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2025-2026学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，，则的坐标为（　　）
A. （0，1） B. （2，-5） C. （-2，5） D. （2，5）
2.已知z=1+i,则i（z+1）=（　　）
A. -2+i B. -1+2i C. 1+2i D. 2+i
3.若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（　　）
A. 9π B. 12π C. 16π D. 20π
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，则A=（　　）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 30°或150°
5.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若m∥n,m∥α，则n∥α
C. 若m α，n β，则m,n是异面直线
D. 若α∥β，m α，n β，则m∥n或m,n是异面直线
6.如图所示，在△ABC中，D是线段AB上的靠近A的三等分点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，则直线AE与CB所成角的大小为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知c=4，，则a+b范围为（　　）
A. B. C. （4，8] D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=5-8i,z2=9i,则（　　）
A. z2是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. |z2|=81
10.已知平面向量，则下列说法正确的是（　　）
A. 当时，x=-10
B. 若和的夹角为锐角，则
C. 当x=-3时，在方向上的投影向量为
D. 若，则和的夹角为45°
11.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，E是AB的中点，F是上异于C，D的点，AB=2BC=2.则（　　）
A. AD//平面BCF
B. 平面ABF⊥平面BCF
C. 当F是的中点时，EF与BC所成的角为
D. EF与平面CDF所成的角为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是两个不共线的向量，向量.若，则k=
.
13.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援.则BC的距离为 .
14.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）求；
（2）若，求m的值.
16.(本小题15分)
如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2CD=2AD=2，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明：
（1）DE∥BC；
（2）D，M，B三点共线.
17.(本小题15分)
如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点，G是FC的中点.
（1）证明：BG⊥FC1；
（2）证明：平面AEE1∥平面FCC1.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.满足2cosBsinC=sinAcosB+cosAsinB.
（1）求角B的大小；
（2）设b=2，已知D是边AC的中点，求BD的最大值.
19.(本小题17分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2，AD⊥BD，BF为△BCD的中线，将△BCF沿BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且CE=2.
（1）求证：EF⊥平面ABCD.
（2）求直线AE与平面BEF所成角的正切值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】144π
15.【答案】解：（1）∵，
∴；
（2）由，可得，
即，即10-5m=0，解得m=2．
16.【答案】根据题意，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），，
，，
所以，又因为DE与BC无公共点，故DE∥BC 由（1）得，，
所以，即与共线，
又因为DB与DM有公共点D，所以D，M，B三点共线
17.【答案】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
因为F是棱AB的中点，所以，
因为CB=2，所以△FBC为等腰三角形，
又因为G是FC的中点，所以BG⊥FC，
因为CC1⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
所以CC1⊥BG，又CC1∩FC=C，CC1，FC 平面FCC1，
所以BG⊥平面FCC1，
又因为FC1 平面FCC1，
所以BG⊥FC1 因为F是棱AB的中点，所以，
因为CD∥AB，且CD=AF=2，
所以四边形AFCD为平行四边形，则AD∥CF，
即AE∥FC，因为FC 平面FCC1，AE 平面FCC1，
所以AE∥平面FCC1，
同理AE1∥平面FCC1，又AE1，AE 平面AEE1，AE1∩AE=A，
所以平面AEE1∥平面FCC1
18.【答案】
19.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AD=BD=2，且AD⊥BD，
所以，∠DBC=90°，
又BF为△BCD的中线，AD=BD=BC，
所以，BF⊥CD，
因为CE=2，所以CF2+EF2=CE2，即EF⊥CF，
由BF⊥CD知，翻折后BF⊥EF，
又CF∩BF=F，且CF，BF 平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD
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