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期末质量评价(二)
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．已知sin A＝，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．函数y＝3(x－2)2＋4的图象的顶点坐标是（ ）
A．(3，4) B．(－2，4) C．(2，4) D．(2，－4)
3．以下列数据为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．2，3，4，8 B．3，6，9，18
C．11，12，13，14 D．1，4，9，16
4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为（ ）
A．9 B．－9 C．4 D．－4
5．如图，∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A.＝ B．∠B＝∠ADE C.＝ D．∠C＝∠E
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C. D.
7．下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … －1 1 3 …
y … －4 －6 －4 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于－6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
8．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
9．如图，在△ABC中，∠C＝45°，tan B＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为（ ）
A. B．2 C. D.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE·BD，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A.－1 B．1 C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．比较大小：tan 40° tan 50°(选填“＞”“＝”或“＜”)．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB＝2，则DE＝ .
13．已知一次函数y＝x＋b(b＞0)的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝的图象交于点C，若AB＝BC，则b的值为 .
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：
(1)AP＝ ；
(2)当△QEP∽△ABP时，PQ＝ .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：cos230°＋sin245°－tan 60°·tan 30°.
16．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知一条抛物线分别过点(3，－2)和(0，1)，且它的对称轴为直线x＝2，求这条抛物线的表达式．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cos C的值．
19．如图，已知直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝ 相交于A，B两点，且A(1，m)，B(－3，n)，与y轴交于点C.
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)若y1＞y2，则对应的x的取值范围为 ；
(3)求△AOB的面积．
20．如图，数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C的正北方向上，即CD∥AB，AC＝50 m，求古树C，D之间的距离．(结果保留到0.1 m，参考数据：≈1.41，sin 63.5°≈0.89，cos 63.5°≈0.45，tan 63.5°≈2.00，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.32)
六、(本题满分12分)
21．【观察】
1×59＝59，2×58＝116，3×57＝171，…，28×32＝896，29×21＝899，30×30＝900，31×29＝899，32×28＝296，…，57×3＝171，58×2＝116，59×1＝59.
【发现】
根据以上材料，回答下列问题：
(1)设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是 ；
【类比】
观察下列两数的积：1×79，2×78，3×77，4×76，…，m×n，…，76×4，77×3，78×2，79×1.
(2)猜想mn的最大值为 ，并用学过的知识加以证明．
七、(本题满分12分)
22．如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB＝8 cm，tan∠DAE＝，求AD的长．
八、(本题满分14分)
23．如图①，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
(1)求线段AB的长；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．期末质量评价(二)
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．已知sin A＝，则锐角A的度数是（A）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．函数y＝3(x－2)2＋4的图象的顶点坐标是（C）
A．(3，4) B．(－2，4) C．(2，4) D．(2，－4)
3．以下列数据为长度的各组线段中，成比例的是（B）
A．2，3，4，8 B．3，6，9，18
C．11，12，13，14 D．1，4，9，16
4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为（A）
A．9 B．－9 C．4 D．－4
5．如图，∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（A）
A.＝ B．∠B＝∠ADE C.＝ D．∠C＝∠E
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（A）
A．2 B．4 C. D.
7．下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … －1 1 3 …
y … －4 －6 －4 …
下列各选项中，正确的是（D）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于－6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
8．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论中一定正确的是（A）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
9．如图，在△ABC中，∠C＝45°，tan B＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为（B）
A. B．2 C. D.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC上任一点，F为AB中点，连接BD，E在BD上，且满足CD2＝DE·BD，连接EF，则EF的最小值为（A）
A.－1 B．1 C. D.
【解析】取BC中点Q，连接EQ，FQ，当F，E，Q三点共线时，EF最小．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．比较大小：tan 40°＜tan 50°(选填“＞”“＝”或“＜”)．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB＝2，则DE＝6.
13．已知一次函数y＝x＋b(b＞0)的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝的图象交于点C，若AB＝BC，则b的值为2.
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：
(1)AP＝2；
(2)当△QEP∽△ABP时，PQ＝5.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：cos230°＋sin245°－tan 60°·tan 30°.
解：原式＝＋－·＝＋－1＝.
16．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．
解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∴AC＝8，∴CD＝AC－AD＝8－6＝2.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．已知一条抛物线分别过点(3，－2)和(0，1)，且它的对称轴为直线x＝2，求这条抛物线的表达式．
解：设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋b，把(3，－2)，(0，1)代入表达式，得解得
∴所求抛物线的表达式为y＝(x－2)2－3.
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求cos C的值．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴AC＝＝＝13，
∴cos C＝＝.
19．如图，已知直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝ 相交于A，B两点，且A(1，m)，B(－3，n)，与y轴交于点C.
(1)a＝1，b＝2；
(2)若y1＞y2，则对应的x的取值范围为－3＜x＜0或x＞1；
(3)求△AOB的面积．
解：(3)易得直线AB的表达式为y＝x＋2，
令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC
＝×2×1＋×2×3
＝4.
20．如图，数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C的正北方向上，即CD∥AB，AC＝50 m，求古树C，D之间的距离．(结果保留到0.1 m，参考数据：≈1.41，sin 63.5°≈0.89，cos 63.5°≈0.45，tan 63.5°≈2.00，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.32)
解：过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
则四边形BFCE是矩形，∴BE＝CF，CE＝BF，
∵∠CAF＝45°，∠AFC＝90°，
∴CF＝AF＝AC＝50，
∵∠CBF＝63.5°，∴BF＝CE＝≈＝25，
∵CD∥AB，∴∠D＝53°，∴DE＝≈≈37.9，
∴CD＝CE＋DE＝62.9(m)，
答：古树C，D之间的距离约为62.9 m.
六、(本题满分12分)
21．【观察】
1×59＝59，2×58＝116，3×57＝171，…，28×32＝896，29×21＝899，30×30＝900，31×29＝899，32×28＝296，…，57×3＝171，58×2＝116，59×1＝59.
【发现】
根据以上材料，回答下列问题：
(1)设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a＋b＝60；
【类比】
观察下列两数的积：1×79，2×78，3×77，4×76，…，m×n，…，76×4，77×3，78×2，79×1.
(2)猜想mn的最大值为1 600，并用学过的知识加以证明．
(2)证明：由题意，得m＋n＝80.将n＝80－m代入mn，
得mn＝－m2＋80m＝－(m－40)2＋1 600.
∴当m＝40时，mn的最大值为1 600.
七、(本题满分12分)
22．如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB＝8 cm，tan∠DAE＝，求AD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上，∴∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB＝90°－∠EFC＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE.
(2)解：∵tan∠DAE＝，∴＝，∵沿AE将△ADE对折，点D的对称点F刚好落在BC边上，∴＝，
由(1)知△ABF∽△FCE，∴＝，
∵AB＝8 cm，∴＝，∴CF＝4 cm，
设AD＝BC＝x，则BF＝x－4，在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，
∴82＋(x－4)2＝x2，解得x＝10，∴AD的长是10 cm.
八、(本题满分14分)
23．如图①，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
(1)求线段AB的长；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)如图②，若点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，
∴AB＝3－(－1)＝4.
(2)易知点C的坐标为(0，3)，
连接OP，设P(m，－m2＋2m＋3)，
则S△BCP＝S△OCP＋S△OBP－S△BOC
＝×3×m＋×3×(－m2＋2m＋3)－×3×3
＝－＋，
∴当m＝时，S最大＝，此时，点P的坐标为.
(3)存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
理由：过点N作NH⊥MC于点H，连接NA，
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点为M(1，4)，与y轴的交点为C(0，3)，
设直线MC的表达式为y＝ax＋3，
把M(1，4)代入，得4＝a＋3，解得a＝1，
∴直线MC的表达式为y＝x＋3，∴∠CMN＝45°，∴MN＝HN.
当NH＝AN时，MN＝AN，
设N(1，n)，则MN＝4－n，AN＝，
∴4－n＝×，解得n＝－4±2，
∴点N的坐标为(1，－4＋2)或(1，－4－2)．

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