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2025-2026学年浙江省嘉兴市海宁市高一（下）素养测试数学试卷（理科）（5月份）
一、单项选择题：本大题共5小题，共25分。
1.已知集合A={x|2-x≥4}，B={x|log2x＜1}，则B∩ RA=（　　）
A. （-2，1） B. （0，2） C. （2，+∞） D.
2.已知a+bi（a,b∈R）是关于x的方程x2+2x+4=0的一个根，则a2+b2+a=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知锐角α，β满足，则α+β=（　　）
A. B. C. D.
4.现从苗圃中随机抽取了100棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，用样本频率估计概率，则下列结论正确的是（　　）
A. 树苗高度的下四分位数的估计值为102
B. 树苗高度的中位数的估计值为115
C. 树苗高度的平均数的估计值为115
D. 已知落在[80，90）的平均高度是88，方差是8，落在[90，100）的平均高度为96，方差是4，则两组树苗合并后的方差为17
5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且，则直线PC与底面ABCD所成的角的正弦值的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
6.已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
7.对任意a＞0，a≠1，函数f（x）=ax-2+1图象恒过定点M，若定点M在直线2tx+sy=4上（其中s,t不同时为0），则4t+2s的最小值为 .
8.已知二面角α-l-β的平面角为45°，A，D为直线l上的两点，射线DB在平面α内，射线DC在平面β内，已知∠BDA=60°，∠ADC=30°，则cos∠BDC= .
9.若对任意实数a,存在实数b∈[3，4]，使得不等式a2+ab+b2≥2a+mb+3成立，则实数m的取值范围为 .
10.已知集合，集合B={x|x∈A，且，若，则m2-3n2= .
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题10分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A；
（2）若c=3，AC边上的中线BD长为，求△ABC面积.
12.(本小题10分)
已知函数f（x）=lg（4-x）-lg（x-2a）+1，0≤a＜1.
（1）求关于x的不等式f（x）+2lg（x-2a）≤f（4-x）+2lg（4-2a-x）的解集；
（2）若a=0，求的值.
13.(本小题15分)
在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=PC=2，.
（1）若∠PAB=90°，求证：点A在平面PBC上的射影不可能为△PBC的垂心；
（2）若∠PBC=60°，求二面角P-AB-C的正切值.
14.(本小题15分)
奔驰定理：已知点M是△ABC内的一点，若△BMC，△AMC，△AMB的面积分别记为SA，SB，SC，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.
已知锐角△ABC的外心为O，其三个内角分别为A，B，C，它们的对边长分别a,b,c,H为该平面上一点，且满足，△BHC，△AHC，△AHB的面积分别记为S1，S2，S3.
（1）求证：S1：S2：S3=tanA：tanB：tanC；
（2）若，且△ABC的外接圆半径为1，P为平面上异于点O的一点，且满足，求的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】（2，1）
7.【答案】4
8.【答案】
9.【答案】（-∞，3]
10.【答案】1
11.【答案】 或
12.【答案】当a=0时，解集为R；当0＜a＜1时，解集为{x|2a＜x≤2} 2027
13.【答案】设点A在平面PBC上的射影为H，
假设H是△PBC的垂心，则AH⊥平面PBC，
因为BC 平面PBC，所以AH⊥BC，
又H是△PBC的垂心，所以PH⊥BC，
而AH∩PH=H，AH，PH 平面PAH，
所以BC⊥平面PAH，
所以BC⊥PA，
由∠PAB=90°，知PA⊥AB，
又AB∩BC=B，AB，BC 平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AC，
在Rt△PAC中，AC=2，，所以，与已知条件PC=2相矛盾，
故假设不成立，
即点A在平面PBC上的射影不可能为△PBC的垂心 2
14.【答案】证明：由，且O为锐角△ABC的外心，可知H为△ABC的垂心．
由垂心性质，顶点到垂心的距离满足HB=2RcosB，HC=2RcosC（R为外接圆半径）．
垂心处的夹角满足∠BHC=π-A，故sin∠BHC=sinA．
因此△BHC的面积．
同理可得，．
因此，得证
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