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2025-2026学年山西省长治市上党区第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列两个变量中，具有相关关系的是（　　）
A. 正方体的体积棱长 B. 匀速行驶的汽车的行驶距离与时间
C. 人的身高与体重 D. 人的身高与视力
2.A={x|1≤x＜4}，B={x|y=lg（x2-2x）}，则A∩（ RB）=（　　）
A. {x|1≤x≤2} B. {x|1≤x＜2} C. {x|2＜x＜4} D. {x|2≤x＜4}
3.已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（　　）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
4.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（　　）
A. 120分，75 B. 120分，20 C. 115分，65 D. 115分，140
5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN所成角的余弦值是（　　）
A.
B.
C.
D. 0
6.2025年福清市元宵晚会共有3个语言类节目，2个杂技魔术类节目，5个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.下列结论正确的是（　　）
A. 如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1
B. 命题的“ x∈R，”否定是“ x R，”
C. 一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则m=12
D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
8.已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，0） B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（　　）
A. n=10 B. 展开式中的常数项为45
C. 含x5的项的系数为-210 D. 展开式中的有理项有6项
10.某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（　　）
A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69
B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8
C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3
D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为
11.已知函数f（x）的定义域均为R，f（x+y）f（x-y）=[f（x）]2-[f（y）]2，f（1）=1，f（2x+1）为偶函数，则（　　）
A. f（0）=0 B. f（x）为偶函数
C. f（2+x）=-f（2-x） D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=x3-f′（1）x2+1，则f（2）= .
13.已知点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为 .
14.一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c,则满足|a-b|+|b-c|+|c-a|=6的情况有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇.飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况.某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：min）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系
x 10 20 30 40 50
y 1 3 4 5 7
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若某航班飞机晚点80min,试估算旅客的投诉次数.
参考公式：.
16.(本小题15分)
人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到列联表：
男教师 女教师 总计
优秀 20 15 35
非优秀 10 5 15
总计 30 20 50
（1）根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
（2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
17.(本小题15分)
某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3：2的比例混合在一起.
（1）从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率；
（2）从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx,其中x∈R.
（1）当a=-1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若函数g（x）=f（x）-ax2有两个不同的零点x1、x2，求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为p（0＜p＜1）和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立.
（1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为f（p），求f（p）的最大值以及此时p的值；
（2）若，用X表示前3次甲投篮的次数，求X数学期望；
（3）在（2）的条件下，设第n次是甲投篮的概率为Pn，求证明：
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】54．
15.【答案】 11次
16.【答案】不能认为这次成绩是否优秀与性别有关
．
17.【答案】
ξ 0 1 2 3 4
P

18.【答案】y=-2x 当a≤0时，f（x）在单调递增，在单调递减；当0＜a＜2时，f（x）在，单调递增，在单调递减；当a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，f（x）在，单调递增，在单调递减
19.【答案】处取得最大值，；
；
证明见解析．
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