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2025-2026学年山东省临沂市沂水县第一中学高二（下）期中数学模拟试卷（四）
一、单项选择题：本大题共8小题，共41分。
1.将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A. 10种 B. 25种 C. 20种 D. 40种
2.若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ≤a）=P（ξ≥b），则ab的最大值为（　　）
A. 9 B. C. 24 D. 27
3.某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%，90%.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（　　）
A. 93% B. 93.5% C. 94% D. 94.5%
5.已知，，P（A|B）=，则P（A∪B）=（　　）
A. B. C. D.
6.本次高三数学考试有1万人次参加，成绩ξ服从正态分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在（98，138]内的人数约为（　　）
（参考数据：P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973）
A. 6667人 B. 6827人 C. 9545人 D. 9973人
7.已知函数f（x）=x3-3x+2，则函数g（x）=f′（x）ex在区间[0，2]上的最小值为（　　）
A. -3e B. -2e C. e D. 2e
8.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，且f（-1）=0，当x＞0时，xf'（x）+f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（　　）
A. （-1，0）∪（1，+∞） B. （-∞，-1）∪（0，1）
C. （-∞，-1）∪（-1，0） D. （0，1）∪（1，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的有（　　）
A. 的展开式的各二项式系数的和为1
B. 已知随机事件A和B，若P（A）=0.2，P（B）=0.3，P（AB）=0.06，则A和B相互独立
C. 若，且a0+a1+a2+…+an-1+an=126，则a1+a2+…+an-1=120
D. 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌（n≤a+b），甲选择从中依次有放回地摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．则E（X）=E（Y）
10.已知甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A1，A2，A3表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件，再从乙袋中随机取出1球，以B表示事件；由乙袋取出的球是红球，则下列结论中正确的是（　　）
A. B. C. D.
11.已知x=3是函数的一个极值点，则（　　）
A. a=4
B. 当0＜x＜1时，
C. f′（x+2）是偶函数
D. 当1≤x1≤x2≤3且x1+x2＜4时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则a1+a2+ +a8= ；x3y4的系数为 .
13.若存在x∈（0，+∞），使得xex≤lnx+x+2a成立，则实数a的最小值为 .
14.已知随机变量X服从二项分布B（4，p），其期望E（X）=3，随机变量Y服从正态分布N（1，2），若P（Y＞0）=p,则P（0＜Y＜1）= .
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排.
（1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数；
（2）记X为2个白球之间红球的个数，求X的分布列，期望.
16.(本小题15分)
已知，其中a0，a1，a2， ，an∈R.且（1+2x）n展开式中仅有第5项的二项式系数最大.
（1）求a1+a2+ +an（用数值作答）；
（2）若x=41，求二项式的值被7除的余数.
17.(本小题15分)
已知函数，a∈R.
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[1，e]的最小值为1，求a的值.
18.(本小题17分)
某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为p（0＜p＜1），记X为甲随机选择1个选项的得分，Y为甲随机选择2个选项的得分，
（1）若，求P（X≥2）；
（2）求X的概率分布列和数学期望；
（3）证明：当且仅当时，E（X）＜E（Y）.
19.(本小题17分)
已知函数（a∈R）.
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若对 x＞1，恒成立，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】4
-240

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】36种 分布列：
X 0 1 2 3
P
E（X）=1
16.【答案】6560；
1．
17.【答案】x+y-1=0；
当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；
a=2
18.【答案】 X的分布列为：
X 0 2 3
P
证明：由题知Y可能的取值为0，4，6，
，
，
，
故，
，
故当且仅当时，E（Y）-E（X）＞0，
所以E（Y）＞E（X）
19.【答案】-1-e 当时，函数f（x）的单调增区间为（0，1）和（-lna，+∞），减区间为（1，-lna）；当时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；当时，函数f（x）的单调增区间为（0，-lna）和（1，+∞），减区间为（-lna，1）；当a≥1时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1） （-∞，-e-2]
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