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2025-2026学年浙江省浙东北联盟高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A. B.
C. D.
2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O′A′B′C′，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形OABC的面积为，则BC的长为（　　）
A. 1
B. 2
C.
D.
3.已知，则=（　　）
A. 12 B. C. 8 D.
4.已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A. 2 B. 48 C. 50 D. 96
5.在△ABC中，若（a-acosB）sinB=（b-ccosC）sinA，则这个三角形是（　　）
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6.已知m,n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l α，l β，则（　　）
A. α∥β，l∥α B. α与β相交，且交线平行于l
C. α⊥β，l⊥α D. α与β相交，且交线垂直于l
7.如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，将△ACD沿直线AC折起至△ACP处，使得点P在平面ABC上的射影在AE上.若三棱锥P-ABC的外接球表面积为8π，则P到平面ABC的距离为（　　）
A. B. C. D. 1
8.已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中i=1，2，j=1，2， ，k），则k的最大值是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.三个平面将空间分成n个部分，则n可能是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.两名同学共提一个旅行包，作用在旅行包上的拉力分别为，，已知，旅行包所受的重力为，.设，的夹角为θ，则下列说法正确的是（　　）
A. 当θ越小时，越大
B. 的最小值大于
C. 当θ=30°时，
D. 当θ=30°时，与夹角的余弦值为
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P满足，λ∈[0，1），μ∈[0，1），则下列说法中正确的是（　　）
A. 当，μ=0时，直线EP与BC1所成的角为60°
B. 当λ=0，时，过点A1有3条直线与BB1，AP所成的角都是60°
C. 若λ+μ=1，则AP与平面BB1C1C所成角的最小值为45°
D. 当，时，过点P作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，与平行的单位向量的坐标是 .
13.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且BC=40，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 .
14.平面向量，，满足与的夹角为60°，，.当最大时，的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，是互相垂直的单位向量，向量（x∈R），.
（1）若与垂直，求x的值；
（2）若x=2，求向量在向量上的投影向量（用，表示）.
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=6，AD=2，，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.
17.(本小题15分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若边BC上的中线，b+c=8，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
现有两个含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图，△PAB与△PCD为这两个三角板，其中PA=PC=10cm,∠PBA=∠PDC=30°.初始时，两三角板的直角顶点重合于点P，斜边AB，CD共线.现将两三角板绕点P平行展开，得到四棱锥P-ABCD.
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）设平面PAB∩平面PCD=l.
（ⅰ）求证：l∥平面ABCD；
（ⅱ）当二面角A-l-C的大小为多少时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值？求出该最大值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，AB=2，AC=4，A=120°，平面ABC上的动点D满足∠BDC=60°，且点D，A在直线BC的两侧.
（1）求△ABC外接圆的直径；
（2）记∠BAD=θ，试将AD表示为关于θ的函数；
（3）设点E满足，求的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】x=1或x=-1
16.【答案】，．
17.【答案】
18.【答案】由AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC，BD的中点．
又由于PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，
又∵AC，BD 平面ABCD，AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．
又PO 平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD （ⅰ）∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又∵AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，∴AB∥l．
又∵l 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴l∥平面ABCD．
（ⅱ）90°，最大值500cm3
19.【答案】 ，
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