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第23章 解直角三角形
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．cos 60°的值为（ ）
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为（ ）
A. B. C．3sin α D．3cos α
3．某10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．若α为锐角，且tan α＝，则（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（ ）
A. B. C. D.
6．若sin(70°－α)＝cos 50°，则α的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
7．如图，点A(x，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cos α＝，则tan α的值为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，在6×6网格中，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)，则tan∠BAC的值是（ ）
A. B. C. D.
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝32 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若BC＝8 cm，则sin ∠CBD的值是（ ）
A. B. C. D.
10．如图，一块厚度不计的矩形薄木板ABCD斜靠在互相垂直的墙角MON处，已知AB＝6，AD＝2，∠ABO＝60°，则点D到ON的距离为（ ）
A．1＋ B．1＋3 C．3＋ D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，则AC＝ .
12．在△ABC中，若角A，B满足＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是 .
13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯脚之间的距离BC的长为2 m．周日小明帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 m.(结果保留根号)
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．
(1)sin A的值为 ；
(2)若CD＝2，则tan ∠ACD的值为 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
16．计算：
(1)sin 60°·cos 30°－1；
　
(2)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25 m，求楼下公园的湖宽BD.(结果精确到1 m，参考数据：sin 25°≈0.42，tan 25°≈0.47，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.14)
18．观察下列等式：①sin 30°＝，cos 60°＝；②sin 45°＝，cos 45°＝；③sin 60°＝，cos 30°＝.
(1)根据上述规律，计算：sin2α＋sin2(90°－α)＝ ；
(2)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin ∠AOB＝，点A的坐标为(3，0)．
(1)点B的坐标为 ；
(2)求sin ∠OAB的值．
20．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1∶ 的斜坡AD，在CB方向距点B 9 m处有一座房屋．(参考数据：≈2.45，≈1.414)
(1)∠DAB的度数为 ；
(2)在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝.
(1)求线段DC的长；
(2)求tan ∠EDC的值．
七、(本题满分12分)
22．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184 m轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向．
(1)请计算博物馆C到B处的距离；(结果保留根号)
(2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道？(结果精确到个位，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.90，tan 27°≈0.50，≈2.45)
八、(本题满分14分)
23．(综合与实践)
【问题情境】如图①，将等腰Rt△ABC的AB边绕点B顺时针旋转90°得到线段DB，∠ACB＝90°，AC＝1，连接DC，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E.
【问题探究】
(1)在图①中，易知△ABC与△DBE全等，则△DBC的面积为 ，sin∠DBE＝ ；
【拓展延伸】
(2)如图②，若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC，AC，AB分别用a，b，c表示．将AB边绕点B顺时针旋转90°，得到DB，过点D作DE′⊥BC交CB延长线于点E′；
①判断△ABC与△DBE′是否全等，并说明理由；
②求sin∠DBE′的值；(用a，b，c表示)
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥DB，AB＝10，BC＝12，DB＝5，连接DC.
①△ABC的面积为 ；
②点P是BC边的高上的一点，当AP＝ 时，PD＋PB有最小值，为 .第23章 解直角三角形
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．cos 60°的值为（D）
A. B. C. D.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝3，则AB的长可以表示为（A）
A. B. C．3sin α D．3cos α
3．某10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（A）
A.
B.
C.
D.
4．若α为锐角，且tan α＝，则（C）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B的值为（B）
A. B. C. D.
6．若sin(70°－α)＝cos 50°，则α的度数是（C）
A．50° B．40° C．30° D．20°
7．如图，点A(x，4)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cos α＝，则tan α的值为（A）
A. B. C. D.
8．如图，在6×6网格中，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)，则tan∠BAC的值是（B）
A. B. C. D.
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝32 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若BC＝8 cm，则sin ∠CBD的值是（A）
A. B. C. D.
10．如图，一块厚度不计的矩形薄木板ABCD斜靠在互相垂直的墙角MON处，已知AB＝6，AD＝2，∠ABO＝60°，则点D到ON的距离为（B）
A．1＋ B．1＋3 C．3＋ D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，则AC＝4.
12．在△ABC中，若角A，B满足＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是105°.
13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯脚之间的距离BC的长为2 m．周日小明帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了－m.(结果保留根号)
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．
(1)sin A的值为；
(2)若CD＝2，则tan ∠ACD的值为2.
【解析】(2)过点D作DE⊥AC于点E，易得tan A＝＝＝，设DE＝x，则AE＝2x，CE＝，∴＝10－2x，解得x＝4，得AE＝8，CE＝2，∴tan ∠ACD＝2.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
解：由题意，得AB＝＝25，由勾股定理得AC＝15，
则C△ABC＝60，S△ABC＝BC·AC＝×20×15＝150.
16．计算：
(1)sin 60°·cos 30°－1；
解：原式＝×－1
＝－1
＝－.　
(2)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°.
解：原式＝2×＋3×－4×1
＝1＋－4
＝－.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25 m，求楼下公园的湖宽BD.(结果精确到1 m，参考数据：sin 25°≈0.42，tan 25°≈0.47，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.14)
解：由题意，得∠ADC＝65°，∠ABC＝25°，
在Rt△ADC中，AC＝25 m，
∴CD＝≈≈11.68(m)，
在Rt△ACB中，
BC＝≈≈53.19 m，
∴BD＝BC－CD≈42(m)．
答：湖宽BD约为42 m.
18．观察下列等式：①sin 30°＝，cos 60°＝；②sin 45°＝，cos 45°＝；③sin 60°＝，cos 30°＝.
(1)根据上述规律，计算：sin2α＋sin2(90°－α)＝1；
(2)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.
解：(2)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°
＝1＋1＋…＋1＋＝44＋＝.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin ∠AOB＝，点A的坐标为(3，0)．
(1)点B的坐标为(，3)；
(2)求sin ∠OAB的值．
解：(2)过点B作BC⊥OA于点C，∵点A的坐标为(3，0)，
∴OA＝3，∴AC＝2，
∴AB＝，∴sin ∠OAB＝＝.
20．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1∶ 的斜坡AD，在CB方向距点B 9 m处有一座房屋．(参考数据：≈2.45，≈1.414)
(1)∠DAB的度数为15°；
(2)在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？
解：(2)∵AB＝18 m，
∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝×18＝9，
∴＝＝，解得DC＝9，
故DB＝DC－BC＝9－9≈9.324(m)，
∵9.324＞9，
∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除．
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝.
(1)求线段DC的长；
(2)求tan ∠EDC的值．
解：(1)在Rt△ABD中，
∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，
∴BD＝＝9.
又∵BC＝14，∴CD＝BC－BD＝5.
(2)在Rt△ACD中，∵E为斜边AC的中点，∴ED＝EC＝AC，
∴∠C＝∠EDC，∴tan∠EDC＝tan C＝＝.
七、(本题满分12分)
22．如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184 m轨道到达B处．某同学在博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向．
(1)请计算博物馆C到B处的距离；(结果保留根号)
(2)博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，只需沿北偏东15°的BE方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C周围至少多少米内不能铺设轨道？(结果精确到个位，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.90，tan 27°≈0.50，≈2.45)
解：(1)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，
∴△BCG是等腰直角三角形，
设CG＝BG＝x m，则BC＝x m，
在Rt△ACG中，∠CAG＝27°，tan ∠CAG＝≈0.50，
∴AG≈2CG＝2x m，∴2x≈184＋x，解得x≈184，
∴BC＝x≈184(m)．
答：博物馆C到B处的距离约为184 m.
(2)过点C作CH⊥BE于点H，由题意得∠CBG＝45°，∠DBE＝15°，
∴∠CBE＝∠CBG＋∠DBE＝60°，由(1)可知BC≈184 m，
在Rt△CBH中，CH＝BC·sin 60°≈184×＝92≈225(m)．
答：博物馆C周围至少225 m内不能铺设轨道．
八、(本题满分14分)
23．(综合与实践)
【问题情境】如图①，将等腰Rt△ABC的AB边绕点B顺时针旋转90°得到线段DB，∠ACB＝90°，AC＝1，连接DC，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E.
【问题探究】
(1)在图①中，易知△ABC与△DBE全等，则△DBC的面积为，sin∠DBE＝；
【拓展延伸】
(2)如图②，若△ABC为任意直角三角形，∠ACB＝90°，BC，AC，AB分别用a，b，c表示．将AB边绕点B顺时针旋转90°，得到DB，过点D作DE′⊥BC交CB延长线于点E′；
①判断△ABC与△DBE′是否全等，并说明理由；
②求sin∠DBE′的值；(用a，b，c表示)
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB⊥DB，AB＝10，BC＝12，DB＝5，连接DC.
①△ABC的面积为48；
②点P是BC边的高上的一点，当AP＝时，PD＋PB有最小值，为.
解：(2)①△ABC≌△BDE′.
理由：∵DE′⊥BC，
∴∠DE′B＝90°＝∠ACB，
∵∠DBE′＋∠ABC＝90°，∠ABC＋∠A＝90°，
∴∠DBE′＝∠A，∵BD＝AB，∴△BDE′≌△ABC(AAS)．
②∵∠A＝∠DBE′，
∴sin∠DBE′＝sin A＝.

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