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2025-2026学年四川省遂宁市射洪中学强实班高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足z（1-i）=i,则的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.已知两条不同直线a,b,两个不同平面α，β，下列命题中正确的是（　　）
A. 若a∥b,b α，则a∥α
B. 若a∥α，b∥α，a β，b β，则α∥β
C. 若a∥α，b α，则a∥b
D. 若α∥β，a α，b β，则a∥b或a与b异面
3.已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（　　）
A. 60 B. 20 C. 40 D. 56
4.已知△ABC的直观图△A′B′C′是直角三角形，如图所示，其中O′B′=A′B′=B′C′=2，则AC的长度为（　　）
A. 8
B. 4
C. 4
D. 4
5.在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，bcosA＞c,则（　　）
A. △ABC为锐角三角形 B. △ABC为直角三角形
C. △ABC为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能
6.如图，ABCD是边长为4的正方形，若DE=EC，且F为BC的中点，则 =（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF=2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是（　　）
A. [，]
B. [0，1]
C. [，]
D. [，]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，，则（　　）
A. 的夹角为锐角 B. 若，则
C. 若与垂直，则x=1 D. 在上的投影向量是
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，点Q是直线MN上的动点，下列说法正确的是（　　）
A. AP与CM是异面直线
B. AP，CM，DD1相交于一点
C. MN∥平面BB1D1D
D. 三棱锥D1-BDQ的体积是定值
11.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，M为BC上靠近B的三等分点，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若AM交BO于点N，，则
C. 的最大值为5
D. 若点Q为此半圆弧上的另一个动点，且满足，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=2 i2002+i2003，则|z|= .
13.已知圆锥的母线长为，底面圆的周长为2π，则该圆锥的体积为 .
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a=1，BC边上的高等于tanA，则b2+c2= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，.
（1）若，的夹角为45°，求；
（2）若，与的夹角为θ，求θ的值.
16.(本小题15分)
如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，Q为侧棱SD的中点.
（1）证明：BQ∥平面PAC；
（2）若E是侧棱SC上靠近点C的三等分点，求证：BE∥平面PAC.
17.(本小题15分)
已知向量，.设.
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若，a=4，△ABC的面积为，且B＞C，求b-c的值.
18.(本小题17分)
在①（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC，②，③cos2A-3cos（B+C）=1，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
在锐角△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a,b,c,且选条件：_____.
（1）求角A的大小；
（2）若E为BC中点，且，AB=3，求AC的值；
（3）如图所示，作AB⊥BD（A、D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足，，求AC的最大值.
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知点D为线段BC上的一点，AD为∠BAC的平分线，AD=2.
（1）若△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，求的值；
（2）若ccosB=（3a-b）cosC，CD=1，求cos∠BAC的值；
（3）当时，求b+c的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】连接BD，交AC于O，连接BQ，OP，
则O是BD的中点，
因为P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，Q为侧棱SD的中点
所以P是QD的中点，所以BQ∥OP，
因为BQ 平面PAC，OP 平面PAC，
所以BQ∥平面PAC 连接BE，QE，
因为，所以EQ∥PC，
因为EQ 平面PAC，PC 平面PAC，
所以EQ∥平面PAC．
因为BQ∥平面PAC，BQ∩EQ=Q，BQ，EQ 平面BQE，
所以平面BQE∥平面PAC，
因为BE 平面BQE，
所以BE∥平面PAC
17.【答案】 2
18.【答案】；
2；
．
19.【答案】
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