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2025-2026学年浙江省绍兴市上虞中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（　　）
A. 匀速直线运动中时间与位移的关系 B. 学生的成绩和身高
C. 一块农田的小麦产量与施肥量 D. 正n边形的边数与内角度数之和
2.下列求导运算正确的是（　　）
A. B.
C. （2x）′=2x D. （sinx）′=-cosx
3.若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（　　）
A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
4.观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）
A. B.
C. D.
5.若函数f（x）=x2-alnx+1在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≤2 B. a＜2 C. a≤0 D. a＜0
6.已知随机变量X～N（1，σ2）且P（X≤-2）=P（X≥2a-2），则（ax-1）7展开式中各项系数之和为（　　）
A. 64 B. 128 C. -64 D. -128
7.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则下列结论中正确的是（　　）
A. B. P（A∪B）=P（A）+P（B）
C. D. A与B相互独立
8.已知，b=ee-1，，则有（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示．
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y（亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9
根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下正确的是（　　）
A. m=4.8 B. 相关系数r＞0
C. 第8年的利润预计大约为8.3亿元 D. 第6个样本点的实际值比预测值小0.1
10.已知函数，其导函数为f′（x），则下列结论正确的是（　　）
A. 直线3x+3y-1=0是曲线y=f（x）的切线
B. f（x）有三个零点
C. f′（2+x）=-f′（x）
D. 若f（x）在（a,a+4）上有最大值，则a的取值范围为（-4，-1]
11.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（　　）
A. 在“杨辉三角”中，当n=9时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120
B. 在“杨辉三角”第n行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则n为12
C. 记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则
D. 在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 .
13.在研究线性回归模型时，样本数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n）所对应的点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为 .
14.已知函数，，对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，e]，使g（x1）≤f（x2），则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表.
性别 满意 不满意 合计
男性 40 40 80
女性 80 40 120
合计 120 80 200
（1）根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联；
（2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率
附：.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
16.(本小题15分)
已知的展开式中共有11项.
（1）求n的值；
（2）求展开式中x4的系数；
（3）求二项式系数最大的项.
17.(本小题15分)
某大型公司进行新员工招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试，已知应聘者的初试成绩X～N（70，32）.复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败.若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功.
（1）估计10000名应聘者中初试成绩位于区间（76，79]内的人数；
（2）若小明已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小明在复试中总闯关次数为5次的概率P.
附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
18.(本小题17分)
某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.
（1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X，求X的分布列并计算甲进入决赛的概率.
（2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为p（0＜p＜1），且每次答题相互独立.
（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f（p），求f（p）的最大值；
（ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时p的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数的导函数为f′（x）.
（1）当a=1时，求f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f′（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）已知，若h（x）在定义域内有三个不同的极值点x1，x2，x3，且满足，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BD
11.【答案】AD
12.【答案】0.56
13.【答案】-1
14.【答案】[8e-2，+∞）
15.【答案】与性别有关
16.【答案】n=10 960 8064
17.【答案】214
18.【答案】分布列见解析；；
（i）；（ii）[，1）．
19.【答案】（1）当a=1时，，则f′（x）=ex-x2+3，
因此f（0）=1，则f′（0）=4，
因此f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=4x,即4x-y+1=0．
（2）由题知，f′（x）=aex-x2+3（a∈R），
因为f′（x）有三个不同的零点，
因此方程aex-x2+3=0有三个不等实根，
化简可得方程有三个不等实根，
即可看成直线y=a与曲线有三个不同的交点，
，
因此当x∈（-∞，-1）或x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（-1，3）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
因此当x=-1时，g（x）有极小值为g（-1）=-2e,
当x=3时，g（x）有极大值为，
当x→+∞时，g（x）→0，且当时，g（x）＞0，
因此作出函数的图象如图1所示，
因此数形结合可知，即实数a的取值范围为．
（3）由题知，，其定义域为（0，+∞），
则，
令h′（x）=0，得x=1或，
设，则，
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，因此φ（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，因此φ（x）单调递减，
又当x→0时，φ（x）→0；当x→+∞时，φ（x）→0，且，
因此φ（x）的大致图象如图2所示，
因为h（x）在定义域内有三个不同的极值点x1，x2，x3，
因此φ（x）与y=a有两个不同的交点，因此，
不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜1=x2＜x3，
因此，因此
因此
=，
令，则，
因为y=elna在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，
因此，
又，
因此p′（a）＞0，因此p（a）在上单调递增，
因为，
因此当时，恒成立，
即当时，恒成立，
因此实数a的取值范围是．
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