
当△BPQ∽△BCA时，＝.∴＝，解得t＝.
当t＝ 或t＝ 时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
七、(本题满分12分)
22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合)，连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE.
(1)求证：AD2＝AE·AP；
(2)求证：BE⊥AP.
证明：(1)∵∠DAE＝∠PAD，∠ADE＝∠APD，
∴△ADE∽△APD，∴＝，即AD2＝AE·AP.
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝90°，
∴AB2＝AE·AP.∴＝，
∵∠BAE＝∠PAB，∴△ABE∽△APB，
∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴BE⊥AP.
八、(本题满分14分)
23．(综合与实践)
【问题情境】如图，正方形ABCD的边长为12，点E在BC边上运动．
【实践探究】
(1)如图①，当BE＝5时，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F，请求出线段BG和BF的长度；
【拓展应用】
(2)如图②，以BE为边作正方形BEFG，并把正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接AG和DF，发现DF与AG之间存在数量关系，请写出它们的数量关系并证明．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝12，∠ABC＝∠C＝90°，
∴AE＝＝＝13，
∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BG，∴BG＝，
∵BF⊥AE，∴∠BGE＝∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠CBF＋∠BFC＝90°＝∠CBF＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BFC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BF＝AE＝13.
(2)DF＝AG，
证明：连接BF，BD，
∵四边形BEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴BD＝AB，BF＝GB，∠ABD＝∠GBF＝45°，
∴＝＝，∠DBF＝∠ABG，
∴△DBF∽△ABG，
∴＝＝，∴DF＝AG.第22章 相似形
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．已知线段a＝4 cm，线段b＝7 cm，则a∶b的值是（ ）
A．1∶4 B．1∶7 C．4∶7 D．7∶4
2．若＝，则下列等式中正确的是（ ）
A．3a＝4b B．a∶4＝b∶3 C．a∶3＝b∶4 D．b＝a
3．已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（ ）
A．2∶3 B．3∶2 C．5∶3 D．3∶5
4．如图，两条直线被平行线l1，l2，l3所截，点A，B，C，D，E，F为截点，且AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2 B. C. D．4
5．下列各组图形中一定相似的是（ ）
A．所有等腰三角形 B．所有等边三角形
C．所有菱形 D．所有矩形
6．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形．若PA1＝PA.则AB∶A1B1的值为（ ）
A. B. C. D.
7．如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上，测得人和竹竿的水平距离为1.2 m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.5 m，竹竿的高度为3 m，则楼房的高度是（ ）
A．25 m B．26.5 m C．50 m D．51.5 m
8．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（ ）
A．(40－40)cm B．(80－40)cm
C．(120－40)cm D．(80－160)cm
9．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G，若BC∶EC＝3∶1，S△ADG＝16，则S△CEG的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，点E是线段BC中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（ ）
A．∠AEB＝∠CDE
B．△ABE∽△ECD
C.＝
D．∠BAE＝∠ADE
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．线段1 cm、4 cm的比例中项为 cm.
12．如图，已知AC，BD相交于点O，若补充一个条件后，便可得到△AOB∽△DOC，则要补充的条件可以是 ．
13．两个相似三角形的对应高线的比为2∶3，且这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为 .
14．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B，C重合，连接AE，过点E作EN⊥AE交CD于点N.
(1)若BE＝1，则CN的长为 ；
(2)将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．已知＝＝，a＋b＋c＝27，求a的值．
16．如图，在 ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A.求证：△DCF∽△CEB.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)．
(1)①以点M(2，2)为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，相似比为2∶1；
②点D的坐标为 ；
(2)△DEF的面积为 个平方单位．
18．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)已知CD2＝AC·AB，求证：△ACP∽△PDB；
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
20．如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝.
(1)若BD＝20，求BG的长；
(2)求 的值．
六、(本题满分12分)
21．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P，Q分别在边AB，BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B 同时出发，点P沿线段AB沿A→B方向向终点B运动，点Q 沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，运动时间为t s，请解答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ∥AC；
(2)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
七、(本题满分12分)
22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点(点P不与点B重合)，连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE.
(1)求证：AD2＝AE·AP；
(2)求证：BE⊥AP.
八、(本题满分14分)
23．(综合与实践)
【问题情境】如图，正方形ABCD的边长为12，点E在BC边上运动．
【实践探究】
(1)如图①，当BE＝5时，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F，请求出线段BG和BF的长度；
【拓展应用】
(2)如图②，以BE为边作正方形BEFG，并把正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接AG和DF，发现DF与AG之间存在数量关系，请写出它们的数量关系并证明．

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