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2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.已知，k∈Z，，则p是q的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.下列向量中，与向量=（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A. （-6，-8） B. C. （8，6） D.
3.在下列函数中，既是上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是（　　）
A. y=sin2x B. y=cos2x C. y=|sinx| D. y=|sin2x|
4.设函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，，已知f（x）在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若角α的终边经过点P（1，-8），则tanα= .
6.已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则||=______．
7.已知扇形的圆心角大小为，半径为1，则扇形的弧长为 .
8.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2，5）、（1，4），若点P满足=-2，则点P的坐标为 .
9.在[0，2π]上满足的x的取值范围是 .
10.已知函数，则函数的最小值为 .
11.已知，，在上的投影向量的坐标为 .
12.方程在（0，π）内的解为 .
13.若函数f（x）=12sinx+acosx的最大值为13，则常数a= .
14.若函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图像如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2026）= .
15.定义运算，则函数的值域为______.
16.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量，为单位向量，.若平面向量满足，则的最大值是 .
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知sinθ-2cosθ=0.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.(本小题10分)
已知平面向量.
（1）若，求实数x的值；
（2）若，且，求平面向量的坐标.
19.(本小题10分)
已知△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为.
（1）若a=2c,求△ABC的面积；
（2）设线段AB的中点为D，若，求△ABC外接圆半径R的值.
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知α是第二象限角，其终边上有一点.
（1）若，求x的值；
（2）在（1）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至OP′，求点P′的坐标.
21.(本小题12分)
已知函数sinωxcosωx+sin2ωx-（其中常数ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）作出函数y=f（x），x∈[0，π]的大致图像，并指出其单调递减区间；
（3）将y=f（x）的图像向左平移φ（0＜φ＜π）个单位长度得到函数y=g（x）的图像，若实数x1，x2满足f（x1）g（x2）=-1，且|x1-x2|的最小值是，求φ的值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】-8
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】（4，3）
9.【答案】[，]
10.【答案】-1
11.【答案】
12.【答案】，
13.【答案】±5
14.【答案】
15.【答案】[-，]
16.【答案】
17.【答案】-3；
．
18.【答案】 （2，1）或（-2，-1）
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】解：（1）∵函数sinωxcosωx+sin2ωx-=sin2ωx+-
=sin（2ωx-）（其中常数ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=1．
函数y=f（x）=sin（2x-）．
（2）作出函数y=f（x），x∈[0，π]的大致图像：
作图：
2x- - 0 π
x 0 π
f（x） - 0 1 0 -1 -
作图：
结合图像，可得其单调递减区间为[，]．
（3）将y=f（x）=sin（2x-）的图像向左平移φ（0＜φ＜π）个单位长度，
得到函数y=g（x）=sin（2x+2φ-）的图像，
若实数x1，x2满足f（x1）g（x2）=-1，则f（x1）与g（x2）一个等于1，另一个等于-1，
且|x1-x2|的最小值为|-φ|=，即|-φ|=，求得φ=．
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