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2025-2026学年山东省泰安市新泰市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设z=，则=（　　）
A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
2.已知向量，满足+=（2，3），-=（-2，1），则||2-||2=（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
4.已知向量，满足||=1，||=，|-2|=3，则 =（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
5.半径为10cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为36πcm2，64πcm2，则这两个平行平面的距离为（　　）cm.
A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 6或8
6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=5，E，F，G分别为侧棱BB1，CC1，DD1上一点，则AE+EF+FG+GA1的最小值为（　　）
A. B. C. D. 14
7.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a,b,c.若，a=4，且该三角形有两解，则b的范围是（　　）
A. B. C. （0，4） D.
8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA⊥CB，AB=CC1=2，该三棱柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（　　）
A. B. C. 8π D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列关于空间几何体的叙述错误的是（　　）
A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 一个棱柱至少有5个面
10.下列命题中，正确的是（　　）
A. 在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C. 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（　　）
A. 圆锥SO的侧面积为3π
B. 三棱锥S-ABC体积的最大值为
C. 圆锥SO外接球体积为
D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=2，b=3，，则C= .
13.如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E-ABCD-F，则该八面体的表面积为 .
14.已知复数z1、z2分别满足：|z1-2-3i|=2，|z2+1+i|=1，其中i为虚数单位，则|z1-z2|的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a+2b=2ccosA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a+b=5，求边c的大小．
16.(本小题15分)
已知向量，满足，向量的夹角为60°.
（1）求的值；
（2）求；
（3）求向量与的夹角θ的余弦值.
17.(本小题15分)
如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上.
（1）求C处与小岛A之间的距离；
（2）求A，B两座小岛之间的距离.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosA.
（1）若△ABC的面积是，求△ABC的周长；
（2）若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1.
（1）求A；
（2）若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】[2，8]
15.【答案】解：（1）由正弦定理得，sinA＋2sinB＝2sinCcosA，
则sinA＋2sin（A＋C）＝sinA＋2sinAcosC＋2cosAsinC＝2sinCcosA，
∴sinA＋2sinAcosC＝sinA（1＋2cosC）＝0，
在△ABC中，0＜A＜π，得sinA＞0，
∴1＋2cosC＝0，∴，
∵0＜C＜π，∴；
（2）△ABC的面积，∵，0＜C＜π，
∴，
，得ab＝4，
又因为a＋b＝5，所以a＝4，b＝1或者a＝1，b＝4，
由余弦定理得，
∴.

16.【答案】-11
17.【答案】10 10
18.【答案】；
．
19.【答案】解：（1）由已知△ABC中cos2B+cos2C-cos2A=1，即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1，
故sin2A=sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2=b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即；
（2）由（1）可得，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得，
整理得，
则=；
（3）点P为△ABC的费马点，则，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x,m＞0，n＞0，x＞0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得，
，
，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2=（m2+n2+mn）x2，
即m+n+2=mn,而m＞0，n＞0，故，
当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得时，等号成立，
又m+n=t,即有t2-4t-8≥0，解得或（舍去）．
故实数t的最小值为．
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