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期末质量评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列函数中，是二次函数的是（C）
A．y＝x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x－2
2．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下面四个等式一定成立的是（B）
A．c＝b·sin B B．a＝c·cos B
C．a＝b·tan B D．b＝c·tan B
3．若双曲线y＝的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（A）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC.如果AD∶DB＝2∶1，那么AE∶AC的值为（C）
A．2∶1 B．2∶5 C．2∶3 D．3∶5
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝(x－1)2－2先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（A）
A．y＝(x＋1)2－7 B．y＝(x＋1)2－1
C．y＝(x－3)2－7 D．y＝(x－3)2－3
6．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB的长为（D）
A．a sin α B．a cos α C．a tan α D.
7．若点M(m，n)是抛物线y＝－2x2＋2x－3上的点，则m－n的最小值是（C）
A．0 B. C. D．－3
8．如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么△ABC与△DEF的周长比为（A）
A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
9．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是（A）
10．如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O，A)，过P，O两点的二次函数y1和过点P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D.当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和为（A）
A. B. C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．比较大小：sin 45°＜tan 45°(选填“＞”“＜”或“＝”)．
12．如图，请添加一个条件使得△ABC∽△ADE：＝(或DE∥BC等，答案不唯一)．
13．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于两点A(－2，p)，B(5，q)，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是x＜－2或x＞5.
14．如图①，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE，CF.
(1) 的值为；
(2)当G，F，C三点共线时，如图②，若AB＝5，AE＝，则 BE＝.
【解析】(1)连接AF，AC，易证△BAE∽△CAF，由相似三角形对应边成比例即可求解；(2)在Rt△AGC中，由勾股定理求得CG的长，进而得CF的长，由(1)中比值即可求得BE的长．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：2cos245°－1＋tan 30°tan 60°.
解：原式＝2×－1＋×＝2×－1＋1＝1.
16．已知实数x，y，z满足＝＝，试求 的值．
解：设＝＝＝t，∴x＝2t，y＝3t，z＝4t，
∴＝＝4.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于网格点上，按要求完成下列任务．
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为3∶1.
解：(1)如图，△A1B1C1为所作．
(2)如图，△A2B2C2为所作．
18．为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长35 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为60 m的栅栏围住，如图所示，若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？
解：(1)由题意得
y＝x＝－x2＋30x，
∵x≤35且＞0，∴0＜x≤35，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2＋30x(0＜x≤35)．
(2)y＝－x2＋30x＝－(x－30)2＋450，
∵－＜0，且0＜x≤35，∴当x＝30时，y有最大值，最大值为450，
即x为30时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是450 m2.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于A(－1，n)，B(3，－1)两点．
(1)求反比例函数的表达式和A点的坐标；
(2)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
解：(1)反比例函数表达式为y2＝－，A(－1，3)．
(2)由函数图象可知当x＜－1或0＜x＜3时一次函数图象在反比例函数图象上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．
20．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56 m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°.求天宁寺宝塔的高度(结果保留根号)．
解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形，依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝ED，则四边形ABDE是正方形，
∴AE＝BD＝56，在Rt△ACE中，
CE＝AE×tan ∠CAE＝56，
∴CD＝DE＋CE＝56＋56.
答：天宁寺宝塔的高度为(56＋56) m.
六、(本题满分12分)
21．某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)满足一次函数关系y＝－10x＋1 200.
(1)求出利润S(单位：元)与销售单价x(单位：元)之间的关系式(利润＝销售额－成本)；
解：由题意可得S＝(x－40)(－10x＋1 200)
＝－10x2＋1 600x－48 000.
(2)该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
解：S＝－10x2＋1 600x－48 000＝－10(x－80)2＋16 000，
依题意x≤40×1.9，即x≤76，
对于二次函数S＝－10(x－80)2＋16 000，
当x≤80时，S随x的增大而增大，
故当x最大为76时，S最大为15 840元．
七、(本题满分12分)
22．如图，等腰直角三角形AMN的顶点M在等腰直角三角形ABC的边BC上，AB的延长线交MN于点D，其中∠AMN＝∠ABC＝90°.
(1)求证：AD·AC＝AM·AN；
(2)若tan∠AMB＝2，求 的值．
(1)证明：∵三角形AMN和三角形ABC都为等腰直角三角形，
∴∠AND＝∠ACM＝45°.
∴∠ADN＝∠AMD＋∠DAM＝90°＋∠DAM，∠AMC＝∠ABM＋∠DAM＝90°＋∠DAM，
∴∠ADN＝∠AMC，∴△ADN∽△AMC，
∴＝，即AD·AC＝AM·AN.
(2)解：∵tan∠AMB＝＝2，
∴可设BM＝a，则AB＝2a，∴AM＝＝a.
∴∠BAM＋∠AMB＝90°，∠BAM＋∠ADM＝90°，
∴∠AMB＝∠ADM，
∴tan∠ADM＝＝tan∠AMB＝2，即 ＝2，∴DM＝，
∴AD＝＝＝a，
∴BD＝AD－AB＝a－2a＝a，
∴＝＝5.
八、(本题满分14分)
23．已知抛物线K：y＝ax2＋bx－6关于直线x＝－ 对称，且经过点(1，－4)．
(1)求抛物线K的函数表达式；
(2)若抛物线K与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.求A，B，C三点的坐标，并求△ABC的面积；
(3)将抛物线K向左或向右平移，得到抛物线K′，且K′与x轴相交于A′，B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
解：(1)∵抛物线K：y＝ax2＋bx－6关于直线x＝－对称，且经过点(1，－4)．
∴解得∴y＝x2＋x－6.
(2)当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，
∴点A(－3，0)，点B(2，0)．∴AB＝5，
当x＝0时，y＝x2＋x－6＝－6，∴点C(0，－6)，∴OC＝6，
∴S△ABC＝AB·OC＝15.
(3)∵抛物线K向左或向右平移，得到抛物线K′，∴A′B′＝AB＝5，
∵△A′B′C′和△ABC的面积相等，
∴OC′＝OC＝6，即C′(0，－6)或(0，6)，
设抛物线K′的表达式为y＝x2＋bx－6或y＝x2＋bx＋6，
A′(m，0)，B′(n，0)，
当m，n为方程x2＋bx－6＝0的两根时，即m＋n＝－b，mn＝－6.
∵|n－m|＝5，∴(n－m)2＝25，∴(m＋n)2－4mn＝(n－m)2＝25，
∴b2－4×(－6)＝25，解得b＝1或b＝－1，
∴抛物线K′的表达式为y＝x2＋x－6(舍去)或y＝x2－x－6；
当m，n为方程x2＋bx＋6＝0的两根时，m＋n＝－b，mn＝6，
∵|n－m|＝5，∴(n－m)2＝25，∴(m＋n)2－4mn＝(n－m)2＝25，
∴b2－4×6＝25，解得b＝7或－7，
∴抛物线K′的表达式为y＝x2＋7x＋6或y＝x2－7x＋6.
综上所述，抛物线K′的表达式为y＝x2－x－6，y＝x2＋7x＋6或
y＝x2－7x＋6.期末质量评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分　班级：______　姓名：______)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x－2
2．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下面四个等式一定成立的是（ ）
A．c＝b·sin B B．a＝c·cos B
C．a＝b·tan B D．b＝c·tan B
3．若双曲线y＝的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
4．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC.如果AD∶DB＝2∶1，那么AE∶AC的值为（ ）
A．2∶1 B．2∶5 C．2∶3 D．3∶5
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝(x－1)2－2先向下平移5个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝(x＋1)2－7 B．y＝(x＋1)2－1
C．y＝(x－3)2－7 D．y＝(x－3)2－3
6．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB的长为（ ）
A．a sin α B．a cos α C．a tan α D.
7．若点M(m，n)是抛物线y＝－2x2＋2x－3上的点，则m－n的最小值是（ ）
A．0 B. C. D．－3
8．如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
9．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是（ ）
10．如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O，A)，过P，O两点的二次函数y1和过点P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D.当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和为（ ）
A. B. C．3 D．4
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．比较大小：sin 45° tan 45°(选填“＞”“＜”或“＝”)．
12．如图，请添加一个条件使得△ABC∽△ADE： ．
13．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于两点A(－2，p)，B(5，q)，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是 .
14．如图①，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE，CF.
(1) 的值为 ；
(2)当G，F，C三点共线时，如图②，若AB＝5，AE＝，则 BE＝ .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：2cos245°－1＋tan 30°tan 60°.
16．已知实数x，y，z满足＝＝，试求 的值．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都位于网格点上，按要求完成下列任务．
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为3∶1.
18．为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长35 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为60 m的栅栏围住，如图所示，若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象交于A(－1，n)，B(3，－1)两点．
(1)求反比例函数的表达式和A点的坐标；
(2)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
20．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56 m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°.求天宁寺宝塔的高度(结果保留根号)．
六、(本题满分12分)
21．某公司自主设计了一款成本为每个40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)满足一次函数关系y＝－10x＋1 200.
(1)求出利润S(单位：元)与销售单价x(单位：元)之间的关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)该公司当地物价部门规定，商品售价不得高于成本的1.9倍，当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
七、(本题满分12分)
22．如图，等腰直角三角形AMN的顶点M在等腰直角三角形ABC的边BC上，AB的延长线交MN于点D，其中∠AMN＝∠ABC＝90°.
(1)求证：AD·AC＝AM·AN；
(2)若tan∠AMB＝2，求 的值．
八、(本题满分14分)
23．已知抛物线K：y＝ax2＋bx－6关于直线x＝－ 对称，且经过点(1，－4)．
(1)求抛物线K的函数表达式；
(2)若抛物线K与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.求A，B，C三点的坐标，并求△ABC的面积；
(3)将抛物线K向左或向右平移，得到抛物线K′，且K′与x轴相交于A′，B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

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